Что такое граф история 6 класс кратко
Граф (титул)
Граф (нем. Graf ) — королевское должностное лицо в Раннем Средневековье в Западной Европе. Титул возник в IV веке в Римской империи и первоначально присваивался высшим сановникам (например, comes sacrarum largitionum — главный казначей). Во Франкском государстве со второй половины VI века граф (гауграф) в своём округе-графстве/гау (нем. Gau — первоначально, сельская община у древних германцев, численностью ок. 100 человек) обладал судебной, административной и военной властью. По постановлению Карла II Лысого (877) должность и владения графа стали наследственными.
В период феодальной раздробленности — феодальный владетель графства, затем (с ликвидацией феодальной раздробленности) титул высшего дворянства (женщина — графиня). В качестве титула формально продолжает сохраняться в большинстве стран Европы с монархической формой правления.
В России титул введён Петром I (первым его получил в 1706 году Б. П. Шереметев). В конце XIX века учтено свыше 300 графских родов. Графский титул в советской России был ликвидирован Декретом ВЦИК и Совнаркома от 11 ноября 1917 года.
Содержание
История термина
См. также
Примечания
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Граф (титул)» в других словарях:
Граф (титул) — Граф (нем. Graf, лат. comes, франц. cornte, англ. earl), в раннее средневековье в Западной Европе королевское должностное лицо (во Франкском государстве Г. обладал со 2 й половины 6 в. в своём округе графстве судебной, административной, военной… … Большая советская энциклопедия
Граф титул — (немецк. Graf; старинные формы garafio, grafio, gerefa, greve; франц. comte, от лат. comes; англ. earl) в настоящее время титул, первоначально название должностного лица во Франкском государстве и в Англии. Этимология слова graf очень неясна.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Граф, титул — (немецк. Graf; старинные формы garafio, grafio, gerefa, greve; франц. comte, от лат. comes; англ. earl) в настоящее время титул, первоначально название должностного лица во Франкском государстве и в Англии. Этимология слова graf очень неясна.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Варвик (граф. титул) — (Warwick) английский графский титул, который носили разные дома и который был соединен с владением замком В. Этот замок, один из древнейших в Англии, был, по преданию, еще во времена англосаксов жилищем знаменитого в английских героических… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ГРАФ — (нем. Graf). В средние века, в зап. Европе так наз. старейшины областей, производившие уголовный суд и обязанные, в случае войны, приводить отряд войска. Теперь граф титул высшего дворянства, не дающий никаких особенных прав. Словарь иностранных… … Словарь иностранных слов русского языка
Граф — Граф: От древневерхненемецкого gravo, gravio «предводитель, вождь»: Граф (титул) дворянский титул; «Граф» короткометражная немая кинокомедия Чарли Чаплина (The Count, 1916). От греч. γράφω «царапаю, черчу, пишу»: Граф… … Википедия
Граф (значения) — Граф: От древневерхненемецкого gravo, gravio «предводитель, вождь»: Граф (титул) дворянский титул; «Граф» короткометражная немая кинокомедия Чарли Чаплина (The Count, 1916). От греч. γράφω «царапаю, черчу, пишу»: Граф (в математике) объект,… … Википедия
граф — [титул] сущ., м., употр. часто Морфология: (нет) кого? графа, кому? графу, (вижу) кого? графа, кем? графом, о ком? о графе; мн. кто? графы, (нет) кого? графов, кому? графам, (вижу) кого? графов, кем? графами, о ком? о графах; сущ. графиня Граф … Толковый словарь Дмитриева
Граф Мар — (англ. Earl of Mar) один из старинных дворянских титулов в Шотландии. Об их землях см. Марр (Шотландия). Содержание 1 История 2 Мормеры Мара … Википедия
Граф Марч — или Граф Марки (англ. Earl of March) титул, который несколько раз создавался в Англии и Шотландии для представителей семей, владения которых располагались пограничных владениях (марках) между Англией с Уэльсом (Валлийская марка) и Англией с… … Википедия
Кто такие графы история 6 класс?
Что такое графы в таблице?
ГРАФА ТАБЛИЦЫ — структурная часть таблицы, колонка с цифрами или текстом. Более удобочитаема таблица с однородными цифрами (значениями одной величины) в графах, которые выключают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками и т.
Как передается графский титул?
