Что такое график функции одной переменной 10 класс
Что такое функция?
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 2. Функции и графики. Линейная и квадратичная функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.
Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.2016.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Существует 3 способа задания функции:
— аналитический (с помощью формул);
Самая простая функция – прямая пропорциональность. Выражается формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0.
Обратная пропорциональность выражается формулой у 
.
Рассмотрим следующие функции:
— линейная функция: y= kx+b;
— квадратичная функция: 
, где a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола. Точка А – вершина параболы имеет абсциссу.
Графиком функции 
является гипербола.
Понятие «функция» встречается и в других науках: физике, химии, экономике, медицине и других. Рассмотрим примеры:
2. В экономике изучается график спроса и предложения в зависимости от цены. Как правило, чем выше цена, тем меньше спрос. Это тоже функция.
Линейная и квадратичная функции.
Рассмотрим свойства линейной и квадратичной функции.
Зависимость положения графиков данных функции от ее коэффициентов определятся положением точки при х=0.
Если коэффициенты k одинаковые, графики линейной функции параллельны, если разные пересекаются. Если k =0 прямая параллельна оси ОХ.
Если старшие коэффициенты квадратичной функции одинаковы, то графики можно получить сдвигом.
Зависимость свойств квадратичной функции от дискриминанта определяет наличие корней или точек пересечения графика с осью абсцисс.
Если дискриминант больше нуля два корня, то есть две точки на оси абсцисс. Если равен нулю один корень или одна точка. Если меньше нуля график не пересекает ось абсцисс.
Пусть 
– координаты вершины параболы. Если 
, то a и b разных знаков, если 
, то a и b одинаковых знаков.
Рассмотрим схему исследования свойств функции: находим ООФ, ОЗФ, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности.
Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения направленны параллельно его оси. Это свойство используется при изготовлении оптических устройств: линз, прожекторов, фар, фонариков.
Лучи солнца приходят на Землю в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, отражаясь, собираются в его фокусе. Это свойство – основа создания телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых имеют параболическую форму.
Задания тренировочного модуля с разбором.
При каких значениях х значения функции 
положительны?
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
y=(x-3)^2 на отрезке [-2,5].
Наибольшее или наименьшее значение квадратичная функция достигает в вершине параболы. Найдем 
.
Найдем значение функции на концах отрезка: у(-2) =25, у(5) = 4.
График линейной функции, его свойства и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Основные элементарные функции: их свойства и графики
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Постоянная функция
Свойства постоянных функций:
Корень n-й степени
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
Степенная функция
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
Степенная функция при нечетном положительном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
Степенная функция при четном положительном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
Степенная функция при нечетном отрицательном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Степенная функция при четном отрицательном показателе степени
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)
Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.
Свойства степенной функции при 0 a 1 :
Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Свойства степенной функции при a > 1 :
Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)
Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)
Показательная функция
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
Логарифмическая функция
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
График данной функции называется синусоида.
Свойства функции синус:
График данной функции называется косинусоида.
Свойства функции косинус:
График данной функции называется тангенсоида.
Свойства функции тангенс:
График данной функции называется котангенсоида.
Свойства функции котангенс:
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
Свойства функции арксинус:
Свойства функции арккосинус:
Свойства функции арктангенс:
Свойства функции арккотангенс:
Урок по алгебре и началам анализа «Графики функций» (10 класс)
Выбранный для просмотра документ Конспект урока.doc
ввести понятие функции;
определение графика функции;
повторить способы задания функций;
рассмотреть геометрические способы преобразования графиков функций
умение построения графиков функций;
Урок изучения нового материала.
Набор опорных карточек с таблицами преобразований графиков функций
Набор опорных карточек с демонстрационными вариантами заданий
Набор карточек с заданиями для самостоятельной работы учащихся
Демонстрационные карточки с графиками основных функций, известных учащимся
Формулировка темы урока, постановка целей и задач
Повторение материала из курса основной школы
Изучение нового материала
Выполнение заданий по закреплению изученного материала
Выполнение заданий для самостоятельной работы учащихся по закреплению нового материала
Подведение итогов урока
Домашнее задание / 2 уровня сложности /
Здравствуйте ребята, садитесь. Сегодня у нас с вами очередной урок алгебры, на котором мы продолжаем изучать что-то новое и интересное.
Запишите число и тему нашего урока «Графики функций. Преобразования
Формулировка постановка целей и задач:
ввести понятие функции;
определение графика функции;
повторить способы задания функций;
рассмотреть геометрические способы преобразования графиков функций
умение построения графиков функций; (слайд 2)
Покажите мне их, пожалуйста. Молодцы! Отложите их пока, они нам ещё пригодятся.
Изучение нового материала.
Ребята, я прошу вас вспомнить и дать определение, что называется числовой функцией из курса основной школы
( ответ: числовой функцией называется соответствие, при котором каждому значению одной переменной сопоставляется по некоторому правилу единственное значение другой переменной )
Спасибо, хорошо, а теперь я хочу познакомить вас с другим понятиемчисловой функции, которое даётся при изучении начал анализа .(слайд 3)
( Определение: числовой функцией с областью определения D называется соответствие ( зависимость ), при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.
Я попрошу вас законспектировать это определение в тетрадь.
Обратите внимание на экран. Выполните задание, которое поможет вам отработать определение .(слайд 3)
Подумайте и дайте мне ответ. Кто желает выйти к доске и объяснить, какая из данных зависимостей является функциональной и почему.
Спасибо, садись. А теперь я предлагаю сравнить ваши ответы с моими .(слайд 4)
Продолжаем урок. Обратите внимание на экран. Рассмотрим произвольную функцию у= f ( x ).( слайд 5)
Итак, я предлагаю вам рассмотреть примеры, в которых показано нахождение области определения и области значений функции. (слайд 6)
Третий пример решаем самостоятельно. Один ученик у доски, остальные на местах.
(Слайд 7) Числовые функции вида f ( x )= p ( x ), где р(х)-некоторое выражение или многочлен, называют целыми рациональными функциями.
Числовые функции вида f ( x )= p ( x )/ g ( x ), где р(х); g ( x )-некоторое выражение или многочлен, называют дробно- рациональными функциями.
Итак, следующий вопрос к вам: вспомните и дайте определение, что называется графиком функции из курса основной школы.
(ответ: множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции)
Верно. А я ребята, хочу вам познакомить с другим определением графика функции
А теперь выполните задание на отработку определения: определите, какое из данных множеств является графиком функции.
Ответ обоснуйте. Кто желает ответить? Совершенно верно.
Вопрос следующий: какие способы задания функций вы знаете?
Ответ: функцию задают формулой, графически, таблицей, в виде словесного описания
Совершенно верно (слайд 9)
Назовите функции, графики которых вы умеете строить
(ответ: у=кх+ b ; у=ах 2 + b х+с; y = k / x ; y = sinx y = cosx y = tgx y = ctgx
Линейная, квадратичная, гипербола, синус, косинус, тангенс, котангенс. Итак, запас функций, графики которых вы умеете строить, пока невелик, но применяя преобразования графиков функций, список можно расширить
Итак, если известен график функции у= f ( x ), то с помощью некоторых преобразований плоскости можно построить графики более сложных функций, а именно: (слайды 11,12,13,14)
у= f ( x ) в положительном направлении оси Оу на А, при А>0 и в отрицательном направлении оси Оу на | k | при k
Перед уроком я раздала вам таблицу, в которой собраны все виды преобразований графиков функций с примерами. При построении различных графиков функций вы будете опираться на неё.
Выполняем задание по закреплению изученного материала
Задание 1. Для выполнения этого задания воспользуйтесь шаблоном графика у=х 2
Построить график функции у = 3 – (х+1,5)² (слайд 15)
Итак, скажите мне, как называется данная функция, которая задаётся формулой у = 3 – (х+1,5)² (ответ: наз-ся квадратичной и графиком является парабола), поэтому для построения данного графика, сначала строим график функции у=х 2 и т.д.
Вопросов нет по построению графика функции?
Построить график функции у = 2 sin (х – π )
Кто-то из вас работает у доски, кто-то на компьютере при помощи тренажёра, строит данный график, остальные на местах.
Задание 2 (слайд 17)
Определите, какие виды преобразований
были использованы при построении графика функции у = 0,5(х-1)³ + 3
Работаем на местах, и один из вас ответит с места.
Работаем на местах, затем даём ответ.
Задание 3 .(слайд 18)
Определите, какой формулой задана функция
Кто желает поработать у доски?
Остальные на местах
Построение графика функции у = |х – 1|
Один ученик отвечает с места, один за компьютером, остальные на местах.
Подведение итогов урока, план дальнейшей работы по изучению данной темы
Какие существуют способы преобразования графиков?
Домашнее задание: I уровень / репродуктивный /: № 48 (б), 49 (в)
II уровень / конструктивный /: № 50 (в), 56 (г)