Что такое график функции определение

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Парабола

Гипербола

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

График функции

Из Википедии — свободной энциклопедии

Гра́фик фу́нкции — геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции.

Обычно графики строят в прямоугольной системе координат, на плоскости эту систему координат называют декартовой системой координат. Также графики для повышения наглядности часто строят в других системах координат, например, в полярной системе координат или других косоугольных системах координат.

В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y), которые связаны отображаемой функцией:

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком.

Из определения графика функции следует, что далеко не всякое множество точек плоскости может быть графиком некоторой функции, например, из требования однозначности функции вытекает, что никакая прямая, параллельная оси ординат не может пересекать график функции более чем в одной точке. Если функция обратима, то график обратной функции (как подмножество плоскости) будет совпадать с графиком самой функции (это, попросту, одно и то же подмножество плоскости).

Некоторые функции определены только в конечном дискретном множестве аргумента, при этом график таких функций представляет собой множество точек, например график функции определённой как:

(3,\ c).>

График гладкой (требуемое количество раз дифференцируемой функции) является плоской кривой той же степени гладкости.

Некоторые графики имеют самостоятельные имена, например:

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Графики функций

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны отношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

Следовательно, график функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, соответствующее данному аргументу. Координаты каждой точки можно ещё изобразить так:

Для примера возьмём самую простую функцию, где аргумент равен значению функции:

В этом случае нам не придётся для каждого аргумента вычислять значение функции, так как они равны, значит, и у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате. Отметим три точки на координатной плоскости, например:

Если мы последовательно (от наименьшего значения аргумента к большему) соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия, значит, графиком функции y = x является прямая:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. На многих чертежах с графиками можно увидеть надпись с уравнением, к которому относится данный график.

Обратите внимание, что прямая линия бесконечна в обе стороны, поэтому, хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика. Поэтому большинство чертежей изображает только часть графика, обычно расположенную около начала координат.

Источник

Функция: понятие, определение, график

Понятие функции

Уже в алгебраической формуле, позволяющей по каждому значению входящих в нее буквенных величин находить значение величины, выражаемой формулой, заложено понятие функции. Приведем примеры функций, заданных формулами.

2. Из квадрата со стороной сделана открытая прямоугольная коробка высотой (рис. 2). Объем коробки будет вычисляться по формуле

Приведем еще такие примеры. Формула

Мы уже можем сейчас дать такое определение понятия функции, которое принято в математике в настоящее время.

Каждое новое понятие часто порождает новую символику. Переход от арифметики к алгебре заключался в возможности построения формул, пригодных для любых числовых данных,— поиски общих решений привели к буквенной символике.

Задача анализа есть задача изучения функций — зависимостей одних величин от других; как в алгебре от конкретного числа переходят к произвольным числам — буквам, так и в анализе от конкретных формул мы переходим к произвольным функциям. Фразу » есть функция от » будем условно записывать так:

График функции

Одной из наиболее плодотворных и блестящих идей второй половины XVII века является идея связи между понятием функции и геометрическим образом линии. Эта связь может быть осуществлена, например, посредством прямоугольной декартовой системы координат, с которой читатель в самых общих чертах, конечно, уже знаком из курса средней школы.

Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Это значит, что мы выбираем на этой плоскости две взаимно перпендикулярные прямые (ось абсцисс и ось ординат), на каждой из которых фиксировано положительное направление. Тогда каждой точке плоскости можно поставить в соответствие два числа — её координаты, выражающие в выбранном масштабе соответственно расстояния точки до оси ординат и до оси абсцисс, взятые с соответствующими знаками.

При помощи системы координат функции можно изобразить графически в виде некоторых линий. Пусть дана некоторая функция

Итак, графиком функции называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (6).

Линейные функции встречаются в приложениях особенно часто. Вспомним, что многие физические законы выражаются, и притом достаточно точно, линейными функциями. Например, длина тела с хорошим приближением рассматривается как линейная функция его температуры

В других случаях необходимо применение иных функциональных зависимостей. Вспомним, например, закон Бойля-Мариотта

где зависимость между и состоит в обратной пропорциональности этих величин. График такой зависимости представляет собой гиперболу (рис. 6).

Сам физический закон Бойля-Мариотта соответствует случаю, когда и положительны; он описывается ветвью гиперболы, находящейся в первой четверти.

Случаи колебательных процессов сопровождаются периодическими движениями, которые в свою очередь описываются обычно тригонометрическими функциями, изменяющимися, как мы знаем, периодически. Например, если вывести из равновесия подвешенную пружину, растянув её в пределах упругости, то её точка будет совершать вертикальные колебания, выражающиеся довольно точно законом

где — отклонение точки от положения равновесия, — время, а числа и — некоторые постоянные, определяемые материалом, размерами и степенью начального растяжения пружины.

когда изменяется в промежутке и выражается другой формулой

Мы привели много примеров функций, заданных формулами. Способ задания функции при помощи формул с математической точки зрения является наиболее важным, так как при таком способе имеется наличие наиболее благоприятных условий для исследования свойств функции математическими методами.

Однако не нужно думать, что формула есть единственный способ задания функции. Существует много других способов, среди них особое значение имеет график функции, дающий наглядное геометрическое ее изображение. Следующий пример может служить хорошей иллюстрацией этого.

Приведенный пример показывает, что график сам по себе определяет функцию независимо от того, задана она формулой или нет.

Покажем справедливость следующего весьма важного утверждения: каждый непрерывный график может быть представлен некоторой формулой или, как еще принято говорить, аналитическим выражением. Это верно и для многих разрывных графиков.

Отметим, что это утверждение, имеющее большое принципиальное значение, было полностью осознано в математике только в середине прошлого века. До того времени математики под термином «функция» понимали только аналитическое выражение (формулу). Но при этом они ошибочно думали, что далеко не всякому непрерывному графику соответствует аналитическое выражение, полагая, что раз уж функция задана формулой, то ее график должен обладать особенно хорошими свойствами сравнительно с другими графиками.

Здесь уместно отметить, что в математической литературе высказанное определение часто связывают с именем математика Дирихле. Стоит подчеркнуть, что это определение было одновременно с Дирихле и независимо от него предложено Н.И. Лобачевским.

В заключение предлагаем в качестве упражнения нарисовать графики функций

Источник