К ним принято обращаться или Милорд/Миледи, или Ваше Сиятельство, или Лорд/Леди. Графы, титулы которых происходят от названий местности, обычно используют форму не «чего», а титулы, основанные на фамилиях, — «какие». Виконт (Viscount)/ Виконтесса (Viscountess) — от латинского vicecomes, вице-граф.
Какие виды графов бывают?
Кто ввел понятие Граф?
Терминология теории графов
Термин «граф» впервые ввел Сильвестр, Джеймс Джозеф в 1878 году в своей статье в Nature.
Где находится графа в таблице?
графа таблицы — Ряд данных в таблице, расположенный вертикально и обычно помещенный между вертикальными линейками. [ГОСТ Р 7.0.3 2006] Тематики издания, основные виды и элементы Обобщающие термины части и элементы текста издания …
Что является элементами графа?
Основными элементами графа являются вершины и ребра. Смежнымирёбрами называются два ребра, которые подходят к одной вершине, или выходят из неё. Иногда говорят, что этирёбра инцидентны вершине.
Какой титул у сына герцога?
Если второстепенный титул отсутствовал, то сыновья и внуки могли использовать титул на ранг ниже отцовского с той же основной частью — сын герцога титуловался маркизом (но чаще — графом), сын графа — виконтом.
Кто выше граф или маркиз?
Маркиз является вторым по важности титулом в списков рангов и стоит выше графа, виконта и барона. В настоящее время в Великобритании 34 маркиза.
Кто выше по титулу граф или герцог?
Какие виды графов бывают информатика?
Какие бывают графы в информатике?
Как определить взвешенный граф или нет?
Под взвешенным графом понимается граф, у которого рёбрам соответствуют некоторые весовые параметры. То есть каждому ребру (дуге) поставлено в соответствие некое числовое значение, которое называется длина дуги (или вес, стоимость).
Что такое графы и для чего они нужны?
Граф — математическая абстракция реальной системы любой природы, объекты которой обладают парными связями. Граф как математический объект есть совокупность двух множеств — множества самих объектов, называемого множеством вершин и множеством их парных связей, называемой множеством рёбер.
Для чего нужны графы в математике?
Термин «граф» в математике определяется следующим образом: Граф– это конечное множество точек – вершин, которые могут быть соединены линиями – ребрами. В качестве примеров графов могут выступать чертежи многоугольников, электросхемы, схематичное изображение авиалиний, метро, дорог и т.
Что такое граф простыми словами?
Российское дворянство. За какие заслуги можно было стать графом?
Так уж сложилось исторически, что титул графа стал в России самым престижным, хотя по статусу и был ниже княжеского. До Петра I этот титул в стране не применялся. Впоследствии большинство российских графских родов носили титул, полученный их предками за особые заслуги от российских или иностранных монархов. Кроме того, было немало и бывших иностранных родов, перешедших в российское подданство, уже имея графский титул.
Создавая в стране единое служилое дворянское сословие, Петр искал возможности поднятия авторитета и значимости своих соратников, многие из которых выдвинулись из низов общества. В России к тому времени единственным широко применявшимся титулом был княжеский. Но присваивать его людям, не имеющим на него исторических прав, царь не рискнул, и так его отношения с родовитым и титулованным дворянством было трудно назвать хорошими.
Для начала Петр решил воспользоваться опытом других стран, где присвоение титулов по воле монарха и даже торговля титулами было делом обыденным. Уже в конце 1701 года император Священной Римской империи по просьбе Петра I возвел в графское достоинство видного российского дипломата генерал-фельдмаршала Ф. А. Головина, который имел в то время чин боярина. Графский титул сразу же возвысил Головина над остальным боярством.
Первый блин не оказался комом, и на следующий год таким же путем титул графа получил ближайший сподвижник царя А. Д. Меншиков. В 1706 году графом Священной Римской империи стал государственный канцлер Г. И. Головкин, начавший службу стольником при юном Петре еще в 1677 году.
В 1706 году Петр впервые сам произвел российского подданного в графы, этой высокой чести удостоился в награду за подавления бунта в Астрахани Б. П. Шереметев. Через три года титул российского графа, получил Г. И. Головкин, уже имевший иностранный графский титул.
Массовое «производство» российских графов началось в 1710 году, когда этот титул получили четыре человека, включая царского учителя Н. М. Зотова. Кстати, для Зотова титул оказался не распространяющимся на потомство: его детям и внукам пользоваться графским титулом было запрещено.
