Что такое вектор физика 9 класс
Физика
Тестирование онлайн
Вектор
Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.
Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.
На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону
Проекция вектора
Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: sx=x-x0, на ось ОУ: sy=y-y0.
Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.
Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е. 
Сложение векторов
Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Рассмотрим правила на примерах.
Вычитание векторов
Упражнения
Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?
Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?
Векторы в физике
Закрепленный вектор — упорядоченная пара точек (направленный отрезок, имеющий начало и конец).
Длина вектора — расстояние между началом и концом вектора.
Если задана прямоугольная система координат, и координаты начала и конца вектора заданы в ней парами \(A=(x_1,y_1)\) и \(B=(x_2,y_2)\) соответственно, тогда координаты вектора можно задать \[\overrightarrow
Тогда длина вектора \(\overrightarrow
Рассмотрим ситуацию, когда брусок движется по наклонной плоскости:
Исходя из рисунка мы можем записать II закон Ньютона в векторной форме: \[\vec
Запишем теперь проекции на оси:
Посмотрим, как получили два вышеприведенных равенства. Направим оси, как на рисунке, тогда по оси \(OY\) ускорение и сила трения на тело не действуют, так как они направлены перпендикулярно этой оси, а проекции сил, перпендикулярных оси, равны нулю.
Сложение векторов можно производить по правилу треугольника или по правилу параллелограмма, рассмотрим на примере.
Рассмотрим различные варианты произведения вектора \(\vec\) на какое-то вещественное число \(\lambda\) :
При умножении на нулевое число получается нулевой вектор (вектор нулевой длины);
При умножении на положительное число получается вектор, сонапаравленный исходному вектору (происходит просто “удлинение” или “укорачивание” нашего вектора, направление не меняется);
При умножении на отрицательное число получается вектор, противоположно направленный исходному вектору (происходит “разворот” вектора на 180 градусов и изменение его длины одновременно).
Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Физический смысл скалярного произведения
Применение векторов при решении задач по физике
Геометрический подход к решению физических задач наследуется еще от древних греков. Векторный анализ является пограничной чертой между математикой и физикой. На языке векторов формируются понимание основных законов механики и электродинамики.
На уроках физики учитель при изучении механических явлений дает определение радиус-вектора. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку пространства. Многие физические величины, как и радиус-вектор характеризуют и числовым значением и направлением. Например: скорость, перемещение, импульс, напряженность электрического поля, сила являются физическими векторными величинами. Длину такого вектора называют модулем вектора. Интуитивное понимание вектора у учащихся складывается с первых же уроков физики в 7 и 8 классе.
Проведем сравнение понятия вектора в физике и математике:
Понимание вектора в физике и математике происходит поэтапно, когда ученики раскрывают и изучают следующие вопросы:
Вектор – как графическое представление перемещения тела. При прямолинейном движении в одном направлении путь и перемещение совпадают.
Если начальное и конечное положение тела совпадают, то вектор перемещения равен нулю. При этом путь может иметь значение отличное от нуля. Например, когда тело движется по окружности.
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала.
Вспомним формулы для расчета координат тела в любой момент времени (х = х0 + sx, y = y0 + sy).
Правило многоугольника.
Прикладной характер правил сложения векторов виден не только при определении перемещения тела, но и при сложении скоростей движущегося тела.
Произведение векторов – скалярная величина.
Учителя математики и физики должны комбинировать этот материал, разбавлять свои уроки дополнительной информацией из смежных предметов. Глубокое понимание вектора и действий с векторами у учеников сложится только посредством интеграции математического и физического определения этих понятий. Она должна быть как на уроках математики, так и на уроках физики все время, которое отводится на изучении темы «вектор».
Рассмотрим некоторые физические задачи, которые учитель математики может решить на уроках геометрии.
Задача. Парашютист со скоростью 4 м/с спускается с высоты 2 км вертикально вниз. Скорость горизонтального ветра равно 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения?
Следующие задачи рекомендуем рассмотреть после изучения тригонометрических функций острого угла.
Задача. Скорость лодки относительно течения 10 м/с, скорость течения 5 м/с.Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж.
Задача. С какой силой F (эф) надо удерживать груз весом Р (пэ) на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?
Задача. Тело движется по окружности со скоростью v. Найдите модуль изменения скорости тела за четверть периода.
