Что такое графический вектор перемещения

Траектория

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

По теореме Пифагора

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Источник

Траектория, длина пути, вектор перемещения

Траектория движения тела – это линия, которая была описана материальной точкой при перемещении из одной точки в другую с течением времени.

Виды движений тела

Существуют несколько видов движений и траекторий твердого тела:

Перемещение тела

По рисунку 2 видно, что при движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

Перемещение принято считать векторной величиной. Этот отрезок имеет направление.

Путь – скалярная величина. Считается числом.

Будет задана система отсчета II «Земля» с траекторией движения имеющейся точки М по спирали.

Во время движения из А в В точка проходит путь, который равен половине окружности, записываемой формулой:

Подставляем числовые значения и получаем:

Источник

Общие сведения

Под движением в физике понимают изменение координат тела относительно других объектов с течением времени. Раздел, который изучает происходящее, называется кинематикой. Эта наука исследует только процессы перемещения, не беря во внимание причин его вызвавшего. Часто за тело принимается материальная точка, физическими размерами которой пренебрегают. Это возможно, так как любой объект можно рассматривать как совокупность связанных точек.

Систему, состоящую из неподвижных относительно друг друга тел, можно рассматривать как начало отсчёта при движении. Для этого составляется группа уравнений, которые определяют, как изменяется положение перемещающейся точки с течением времени. Другими словами, определяют координаты тела для любого момента. Называют их уравнениями движения. В декартовых координатах система выглядит так: x = f1 (t); y = f2 (t); z = f3 (t).

Существуют следующие виды движения:

Все эти изменения положения в пространстве отличаются по виду скорости, ускорения и принципа смены координат. Линия, по которой перемещается материальная точка, называется траекторией движения. По сути, это пройденный телом путь. При криволинейном перемещении, в отличие от прямолинейного, модуль движения всегда будет превышать путь. Это связано с тем, что расстояние, пройденное по дуге всегда будет больше стягивающей хорды.

Рассматривая перемещающиеся тела через одинаковые временные промежутки, можно выделить равномерные и неравномерные движения. Кроме этого, существуют перемещения тела параллельно самому себе — поступательные. Криволинейное движение можно рассматривать как самостоятельный вид изменения положения, а можно свести его к сумме движений по дугам окружностей с различными радиусами кривизны.

При исследовании движения часто измеряют быстроту смены положения, то есть скорость. Если моменту времени соответствует радиус-вектор движущегося тела, то за малый промежуток времени материальная точка переместится на расстояние: Δs = Δr = r2 — r1. Но для характеристики перемещения используют не саму скорость, а её среднее значение: Vср = Δs / Δt.

Принцип исследования перемещения

Для того чтобы изучить движение тела в пространстве, нужно выбрать систему отсчёта. Пусть имеется тело, находящееся в точке А. Через некоторое время оно переместилось в точку В. Эти две координаты можно соединить прямым отрезком, являющимся вектором перемещения S. Так как известно, где находилось тело вначале и S, то можно определить его положение в любое время вне зависимости от вида передвижения тела.

В механике работают не с самим вектором, а его проекцией. Поэтому для исследования изменения положения нужно выбрать систему координат. За неё принимаются оси ординаты и абсциссы. Тогда начальное положение можно задать как X0 и Y0, а конечное X, Y. Решение основной задачи механики заключается в возможности указать положение в любой момент времени. То есть найти x (t) и y (t). Для этого понадобится знать X0 и Y0.

Эти значения являются фиксированными и не зависят от времени. Совершённое перемещение можно описать как раз с помощью проекции разности конца положения и начала: X — X0 = Sx; Y — Y0 = Sy. Отсюда можно вывести фундаментальное правило нахождения изменения положения для любой точки времени:

Таким образом, чтобы исследовать прямолинейное равномерное движение, нужно решить систему уравнений, а для этого необходимо знать начальное положение и изменение проекции перемещения тела с течением времени на координатную ось.

Под равномерным движением понимается перемещение, когда тело за любые промежутки времени проходит равное расстояние. Прямолинейным оно является тогда, когда точка проходит путь по прямой линии. Значит, если за любые равные промежутки времени тело, совершает одинаковое перемещение, то пройденный путь называют РПД (равномерно-прямолинейным). Например, за Δ t равное единице тело преодолеет расстояние равное S1, за Δt2 соответственно S2. Получается, что вектор перемещения материальной точки всегда направлен в одну сторону и имеет один и тот же модуль.