Впоследствии Петр возвел в графское достоинство своих соратников Я. В. Брюсса, А. М. Апраксина и П. А. Толстого. Последний через несколько лет стал первым человеком, которого лишили российского графского титула, произошло это после смерти Петра по инициативе Меншикова.
Любопытно, что и следующий пожалованный в российские графы (им стал при Екатерине I генерал-полицмейстер Санкт-Петербурга А. М. Девиер) тоже стараниями Меншикова был лишен титула.
При вдове Петра I графами стали еще пять человек: три брата Ливенвольде и двое родственников императрицы — Карл и Федор Скавронские.
Традицию возводить в графский титул безродных родственников затем продолжила Елизавета Петровна. При ней графами и графинями стали два брата и две сестры Гендриковых и еще несколько Скавронских. Не обошла императрица вниманием своего фаворита и, возможно, морганатического супруга Алексея Разумовского, а заодно и его брата Кирилла.
Порадев о близких людях, императрица стала присваивать высокий титул крупным военачальникам и государственным деятелям. При ней российскими графами стали Г. П. Чернышев, П. М. Бестужев-Рюмин, А. И. Румянцев, А. Б. Бутурлин, а также братья А. И. и П. И. Шуваловы.
Сведений о присвоении графских титулов Петром III я не нашел, но возможно, они были. Зато все графы, получившие титулы после государственного переворота от его супруги Екатерины II, хорошо известны. В первую очередь императрица возвела в графское достоинство участников заговора — пятерых братьев Орловых и двоих братьев Паниных.
Впоследствии Екатерина была скупа на присвоение высокого титула, но зато все, кто был его удостоен, оставили заметный след в истории России. При ней графами стали Г. А. Потемкин, А. В. Суворов (с присвоением приставки к фамилии «Рымницкий»), Н. И. Салтыков, М. Н. Кречетников, П. С. Потемкин и И. Е. Ферзен.
Из плеяды екатерининских графов, пожалуй, наименее известен генерал от инфантерии Ферзен. Это был бравый вояка, проведший всю жизнь в боях и походах, награжденный за доблесть тремя орденами святого Георгия (редчайший случай). После штурма Праги (пригорода Варшавы) в 1794 году Суворов доносил о Ферзене:
«Озараясь еще свежей славой, разбитием главнаго бунтовщика Костюшки и взятием его в плен, совокупил он новые лавры; при всей слабости здоровья, бодрствуя духом, превозмогал он и труды, и опасности, и как распоряжением по своей части, так и мужеством подтвердил известную о нем репутацию».
Именно за бои в Польше Иван Евстафьевич и стал российским графом.
Вступив на престол, Павел I стал активно увеличивать количество российских графов. В большинстве своем это были люди достойные, но заметный след в истории оставили только некоторые из них, в частности фельдмаршал М. Ф. Каменский, наказной атаман Войска Донского Ф. П. Денисов, да тогда еще генерал-лейтенант А. А. Аракчеев.
В период царствования Александра I многие пожалования высокого титула связаны с наполеоновскими войнами. Тогда российскими графами стали известные военачальники М. И. Голенищев-Кутузов, М. И. Платов, М. А. Милорадович, М. Б. Барклай-де-Толли, П. П. Коновницын, Ф.В. Остен-Сакен.
Все последующие императоры не скупились на графские титулы, а для награждения выбирали, как правило, людей достойных. Исторически сложилось, что в обществе графский титул всегда воспринимали как синоним знатности и высоких государственных заслуг. Этим он выгодно отличался от титула князя.
Стоит отметить, что в графское достоинство возводили и женщин, как правило, с возможностью передачи его детям. Не считая родственниц императриц, графинями стали статс-дамы Ливен и Баранова, а также вдовы видных государственных деятелей Протасова и Ростовцева.
В России было немало и иностранных графов, принятых в российское подданство. Только с присоединением части Польши в России добавилось около 70-ти графских родов, более 10-ти родов числились по Великому княжеству Финляндскому. В основном это были представители известных и богатых фамилий, уже давно имеющих графское достоинство или получивших его за конкретные заслуги.
Стоит отметить, что получение титула от иностранного монарха еще не означало, что человек может официально пользоваться им в России. Для этого было необходимо получить разрешение на пользование титулом от императора, а затем и на причисление к российскому титулованному дворянству. Если возникали сомнения в законности обладания иностранным графским титулом, то соизволение на его использование в России император мог и не дать.
Иногда российским подданным разрешали титулом пользоваться, но только в том государстве, где он был присвоен. Например, в конце XIX века родам Орловских и Талевичей император разрешил пользоваться графскими титулами, но только в пределах Итальянского королевства, монарх которого им эти титулы даровал.
Считается, что к началу ХХ века в России было около 300 графских родов. К этому времени часть графских родов пресеклась в мужском потомстве, а какое-то количество получило более высокий княжеский титул. При этом если графский титул сопровождался персональным титулованием, то он сохранялся и при получении княжеского титула.
Например, общий титул Суворова — светлейший князь Италийский, граф Рымникский, а Паскевича — светлейший князь Варшавский, граф Эриванский. И это только внутреннее российское титулование, так как Суворов имел еще и иностранные титулы — граф Священной Римской империи, гранд Сардинского королевства и принц королевской крови.
Графские титулы в России просуществовали до ноября 1917 года, когда новой властью был принят декрет «Об уничтожении сословий и гражданских чинов». С этого времени российские графские титулы употребляются только за границей в среде бывших эмигрантов и в некоторых странах, где сохранилась традиция титулования.
Теория графов. Основные понятия и виды графов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Теория графов
В переводе с греческого граф — «пишу», «описываю». В современном мире граф описывает отношения. И наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.
Теория графов — обширный раздел дискретной математики, в котором системно изучают свойства графов.
Теория графов широко применяется в решении экономических и управленческих задач, в программировании, химии, конструировании и изучении электрических цепей, коммуникации, психологии, социологии, лингвистике и в других областях.
Для чего строят графы: чтобы отобразить отношения на множествах. По сути, графы помогают визуально представить всяческие сложные взаимодействия: аэропорты и рейсы между ними, разные отделы в компании, молекулы в веществе.
Давайте на примере.
На множестве A зададим отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой.
Число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, некоторые могут вовсе не быть знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с какой другой). Так получился граф:
В данном случае точки — это вершины графа, а связки — рёбра графа.
Теория графов не учитывает конкретную природу множеств A и B. Существует большое количество разных задач, при решении которых можно временно забыть о содержании множеств и их элементов. Эта специфика не отражается на ходе решения задачи.
Например, вопрос в задаче стоит так: можно ли из точки A добраться до точки E, если двигаться только по соединяющим точки линиям. Когда задача решена, мы получаем решение, верное для любого содержания, которое можно смоделировать в виде графа.
Не удивительно, что теория графов — один из самых востребованных инструментов при создании искусственного интеллекта: ведь искусственный интеллект может обсудить с человеком вопросы отношений, географии или музыки, решения различных задач.
Графом называется система объектов произвольной природы (вершин) и связок (ребер), соединяющих некоторые пары этих объектов.
Пусть V — (непустое) множество вершин, элементы v ∈ V — вершины. Граф G = G(V) с множеством вершин V есть некоторое семейство пар вида: e = (a, b), где a, b ∈ V, указывающих, какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара e = (a, b) — ребро графа. Множество U — множество ребер e графа. Вершины a и b — концевые точки ребра e.
Широкое применение теории графов в компьютерных науках и информационных технологиях можно объяснить понятием графа как структуры данных. В компьютерных науках и информационных технологиях граф можно описать, как нелинейную структуру данных.
Линейные структуры данных особенны тем, что связывают элементы отношениями по типу «простого соседства». Линейными структурами данных можно назвать массивы, таблицы, списки, очереди, стеки, строки. В нелинейных структурах данных элементы располагаются на различных уровнях иерархии и подразделяются на три вида: исходные, порожденные и подобные.
Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Основные понятия теории графов
Граф — это геометрическая фигура, которая состоит из точек и линий, которые их соединяют. Точки называют вершинами графа, а линии — ребрами.
Лемма о рукопожатиях
В любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер.
Доказательство леммы о рукопожатиях
Если ребро соединяет две различные вершины графа, то при подсчете суммы степеней вершин мы учтем это ребро дважды.
Если же ребро является петлей — при подсчете суммы степеней вершин мы также учтем его дважды (по определению степени вершины).
Из леммы о рукопожатиях следует: в любом графе число вершин нечетной степени — четно.
Пример 1. В классе 30 человек. Может ли быть так, что у 9 из них есть 3 друга в этом классе, у 11 — 4 друга, а у 10 — 5 друзей? Учесть, что дружбы взаимные.
Если бы это было возможно, то можно было бы нарисовать граф с 30 вершинами, 9 из которых имели бы степень 3, 11 — со степенью 4, 10 — со степенью 5. Однако у такого графа 19 нечетных вершин, что противоречит следствию из леммы о рукопожатиях.
Пример 2. Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими. Доказать, что среди них найдутся четверо ребят с одинаковым числом знакомых.
Сначала предположим противоположное. Тогда для каждого числа от 68 до 101 есть не более трех человек с таким числом знакомых. С другой стороны, у нас есть ровно 34 натуральных числа, начиная с 68 и заканчивая 101, а 102 = 34 * 3.
Это значит, что для каждого числа от 68 до 101 есть ровно три человека, имеющих такое число знакомых. Но тогда количество людей, имеющих нечетное число знакомых, нечетно. Противоречие.
Путь и цепь в графе
Путем или цепью в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.
Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают.
Путь или цикл называют простым, если ребра в нем не повторяются.
Если в графе любые две вершины соединены путем, то такой граф называется связным.
Можно рассмотреть такое подмножество вершин графа, что каждые две вершины этого подмножества соединены путем, а никакая другая вершина не соединена ни с какой вершиной этого подмножества.
Каждое такое подмножество, вместе со всеми ребрами исходного графа, соединяющими вершины этого подмножества, называется компонентой связности.
Один и тот же граф можно нарисовать разными способами. Вот, например, два изображения одного и того же графа, которые различаются кривизной:
Два графа называются изоморфными, если у них поровну вершин. При этом вершины каждого графа можно занумеровать числами так, чтобы вершины первого графа были соединены ребром тогда и только тогда, когда соединены ребром соответствующие занумерованные теми же числами вершины второго графа.
Граф H, множество вершин V’ которого является подмножеством вершин V данного графа G и множество рёбер которого является подмножеством рёбер графа G соединяющими вершины из V’ называется подграфом графа G.
Визуализация графовых моделей
Визуализация — это процесс преобразования больших и сложных видов абстрактной информации в интуитивно-понятную визуальную форму. Другими словами, когда мы рисуем то, что нам непонятно — и сразу все встает на свои места.
Графы — и есть помощники в этом деле. Они помогают представить любую информацию, которую можно промоделировать в виде объектов и связей между ними.
Граф можно нарисовать на плоскости или в трехмерном пространстве. Его можно изобразить целиком, частично или иерархически.
Изобразительное соглашение — одно из основных правил, которому должно удовлетворять изображение графа, чтобы быть допустимым. Например, при изображении блок-схемы программы можно использовать соглашение о том, что все вершины должны изображаться прямоугольниками, а дуги — ломаными линиями с вертикальными и горизонтальными звеньями. При этом, конкретный вид соглашения может быть достаточно сложен и включать много деталей.
Виды изобразительных соглашений:
Виды графов
Виды графов можно определять по тому, как их построили или по свойствам вершин или ребер.
Ориентированные и неориентированные графы
Графы, в которых все ребра являются звеньями, то есть порядок двух концов ребра графа не существенен, называются неориентированными.
Графы, в которых все ребра являются дугами, то есть порядок двух концов ребра графа существенен, называются ориентированными графами или орграфами.
Неориентированный граф можно представить в виде ориентированного графа, если каждое его звено заменить на две дуги с противоположным направлением.
Графы с петлями, смешанные графы, пустые графы, мультиграфы, обыкновенные графы, полные графы
Если граф содержит петли — это обстоятельство важно озвучивать и добавлять к основной характеристике графа уточнение «с петлями». Если граф не содержит петель, то добавляют «без петель».
Смешанным называют граф, в котором есть ребра хотя бы двух из упомянутых трех разновидностей (звенья, дуги, петли).
Пустой граф — это тот, что состоит только из голых вершин.
Мультиграфом — такой граф, в котором пары вершин соединены более, чем одним ребром. То есть есть кратные рёбра, но нет петель.
Граф без дуг, то есть неориентированный, без петель и кратных ребер называется обыкновенным.
Граф называют полным, если он содержит все возможные для этого типа рёбра при неизменном множестве вершин. Так, в полном обыкновенном графе каждая пара различных вершин соединена ровно одним звеном.
Двудольный граф
Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два подмножества так, чтобы никакое ребро не соединяло вершины одного и того же подмножества.
Например, полный двудольный граф состоит из двух множеств вершин и из всевозможных звеньев, которые соединяют вершины одного множества с вершинами другого множества.
Эйлеров граф
Эйлеров граф отличен тем, что в нем можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер.
Пример. Является ли полный граф с одинаковым числом n рёбер, которым инцидентна каждая вершина, эйлеровым графом?
Регулярный граф
Регулярным графом называется связный граф, все вершины которого имеют одинаковую степень k.
Число вершин регулярного графа k-й степени не может быть меньше k + 1. У регулярного графа нечётной степени может быть лишь чётное число вершин.
Пример. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 4.
Чтобы длина цикла соответствовала заданному условию, нужно чтобы число вершин графа было кратно четырем. Если число вершин равно четырём — получится регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 3.
Увеличим число вершин до восьми (следующее кратное четырем число). Соединим вершины ребрами так, чтобы степени вершин были равны трём. Получаем следующий граф, удовлетворяющий условиям задачи:
Гамильтонов граф
Гамильтоновым графом называется граф, содержащий гамильтонов цикл.
Гамильтоновым циклом называется простой цикл, который проходит через все вершины рассматриваемого графа.
Говоря проще, гамильтонов граф — это такой граф, в котором можно обойти все вершины, и каждая вершина при обходе повторяется лишь один раз.
Взвешенный граф
Взвешенным графом называется граф, вершинам и/или ребрам которого присвоены «весы» — обычно некоторые числа. Пример взвешенного графа — транспортная сеть, в которой ребрам присвоены весы: они показывают стоимость перевозки груза по ребру и пропускные способности дуг.
Графы-деревья
Деревом называется связный граф без циклов. Любые две вершины дерева соединены лишь одним маршрутом.
Приведенное соотношение выражает критическое значение числа рёбер дерева, так как, если мы присоединим к дереву ещё одно ребро — будет создан цикл. А если уберем одно ребро, то граф-дерево разделится на две компоненты. Граф, состоящий из компонент дерева, называется лесом.
Определение дерева
Деревом называется связный граф, который не содержит циклов.
Таким образом, в дереве невозможно вернуться в исходную вершину, перемещаясь по ребрам и не проходя по одному ребру два или более раз.
Циклом называется замкнутый путь, который не проходит дважды через одну и ту же вершину.
Простым путем называется путь, в котором никакое ребро не встречается дважды.
Легко проверить, что дерево — это граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем. Если выкинуть любое ребро из дерева, то граф станет несвязным. Поэтому:
Дерево — минимальный по числу рёбер связный граф.
Висячей вершиной называется вершина, из которой выходит ровно одно ребро.
Определения дерева:
Очень часто в дереве выделяется одна вершина, которая называется корнем дерева. Дерево с выделенным корнем называют корневым или подвешенным деревом. Пример: генеалогическое дерево.
Когда изображают деревья, то часто применяют дополнительные соглашения, эстетические критерии и ограничения.
Например, при соглашении включения (рис. 1) вершины корневого дерева изображают прямоугольниками, а соглашение — опрокидывания (рис. 2) подобно классическому соглашению нисходящего плоского изображения корневого дерева. Вот так могут выглядеть разные изображения одного дерева:
Теоремы дерева и их доказательства
В дереве с более чем одной вершиной есть висячая вершина.
Доказательство первой теоремы:
Пойдем из какой-нибудь вершины по ребрам. Так как в дереве нет циклов, то мы не вернемся в вершину, в которой уже побывали. Если у каждой вершины степень больше 1, то найдется ребро, по которому можно уйти из неё после того, как мы пришли в нее.
Но поскольку количество вершин в дереве конечно, когда-нибудь мы остановимся в некоторой вершине. Противоречие. Значит, когда-нибудь мы дойдём в висячую вершину. Если же начать идти из неё, то мы найдём вторую висячую вершину.
В дереве число вершин на 1 больше числа ребер.
Доказательство второй теоремы:
Докажем по индукции по количеству вершин в дереве n. Если в дерево одна вершина, то факт верен. Предположим, что для всех n