Теперь рассмотрим метод решения задач кинематики и динамики, основанный на построении так называемых векторных многоугольников перемещений, скоростей, ускорений, сил, импульсов. Рассмотрим краткие теоретические основы и некоторые методические рекомендации по возможности применения геометрических (векторных) способов решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. Применение векторных способов требует знания основ тригонометрии, в частности, теорем синусов и косинусов.
Векторная запись многих уравнений физики более полно отображает соответствующие процессы, в частности в современном школьном курсе механики. Векторная форма уравнений в сочетании с соответствующими рисунками раскрывает физическую ситуацию в задаче и предопределяет ее успешное решение. Есть определенные алгоритмы решения физической задачи векторным способом.
Для вычислений при решении задачи чаще всего используют соответствующие уравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучить учащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций по следующему алгоритму:
Теперь решим задачи:
Задача.Тело брошено вверх перпендикулярно плоскости, наклоненной под угломαк горизонту. На каком расстоянии от места броска тело упадет на эту наклонную плоскость? Сопротивлением движения пренебречь.
Задача. Две частицы брошены одновременно из одной точки с одинаковыми по модулю скоростямиv: первая – вертикально вверх, вторая – горизонтально. Найдите расстояние между ними спустя время t.
Задача. Тело брошено горизонтально со скоростью v0. Найдите скорость тела и угол отклонения через время t.
Изучая, разрабатывая и используя новый математический аппарат, физики иногда незаслуженно забывают о ранее найденных и веками эффективно служивших делу физической науки математических способах и приемах. Математика является языком физики, и свободное владение математическим аппаратом облегчает понимание физической сущности явлений и процессов.
Большая теория по векторам
И ты наверняка обратил внимание, что некоторые величины имеют только значение (число) – например, путь (\(L\)).
А некоторые имеют и число, и направление — например, перемещение (\(\vec\)).
И сейчас ты узнаешь, почему это настолько важно.
Векторы — коротко о главном
Решать задачи с векторами — легко!
Векторы и… Колумб
В 1492 году Колумб приказал кораблям изменить курс на запад-юго-запад, полагая, что он и его команда уже прошли мимо Японии, не заметив ее островов.
Вскоре его экспедиция наткнулась на множество архипелагов, которые ошибочно принимали за земли Восточной Азии. И теперь, спустя века, американцы в октябре отмечают высадку Колумба в Новом Свете.
Кто знает, как повернулась бы история, если бы его корабли не поменяли свое направление?
О направлении
Направление – одна из важнейших характеристик движения.
Подумай, какие из этих величин являются просто числами, а какие тоже являются числами, но имеют еще и направление.
Наверное, ты без труда заметил, что направление имеют сила, скорость, перемещение, а время, длина, масса и температура – это просто числа.
Так вот, «просто числа» — это скалярные величины (их также называют скалярами).
А «числа с направлением» — это векторные величины (их иногда называют векторы).
В физике существует множество скалярных и векторных величин.
Что такое скалярная величина?
Скалярная величина, в отличие от вектора, не имеет направления и определяется лишь значением (числом)
Это, например, время, длина, масса, температура (продолжи сам!)
Что такое векторная величина?
Векторная величина – это величина, которая определяется и значением, и направлением.
В случае с векторами нам важно, куда мы, например, тянем груз или в какую сторону движемся.
Например, как на этом рисунке изображен вектор силы (нам важно не только с какой силой, но и куда мы тянем груз):
Как обозначаются векторы?
Векторы принято обозначать специальным символом – стрелочкой над названием. Вот, например, вектор перемещения: \(\vec\)
Значение вектора – это модуль вектора, то есть его длина.
Обозначить это можно двумя способами: \(\left| <\vec> \right|\) или \(S\)
Операции над векторами
Для решения задач необходимо уметь работать с векторами: складывать, вычитать, умножать их.
Давай научимся это делать. Мы пойдем от простого к сложному, но это вовсе не значит, что будет трудно!
Умножение вектора на число
Если вектор умножить на какое-либо число (скаляр), мы просто «растягиваем» вектор, сохраняя его направление. Получившийся вектор сонаправлен начальному, то есть они имеют одинаковое направление.
(Если направление противоположно, обозначаем так: \(\vec\uparrow \downarrow \vec\))
Рассмотрим на примере, используя клетку для точности построений:
Если вектор умножить на ноль, он станет нулевым.
Обязательно нужно ставить значок вектора над нулем! Нельзя говорить, что векторная величина просто равна скалярной:
Рассмотрим некоторые свойства нулевого вектора.
Если он нулевой, то его длина равна нулю! Логично, не правда ли?
А это значит, что его начало совпадает с концом, это просто какая-то точка.
Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с концом.
Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору.
Его мы можем получить не только путем умножения вектора на ноль, но и путем сложения противонаправленных векторов:
А если к любому вектору прибавит нулевой, ничего не изменится:
Если вектор умножают на отрицательное число, он изменит свое направление на противоположное. Такой вектор называется обратным данному.
Но такие векторы должны быть коллинеарны. Звучит как скороговорка, но ничего страшного. Главное – понять суть.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Две прямые параллельны: \(q\parallel p\)
Векторы лежат на одной прямой: они коллинеарны. По направлению видно, что они противонаправлены, это обозначается так:
Векторы лежат на параллельных прямых, они коллинеарны. При этом они сонаправлены:
Эти двое тоже коллинеарны! Они ведь лежат на параллельных прямых. При этом они противонаправлены:
\(\vec\uparrow \downarrow \vec
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются обратными друг другу.
Параллельный перенос векторов
Одно из важных свойств вектора, которое очень часто помогает в операциях над ним, – параллельный перенос.
Если передвинуть вектор, не меняя его направления и длины, он будет идентичен начальному. Это свойство – параллельный перенос.
Сложение векторов по правилу треугольника
Сложение векторов – одна из самых легких и приятных вещей. Предположим, у нас есть два вектора:
Наша цель – найти такой вектор, который будет являться суммой двух данных:
Для начала нужно сделать так, чтобы конец одного вектора был началом другого. Для этого воспользуемся параллельным переносом:
Теперь достроим до треугольника.
Но как узнать направление нужного нам вектора?
Все просто: вектор суммы идет от начала первого слагаемого к концу второго, мы словно «идём» по векторам:
Это называется правилом треугольника.
Больше двух слагаемых векторов. Сложение по правилу многоугольника
Но что делать, нам нужно сложить не два, а три, пять векторов или даже больше?
Мы руководствуемся той же логикой: соединяем векторы и «идём» по ним:
Это называется правилом многоугольника.
Вычитание векторов через сложение
Вычитание векторов не сложнее. Это даже можно сделать через сумму! Для этого нам понадобится понятие обратного вектора. Запишем разность так:
Тогда нам лишь остается найти сумму с обратным вектором:
А сделать это очень легко по правилу треугольника:
Всегда помни, что вычитание можно представлять сложением, а деление — умножением на дробь.
Вычитание векторов через треугольник
Вычитать векторы можно через треугольник. Основная задача будет состоять в том, чтобы определить направление вектора разности.
Итак, векторы должны выходить из одной точки. Далее мы достраиваем рисунок до треугольника и определяем положение. Рассмотрим два случая:
Направление вектора разности зависит от того, из какого вектора мы вычитаем. У них совпадают концы.
Универсальное правило параллелограмма
Есть еще один способ сложения и вычитания векторов.
Способ параллелограмма наиболее востребован в физике и сейчас ты поймешь, почему. Основа в том, чтобы векторы выходили из одной точки, имели одинаковое начало.
Ничего не напоминает?
Именно! Когда мы делаем чертеж к задачам по физике, все силы, приложенные к телу, мы рисуем из одной точки.
В чем же заключается правило параллелограмма? С помощью параллельного переноса достроим до параллелограмма:
Тогда вектор суммы будет диагональю этой фигуры. Это легко проверяется правилом треугольника. Начало этого вектора совпадает с началом двух слагаемых векторов:
Другая диагональ будет являться разностью этих векторов. Направление определяем так же, как делали раньше.
Скалярное произведение векторов
Еще одной важной операцией является произведение векторов. Рассмотрим скалярное произведение. Его результатом является скаляр.
Уравнение очень простое: произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов пригодится нам в электродинамике.
Его формула лишь немного отличается от предыдущей:
В отличие от скалярного произведения, результатом его является вектор и его даже можно изобразить!
После параллельного переноса векторов и нахождения угла между ними достроим их до параллелограмма и найдем его площадь. Площадь параллелограмма равна длине вектора произведения:
Этот вектор одновременно перпендикулярен двум другим. Его направление зависит от условного порядка векторов, который либо определен какими-то фактами (когда мы будем изучать силу Лоренца), либо является свободным.