Следует отметить, что характеристикой такого изменения положения является скорость РПД. Для её определения используется отношение вектора перемещения точки к времени, за которое оно произошло: V = S / t, При этом в формуле время может иметь любое значение. Оно является скалярной величиной и неизменным. Значит, скорость РПД можно описать постоянным вектором, сонаправленным с перемещением вектора расстояния.

Нахождение вектора

Чтобы решить главную задачу механики относительно РПД, нужно воспользоваться формулой для нахождения вектора скорости. Из этого определения следует, что S = V * t. Известно, что если имеется соотношение векторов, то его же можно использовать для их проекций на координатные оси. Значит, Sx = Vx * t и Sy = Vy * t. Следовательно, если известны проекции скорости, то можно определить и вектор проекции перемещения в любое время. Отсюда следует, что решение основной задачи для РПД будет иметь вид:

Эти два уравнения всегда нужно рассматривать в совокупности, так как положение тела задаётся на плоскости двумя координатами. Но на самом деле такой системой пользоваться не очень удобно. Поэтому на практике применяют упрощённое выражение.

Икс и игрек нулевые зависят от значений координат. Формула изменит вид в зависимости от того, какие выбрать за начальные. Так, выражение значительно упростится, если вектор скорости будет направлен вдоль одной из координатных осей. В результате тело будет лежать на одной из них в начальный момент.

Например, пусть это будет ось икс. Если её расположить так, что она будет размещена параллельно вектору скорости, то ось игрек будет ему перпендикулярна. Смещая координатные оси, точку начального положения можно поместить на ось абсциссы. Для такой повёрнутой системы совокупность уравнений РПД будет также справедливым. Но игрек начальный для рассматриваемой системы будет равняться нулю. Ему же будет равна и проекция скорости на ординату. Учитывая это система главных выражений примет вид:

Фактически получился частный случай общего вида решения основной задачи механики. Так как второе уравнение никакой информации не даёт (тождественный ноль), то его можно убрать. Отсюда следует, что РПД рационально описывать, направляя координатную ось вдоль вектора скорости и выбирать начальное положение точки на координатной прямой.

Тогда получается упрощённый вариант главной формулы: x (t) = x0 + Vx + t. При этом направление вектора скорости значение не имеет. По нему он может как совпадать с осью, так и быть ей противоположным. Нужно отметить, что Vx является проекцией и может быть положительной или отрицательной величиной. В первом случае тело движется вдоль координатной прямой, а во втором в противоположном её направлении.

Решение задач

Физика — это наука, которая позволяет не только знать какие-либо законы и определения, но и учит использовать их на практике. Самостоятельное решение примеров позволяет закрепить имеющиеся знания. Существуют типовые задания, с помощью которых можно проработать изученный материал. Вот некоторые из них:

Таким образом, решение задач на ПРД требует логического мышления и знания нескольких формул. Кроме этого, можно использовать и графическое описание, то есть изображать график движения тела на координатной плоскости. Для этого в формулу подставляют значения и строят по результатам зависимость.

Источник

Равномерное прямолинейное движение

теория по физике 🧲 кинематика

Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.

Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение. Проекция скорости на ось ОХ: s_x — проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы). Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.

Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.

График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:

Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.

Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.

График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:

Теперь нужно разделить километры на часы:

Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.

При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:

Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения: Внимание!

При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.

Формула проекции перемещения:

График проекции перемещения

График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:

Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси s_x.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси s_x меньше.

График координаты

График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:

Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает вид:

Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.

Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.

Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:

Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:

На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.

Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?

Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:

Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:

Скорость во время движения от В к А равна:

Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.

На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v₂ больше скорости первого тела v₁ в n раз, где n равно…

Алгоритм решения

Решение

Рассмотрим графики во временном интервале от 0 до 4 с. Ему соответствуют следующие данные:

Скорость определяется формулой:

Так как начальный момент времени и скорость для обоих тел нулевые, формула примет вид:

Скорость первого тела:

Скорость второго тела:

Отношение скорости второго тела к скорости первого тела:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при прямолинейном движении тела по оси Ox.

Алгоритм решения

Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении имеет вид:

Отсюда проекция скорости равна:

Начальная координата x_o = 10 м, конечная x = –10 м. Общее время, в течение которого двигалось тело, равно 40 с.

Вычисляем проекцию скорости:

Этому значению соответствует график «в».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

Записываем формулу искомой величины:

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁и s₂, а затем сложим их:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник