Что такое вектор функция

А вектор-функция, также называемый векторная функция, это математическая функция одной или нескольких переменных, чьи классифицировать представляет собой набор многомерных векторов или же бесконечномерные векторы. Вход векторной функции может быть скаляром или вектором (то есть измерение из домен может быть 1 или больше 1); размер домена не определяется размером диапазона.

Содержание

Пример: спираль

куда ж(т), грамм(т) и час(т) являются координатные функции из параметр т, а домен этой вектор-функции является пересечение области функций ж, грамм, и час. Также на него можно ссылаться в другом обозначении:

Вектор р(т) имеет хвост в начале координат и голову в координатах, вычисляемых функцией.

В 2D мы можем аналогично говорить о векторных функциях как

Линейный случай

В линейном случае функцию можно выразить через матрицы:

куда у является п × 1 выходной вектор (п > 1), Икс это k × 1 вектор входов (k ≥ 1), А является п × k матрица параметры, и б является п × 1 вектор параметров.

в котором Икс (играя роль А в предыдущей общей форме) является п × k матрица фиксированных (эмпирически обоснованных) чисел.

Параметрическое представление поверхности

Производная трехмерной векторной функции

Многие векторные функции, например скалярные функции, возможно дифференцированный просто дифференцируя компоненты в декартовой системе координат. Таким образом, если

Частная производная

В частная производная векторной функции а относительно скалярной переменной q определяется как [1]

∂ а ∂ q = ∑ я = 1 п ∂ а я ∂ q е я > = sum _ ^ > > mathbf _ >

Обычная производная

Если а рассматривается как векторная функция одной скалярной переменной, такой как время т, то приведенное выше уравнение сводится к первому обычная производная по времени из а относительно т, [1]

Полная производная

Если вектор а является функцией числа п скалярных переменных q_р (р = 1. п), и каждый q_р это только функция времени т, то обычная производная от а относительно т может быть выражено в форме, известной как полная производная, в качестве [1]

Некоторые авторы предпочитают использовать капитал D для обозначения оператора полной производной, как в D/Dt. Полная производная отличается от частной производной по времени тем, что полная производная учитывает изменения в а из-за временной дисперсии переменных q_р.

Справочные кадры

Тогда как для скалярнозначных функций возможен только один система отсчета, чтобы взять производную векторнозначной функции, требуется выбор системы отсчета (по крайней мере, когда фиксированная декартова система координат не подразумевается как таковая). После выбора системы отсчета производная векторной функции может быть вычислена с использованием методов, аналогичных методам вычисления производных скалярных функций. Другой выбор системы отсчета, как правило, дает другую производную функцию. Производные функции в разных системах отсчета имеют определенную кинематическая взаимосвязь.

Производная векторной функции с нефиксированным базисом

Приведенные выше формулы для производной вектор-функции основаны на предположении, что базисные векторы е₁,е₂,е₃ постоянны, то есть зафиксированы в системе отсчета, в которой производная от а берется, и поэтому е₁,е₂,е₃ у каждого есть производная, равная тождественно нулю. Это часто справедливо для проблем, связанных с векторные поля в фиксированной системе координат или для простых задач физики. Однако многие сложные проблемы связаны с производной векторной функции при многократном перемещении. системы отсчета, что означает, что базисные векторы не обязательно будут постоянными. В том случае, когда базисные векторы е₁,е₂,е₃ фиксируются в системе отсчета E, но не в системе отсчета N, более общая формула для обычная производная по времени вектора в системе отсчета N равна [1]

где верхний индекс N слева от оператора производной указывает систему отсчета, в которой берется производная. Как показано ранее, первый член в правой части равен производной от а в системе отсчета, где е₁,е₂,е₃ постоянны, система отсчета E. Также можно показать, что второй член в правой части равен относительной угловая скорость двух систем отсчета крест умноженный с вектором а сам. [1] Таким образом, после подстановки формула, связывающая производную вектор-функции в двух системах отсчета, имеет вид [1]

куда N ω E это угловая скорость системы отсчета E относительно системы отсчета N.

куда N ω E это угловая скорость Земли относительно инерциальной системы N. скорость это производная из позиция, N v р и E v р производные от р р в системе отсчета N и E соответственно. Путем замены

Производное и векторное умножение

Производная произведений векторных функций ведет себя аналогично производная от продуктов скалярных функций. [2] В частности, в случае скалярное умножение вектора, если п является функцией скалярной переменной от q, [1]

В случае умножение точек, для двух векторов а и б это обе функции q, [1]

Аналогично производная от перекрестное произведение двух векторных функций есть [1]

Производная от п-мерная векторная функция

Бесконечномерные векторные функции

Если значения функции ж лежать в бесконечномерный векторное пространство Икс, например Гильбертово пространство,тогда ж можно назвать бесконечномерная векторная функция.

Функции со значениями в гильбертовом пространстве

Если аргумент ж это реальное число и Икс гильбертово пространство, то производная от ж в какой-то момент т можно определить как в конечномерном случае:

N.B. Если Икс является гильбертовым пространством, то легко показать, что любую производную (и любой другой предел) можно вычислить покомпонентно: если

Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существования производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.

Другие бесконечномерные векторные пространства

Большинство из вышеперечисленных справедливо и для других топологические векторные пространства Икс тоже. Однако не так много классических результатов справедливо в Банахово пространство настройка, например, абсолютно непрерывный функция со значениями в подходящее банахово пространство не нужно нигде иметь производную. Более того, в большинстве случаев банаховых пространств ортонормированные базисы отсутствуют.

Источник

Вектор-функция

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

Содержание

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной отображает некоторый интервал вещественных чисел в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция имеет предел в точке , если (здесь и далее обозначают модуль вектора ). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение имеет вид:

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём не обращается тождественно в ноль.

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

,

где t — параметр кривой. Зависимости предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

— первая координатная линия. — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек ( нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Вектор-функция» в других словарях:

вектор-функция — векторная функция Вектор, компонентами которого являются функции. По другому определению: функция, значения которой являются векторами. Такая функция позволяет, в частности, описывать траекторию движения точки в некотором пространстве, что и… … Справочник технического переводчика

Вектор-функция — (или векторная функция) [vector function] вектор, компонентами которого являются функции. По другому определению: функция, значения которой являются векторами. Такая функция позволяет, в частности, описывать траекторию движения точки в некотором… … Экономико-математический словарь

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ — (векторная функция) функция, значения которой являются векторами … Большой Энциклопедический словарь

вектор-функция — вектор функция, вектор функции … Орфографический словарь-справочник

вектор-функция — (векторная функция), функция, значения которой являются векторами. * * * ВЕКТОР ФУНКЦИЯ ВЕКТОР ФУНКЦИЯ (векторная функция), функция, значения которой являются векторами … Энциклопедический словарь

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ — функция, значения к рой являются векторами … Большой энциклопедический политехнический словарь

Вектор-функция — векторная функция, функция, значения которой являются векторами; см. Векторное исчисление … Большая советская энциклопедия

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ — (векторная функция), функция, значения к рой являются векторами … Естествознание. Энциклопедический словарь

вектор-функция — в ектор ф ункция, и … Русский орфографический словарь

Источник

Вектор-функции

Предел и непрерывность вектор-функции.

Понятие вектор-функции.

Если каждому значению \(t\in E\), где \(E\subset\mathbb\), поставлен в соответствие вектор \(r(t)\) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве \(E\) задана векторная функция \(r(t)\) скалярного аргумента \(t\).

Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат \(Oxyz\). Тогда задание вектор-функции \(r(t),\ t\in E\), означает задание координат \(x(t),\ y(t),\ z(t)\) вектора \(r(t),\ t\in E\). Если \(i,j,k\) — единичные векторы координатных осей, то
$$
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,\qquad t\in E,\nonumber
$$
или
$$
r(t)=(x(t),y(t),z(t)).\nonumber
$$
Если \(z(t)=0\) при всех \(t\in E\), то вектор-функцию \(r(t)\) называют двумерной.

В случае, когда начало каждого из векторов \(r(t)\) совпадает с началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами, а множество их концов — годографом вектор-функции \(r(t)\), \(t\in E\), который можно рассматривать как траекторию точки \(M(t)\) конца вектора \(r(t)\), если считать, что \(t\) — время.

Предел вектор-функции.

Вектор \(a\) называют пределом вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_0\) и пишут \(\displaystyle \lim_>r(t)=a\) или \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_0\), если
$$
\lim_> |r(t)-a|=0,\label
$$
то есть длина вектора \(r(t)-a\) стремится к нулю при \(t\rightarrow t_0\).

Рис. 20.1

Если заданы \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) и \(a=(a_<1>,a_<2>,a_<3>)\), то
$$
\lim_>r(t)=a\label
$$
тогда и только тогда, когда
$$
x(t)\rightarrow a_1,\ y(t)\rightarrow a_2,\ z(t)\rightarrow a_3\quad при \ t\rightarrow t_0.\label
$$

Поэтому, если \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_0\), то есть выполняется условие \eqref, то выполняется условие \eqref.

Обратно: если выполняются условия \eqref, то из равенства \eqref следует, что выполнено условие \eqref. \(\bullet\)

При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие \eqref выполняется в том и только том случае, когда
$$
r(t)=a+\alpha(t),\nonumber
$$
где \(\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция, то есть
$$
\alpha(t)\rightarrow 0\quad \mbox <при>\ t\rightarrow t_<0>.\nonumber
$$

Свойства пределов вектор-функций.

\(\circ\) Это свойство следует из неравенства
$$
||r(t)|-|a|| \leq |r(t)-a|.\qquad \bullet\nonumber
$$

Если \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_<0>\), а скалярная функция \(f(t)\) такова, что \(f(t)\rightarrow A\) при \(t\rightarrow t_<0>\), то \(f(t)r(t)\rightarrow Aa\) при \(t\rightarrow t_<0>\), то есть
$$
\lim_f(t)r(t)=\lim_>f(t)\lim_r(t).\label
$$

\(\circ\) Из определений пределов скалярной функции и вектор-функции следует, что \(r(t)=a+\alpha(t),\ f(t)=A+\beta(t)\), где \(\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция, \(\beta(t)\) — бесконечно малая функция при \(t\rightarrow t_0\). Поэтому \(f(t)r(t)=Aa+\gamma(t)\), где \(\gamma(t)=A\alpha(t)+\beta(t)a+\beta(t)\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция при \(t\rightarrow t_0\), откуда получаем равенство \eqref. \(\bullet\)

\(\circ\) По условию \(r_(t)=a_+\alpha_\), где \(a_i(t)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_<0>\ (i=1,2)\). Поэтому \(r_1(t)+r_2(t)=a_1+a_2+\beta(t)\), где \(\beta(t)=\alpha_<1>(t)+\alpha_2(t)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_<0>\), откуда следует \eqref. Докажем формулу \eqref. В силу свойств скалярного произведения
$$
(r_<1>(t),r_2(t))-(a_1,a_2)=(\alpha_<1>(t),a_<2>)+(\alpha_<2>(t),a_1)+(\alpha_1(t),\alpha_2(t)),\nonumber
$$
причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функция, так как \(\alpha_<1>(t),\alpha_<2>(t)\) — бесконечно малые вектор-функции и \(|(p,q)| \leq |p|\cdot|q|\) для любых векторов \(p\) и \(q\).

Аналогично доказывается формула \eqref, в этом случае следует воспользоваться неравенством \(|[p,q]| \leq |p|\cdot|q|\). \(\bullet\)

Непрерывность вектор-функции.

Вектор-функцию \(r(t)\) называют непрерывной при \(t=t_<0>\), если
$$
\lim_>r(t)=r(t_0).\label
$$
Непрерывность вектор-функции \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) при \(t=t_<0>\) в силу эквивалентности условий \eqref и \eqref означает, что ее координаты \(x(t),y(t),z(t)\) непрерывны в точке \(t_<0>\).

Назовем вектор-функцию \(\Delta r=r((t_0+\Delta t)-r(t_0)\) приращением вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_<0>\). Тогда условие \eqref означает, что
$$
\Delta r\rightarrow 0\quad при\quad \Delta t\rightarrow 0.\label
$$

Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное произведения вектор-функций \(r_1(t)\) и \(r_2(t)\) являются непрерывными функциями при \(t=t_<0>\), если вектор-функции \(r_1(t)\) и \(r_2(t)\) непрерывны в точке \(t_<0>\).