Об этом мы поговорим подробнее, когда будем изучать электродинамику.
Итак, мы разобрали операции с векторами, рассмотрев даже самые сложные из них. Это было не так тяжело, верно? Так происходит не только с векторами, но и со многими другими темами. Идя от легкого к сложному, мы даже не заметили трудностей.
Ведь всегда стоит помнить о том, что даже самое длинное путешествие начинается с первого шага.
Проекции векторов
Что такое проекция вектора и с чем ее едят?
Мы уже выяснили, что над векторами можно проводить множество операций. Здорово, когда можешь начертить векторы, достроить их до треугольника и измерить результат линейкой.
Но зачастую физика не дает нам легких цифр. Наша задача – не отчаиваться и быть умнее, упрощая себе задачи.
Для того, чтобы работать с векторами как с числами и не переживать об их положении и о точности рисунков, были придуманы проекции.
Проекция вектора – словно тень, которую он отбрасывает на ось координат. И эта тень может о многом рассказать.
Ось координат — прямая с указанными на ней направлением, началом отсчёта и выбранной единицей масштаба.
Ось можно выбрать произвольно. В зависимости от ее выбора можно либо значительно упростить решение задачи, либо сделать его очень сложным.
Именно поэтому необходимо научиться работать с проекциями и осями.
Построение проекции. Определение знака
Возьмем вектор и начертим рядом с ним произвольную ось. Назвать ее тоже можно как угодно, но мы назовем ее осью Х.
Теперь опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на эту ось. Отметим координаты начала (Х0) и конца (Х). Рассмотрим отрезок, заключенный между этими точками.
Казалось бы, мы нашли проекцию. Однако думать, что проекция является простым отрезком, – большое заблуждение.
Не все так просто: проекция может быть не только положительной. Чтобы найти проекцию, нужно из координаты конца вычесть координату начала:
Проекция вектора на ось — разность между координатами проекций точек конца и начала вектора на ось.
В случае выше определить знак довольно легко. Сразу видим, что координата конца численно больше координаты начала и делаем вывод о том, что проекция положительна:
Порой работать с буквами трудно. Поэтому предлагаю взять конкретный пример:
Рассмотрим другой случай. В этот раз координата начала больше координаты конца, следовательно, проекция отрицательна:
Рассмотрим еще один интересный случай.
Давай разместим ось так, чтобы вектор был ей перпендикулярен. Проекции точек начала и конца совпадут и проекция вектора будет равна нулю!
Анализ углов
Рассматривая эти ситуации, можно заметить, что знак, который принимает проекция вектора напрямую зависит от угла между вектором и осью, то есть от его направления!
Из начала вектора проведем луч, параллельный оси и направленный в ту же сторону, что и ось. Получим угол между вектором и осью.
Если угол острый, проекция положительна:
Если угол тупой, проекция отрицательна:
Обрати особое внимание на то, какой именно угол является углом между вектором и осью!
Частные случаи проекции
Настоящий подарок судьбы – тот момент, когда вектор параллелен оси. Это сохраняет драгоценное время при решении множества задач. Рассмотрим эти случаи.
Если вектор параллелен оси, угол между ними либо равен нулю, либо является развернутым (180 О ). Это зависит от направления.
При этом длина проекции совпадает с длиной вектора! Смотри!
Как и прежде, если вектор направлен туда же, куда и ось, проекция положительна:
Если вектор направлен в другую сторону, проекция отрицательна:
Если вектор направлен туда же, куда и ось, его проекция положительна. Если вектор направлен в другую сторону, его проекция отрицательна.
Эти утверждения применимы не только к векторам, которые параллельны оси. Это особенно удобно использовать в тех случаях, когда ось направлена под углом.
Что? Почему раньше не сказал? А… Ну…
Хватит вопросов! Вот тебе пример:
\(\vec\) направлен противоположно оси. Его проекция отрицательна.
Еще один частный случай – работа с обратными векторами.
Давай выясним, как связаны проекции данного вектора и вектора, который является ему обратным. Начертим их и обозначим координаты начал и концов:
Проведем дополнительные линии и рассмотрим два получившихся треугольника. Они прямоугольны, так как проекция строится с помощью перпендикуляра к оси.
Наши векторы отличаются лишь направлением. При этом, если мы просто посмотрим на них как на прямые, мы можем сказать, что они параллельны. Их длины тоже одинаковы.
Прямоугольные треугольники равны по углу и гипотенузе. Это значит, что численно равны и их катеты, в том числе те, которые равны проекциям:
Мы помним, что обратные векторы всегда коллинеарны. Это значит, что прямые, на которых они расположены, находятся под одним углом к оси:
Остается лишь определиться со знаками. Данный вектор направлен по оси Х, а обратный ему – против. Значит, первый положителен, а второй отрицателен. Но модули их равны, так как равны их длины.
Проекции обратных векторов равны по модулю и противоположны по знаку.
Давайте еще раз уточним.
Вектор сам по себе не может быть отрицательным (обратный вектор есть вектор, умноженный на минус единицу).
Длина вектора так же не может быть отрицательной. Длина есть модуль вектора, а модуль всегда положителен.
Проекция вектора бывает отрицательной. Это зависит от направления вектора.
Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии
Зная угол между вектором и осью, можно не прибегать к координатам. Углы, прямоугольные треугольники… Всегда стоит помнить, что, если ты видишь прямоугольный трегольник, тригонометрия протянет тебе руку помощи.
Именно тригонометрия чаще всего применяется в задачах, где требуется работать с проекциями. Особенно она помогает в задачах на второй закон Ньютона.
Рассмотрим вектор и его проекции на оси:
Можем заметить, что проекции вектора соответствуют катетам прямоугольного треугольника, который легко можно достроить:
Тогда обозначим прямой угол и угол между вектором и осью:
Зная, что проекции соответствуют катетам, мы можем записать, чему равны синус и косинус угла. Они равны отношению проекций к гипотенузе. За гипотенузу считаем длину данного вектора.
Из этих уравнений легко выражаются проекции.
А еще следует помнить, что из проекций мы можем найти длину данного вектора с помощью теоремы Пифагора:
Зная, как работать с проекциями векторов и часто практикуясь, можно довести свои навыки решения большинства задач механики до совершенства.
Действия над проекциями векторов. Решение задач
Умение применять свои знания на практике невероятно важны. Это касается не только физики.
Мы знаем, что проекции были придуманы для того, чтобы работать не с векторами, а с числами.
Сложение проекций. Доказательство главного свойства
Предположим, у нас есть два вектора и нам нужно найти их сумму. Посчитать по клеткам нам вряд ли удастся:
Спроецируем оба вектора на ось Х. Заметим, что конец одного вектора есть начало второго, то есть их координаты совпадают:
Давай посчитаем проекции векторов и проекцию вектора их суммы:
Мы можем заметить, что сумма проекций двух данных векторов оказалась равна проекции вектора их суммы!
Намного важнее уметь доказывать гипотезы в общем виде.
Тогда никто не сможет упрекнуть тебя в том, что твои утверждения – просто результат совпадения!
Согласно определению проекции, запишем уравнения проекций для двух данных векторов и вектора их суммы:
Затем запишем, чему равна сумма этих векторов.
Мы доказали нашу гипотезу.
Но что насчет разности?
Все очень просто! Помнишь, как мы считали разность через сумму? Здесь это делается аналогично!
Проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов.
Проекция разности векторов равна разности проекций векторов.
Или можно записать так:
Простейшие задачи на нахождение проекций
Простейшие задачи на нахождение проекций чаще представлены в виде различных графиков или рисунков.
Давай научимся с ними работать.
Нам даны оси и векторы. Задача: найти проекции каждого из них на обе оси.
Будем делать все по порядку. Для каждого вектора предлагаю сначала определить знак проекций, а затем посчитать их.
В первом случае вектор направлен против оси Х.
Значит, его проекция на эту ось будет отрицательна. Мы убедимся в этом с помощью вычислений.
Сразу бросается в глаза то, что вектор расположен перпендикулярно оси Y. Его проекция на эту ось будет равна нулю, ведь расстояние между проекциями точек начала и конца равно нулю!
Рассмотрим второй вектор.
Он «сонаправлен» оси Y и «противонаправлен» оси Х. Значит, проекция на ось будет положительна, а на ось Х – отрицательна.
На осях для удобства отметим проекции точек начала и конца вектора, проведя перпендикуляры. Затем проведем вычисления:
Рассмотрим \(\vec
Мы помним, что в таком случае их проекции отличаются лишь знаками. И это действительно так:
Поступаем с \(\vec
Он перпендикулярен оси Х, а значит его проекция (что есть разность между проекциями точки конца и начала!) на эту ось равна нулю.
Проведя перпендикуляры, считаем проекцию на ось Y:
С \(\vec
Задачи на нахождение вектора и его угла с осью
С помощью проекций можно найти длину вектора и его направление, а также угол, под которым он находится относительно оси.
Давай попробуем это сделать.
Даны проекции вектора на две оси. Для начала нарисуем оси:
Расположить вектор можно как угодно, поэтому произвольно отметим на осях его проекции. Мы помним, что проекции и вектор образуют прямоугольный треугольник. Давай попробуем его составить.
С проекцией на ось Х все понятно, просто поднимаем ее. Но куда поставить проекцию оси Y?
Для этого нам нужно определить направление вектора. Проекция на ось Х отрицательна, значит вектор направлен в другую сторону от оси.
Проекция на ось Y положительна. Вектор смотрит в ту же сторону, что и ось.
Исходя из этого, мы можем нарисовать вектор и получить прямоугольный треугольник:
Теперь нужно найти длину этого вектора. Используем старую добрую теорему Пифагора:
Обозначим угол \(\alpha \), который необходимо найти, мы учились это делать в начале изучения проекций. Он расположен вне треугольника. Мы ведь не ищем легких путей, верно?
Рассмотрим смежный ему угол \(\beta \). Его найти гораздо проще, а в сумме они дадут 180 градусов.
Чтобы сделать это, абстрагируемся от векторов, проекций и просто поработаем с треугольником, стороны которого равны 3, 4 и 5. Найдем синус угла \(\beta \) и по таблице Брадиса (либо с помощью инженерного калькулятора) определим его значение.
Вычитанием угла \(\beta \) из 180 градусов найдем угол \(\alpha \):
Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач
В большинстве задач по физике, когда в условиях нам дают значения векторных величин, например, скорости, нам дают длину вектора.
Поэтому важно научиться искать проекции вектора и связывать их с ней.
Рассмотрим следующий рисунок (вектор F2 перпендикулярен вектору F3):
Чаще всего с подобным расположением векторов мы встречаемся в задачах, где необходимо обозначить все силы, действующие на тело.
Одним из важных этапов решение «векторной части» этих задач является правильный выбор расположения осей. Он заключается в том, чтобы расположить оси так, чтобы как можно большее число векторов оказались им параллельны.
Как правило, оси располагаются под прямым углом друг к другу, чтобы не получить лишней работы с углами.
Сделаем это для данного рисунка:
Мы видим, что остальные векторы расположены к осям под каким-то углом.
Пунктиром проведем горизонтальную линию и отметим этот угол, а затем отметим другие равные ему углы:
Пришло время искать проекции. У нас две оси, поэтому сделаем для удобства табличку:
Мы располагали оси так, чтобы некоторые векторы были расположены параллельно осям, значит их проекции будут равняться их длинам.
Оси перпендикулярны друг другу, поэтому некоторые проекции будут равняться нулю. Запишем это:
Переходим к векторам, которые расположены под углом.
Выглядит страшно, но это не так!
Дальше идет чистая геометрия. Чтобы не запутаться, рассмотрим лишь часть рисунка. А лучше и вовсе перерисовать его часть, могут открыться много новых вещей.
Из конца вектора F1 проведем перпендикуляр к оси Y. Мы получим прямоугольный треугольник, где нам известен угол (альфа) и гипотенуза (вектор).
Обозначим, что является проекцией. Это катет:
Здесь на помощь придет тригонометрия. Этот катет прилежащий к известному углу. Синус угла есть проекция катета, деленная на гипотенузу. Отсюда можно выразить катет (проекцию) и записать ее в таблицу.
Вспомни, когда мы первый раз встретились с тригонометрией, изучая векторы. Мы тоже рассматривали прямоугольный треугольник.
Найдем проекцию на ось Х. Это, кажется, сложнее, ведь мы не знаем угол…
Знаем! Ведь проекция вектора на ось Х – то же самое, что противолежащий катет уже рассмотренного треугольника, смотри:
Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.
Не забываем смотреть на направления векторов!
Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.
Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.
Не забываем смотреть на направления векторов!
Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.
Заключение
Итак, теперь мы знаем о векторах очень много! Мы выяснили, зачем они нужны и как с ними работать, а еще разобрали их роль в решении различных задач. Теперь векторы — наша прочная опора.
Именно из таких знаний складывается порой нечто более сложное и комплексное, что-то, что безусловно нам однажды поможет.