Производная и дифференциал вектор-функции.

Производная вектор-функции.

Если существует \(\displaystyle \lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac<\Delta r><\Delta t>\) где \(\Delta r=r(t_0+\Delta t)-r(t_0)\), то этот предел называют производной вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_0\) и обозначают \(r'(t_0)\) или \(\dot(t_0)\).

Таким образом,
$$
r'(t_<0>)=\lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac+\Delta t)-r(t_<0>)><\Delta t>.\label
$$
Аналогично вводится понятие второй производной
$$
r″(t_<0>)=\lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac+\Delta t)-r'(t_<0>)><\Delta t>\nonumber
$$
и производной порядка \(n > 2\) вектор-функции. Заметим, что если \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\), то
$$
r'(t_<0>)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\label
$$
Утверждение \eqref следует из определения \eqref и свойств пределов вектор-функций.

Аналогично, если существует \(r″(t_<0>)\), то
$$
r″(t_<0>)=(x″(t_0),y″(t_0),z″(t_0)).\nonumber
$$
Из определения производной следует, что \(\Delta r=r'(t_0)\Delta t+\alpha(\Delta t)\Delta t\), где \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\), и потому \(\Delta r\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). Таким образом, выполняется условие \eqref, то есть вектор-функция \(r(t)\), имеющая производную в точке \(t_<0>\), непрерывна при \(t=t_<0>\).

\(\circ\) Формулы \eqref-\eqref справедливы в точке \(t\), если в этой точке соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказательством формулы \eqref. Пусть \(\Delta r_\) — приращение вектор-функции \(r_k(t)\), соответствующее приращению аргумента \(\Delta t\), то есть \(\Delta r_k=r_k(t+\Delta t)-r_k(t),\ k=1,2\). Тогда, используя свойства скалярного произведения и свойства пределов вектор-функций, получаем
$$
\begin
(r_<1>,r_<2>)’=\displaystyle\lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac<(r_<1>(t+\Delta t),r_<2>(t+\Delta t))-(r_<1>(t),r_<2>(t))><\Delta t>=\\
=\lim_<\Delta t\rightarrow 0>\left[\left(r_<1>(t),\frac<\Delta r_<2>(t)><\Delta t>\right)+\left(\frac<\Delta r_<1>(t)><\Delta t>,r_2(t)\right)+\left(\frac<\Delta r_<1>(t)><\Delta t>,\Delta r_2(t)\right)\right]=\\
=(r_1,r_2′)+(r_1′,r_2),
\end\nonumber
$$
так как \(\displaystyle \frac<\triangle \mathrm_><\triangle t>\rightarrow r_‘(t)\) при \(\Delta t\rightarrow 0\ (i=1,2)\) и \(\Delta r_2\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). \(\bullet\)

Пусть существует \(r'(t)\) для всех \(t\in(\alpha,\beta)\) и пусть \(|r(t)|=C=const\) для всех \(t\in(\alpha,\beta)\).

Доказать, что \((r(t),r'(t))=0\), то есть векторы \(r(t)\) и \(r'(t)\) ортогональны.

\(\triangle\) Используя формулу \(|r(t)|^2=(r(t),r(t))\), правило дифференцирования скалярного произведения (формула \eqref) и условие \(|r(t)|=C\), получаем \((r(t),r(t))’=2(r'(t),r(t))=0\), так как \(|r(t)|^<2>)’=(C^<2>)’=0\). Итак,
$$
|r(t)|=C\Rightarrow (r(t),r'(t))=0.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

Дифференциал вектор-функции.

Вектор-функцию \(r(t)\), определенную в некоторой окрестности точки \(t_<0>\), называют дифференцируемой при \(t=t_<0>\), если ее приращение \(\Delta r=r(t_<0>+\Delta t)-r(t_<0>)\) в точке \(t_<0>\) представляется в виде
$$
\Delta r=a\Delta t+\Delta t\alpha(\Delta t),\label
$$
где вектор \(a\) не зависит от \(\Delta t\), \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\).

Полагая \(dt=\Delta t\), запишем равенство \eqref в виде
$$
dr=r’dt,\nonumber
$$
где опущено обозначение аргумента функции \(r’\). Отсюда получаем
$$
r’=\frac