Что такое главный вектор

Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы

из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы и

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или

называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ — система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Источник

Главный вектор и главный момент плоской системы сил

Рассмотрим плоскую систему сил ( ), действующих на твердое тело в координатной плоскости 0XY (рис.1.29).

Главным вектором системы сил называется вектор , равный векторной сумме этих сил:

Для плоской системы сил её главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Модуль R главного вектора плоской системы сил вычисляется по следующим формулам:

,

(1.28)

Главным алгебраическим моментом М₀ плоской системы сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно некого центра (точки 0).

Величина M₀ может быть вычислена по формуле:

К вершинам квадрата со стороной a = 0.5(м) приложены силы: F₁ = 4(Н); F₂ = F₃ = 8(Н); F₄ = 12(Н). Определить главный вектор этой системы сил и её главный алгебраический момент относительно центра квадрата 0.

Решение. Введем координатную систему 0XY, оси которой параллельны сторонам квадрата.

Вычисление главного алгебраического момента M₀ проведем с использованием плеч сил F₁ и F₄, равных половине длины стороны квадрата (a/2):

Таким образом, для заданной системы сил её главный вектор равен по модулю R = 8(Н) и направлен вдоль оси 0X, а её главный алгебраический момент M₀ = 0.

Замечание. В случае, когда главный алгебраический момент M₀ = 0, главный вектор R является равнодействующей силой заданной системы сил.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое главный вектор системы сил?

2. Сформулируйте определение для главного момента системы сил.

3. Зависят ли значения главного вектора и главного момента системы сил от выбора центра?

Источник

Главный вектор и главный момент сил.

Связи и реакции связей.

Связь осуществляется при помощи гибкого тела, нити, каната или троса. Реакция такой связи приложена к телу в точке прикрепленной к нему нити. Перечислим некоторые типы связей, предполагая, что они изготовлены из абсолютно твердых материалов и трение в местах их соприкосновения с рассматриваемыми телами отсутствует.

2)Шарнирное соединение тел (сферический шарнир, шарнирная опора неподвижная).

Система сходящихся сил.

Системой сходящихся сил наз-ют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными или плоскими, расположенные в одной плоскости.

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

Момент силы относительно точки и оси.

Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.Численное значение момента силы F относительно точки О будем обозначать mo(F). Тогдаmo(F) = ±Fh.Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы F относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит поворот, совершаемый составляющей Fxy силы F, происходящим против хода часовой стрелки.Из определения момента силы относительно оси следует

9Приведение к равнодействующей силе сходящихся сил.

Сложить 2 силы или неск. сил – это значит найти их равнодействующую. Задача о сложении 2х сил, приложенных к тв. телу в одной точке решается на основании правила параллелограмма.

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

.величина равнодействующей определится следующей формулой:

Для определения направления равнодействующей к воспользуемся обычными выражениями для направляющих косинусов:

Пара сил и ее момент.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на тело. Действие пары сил на тело сводится к вращательному эффекту. Для характеристики этого эффекта вводится понятие момента пары.:Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут.Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

Главный вектор и главный момент сил.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки O тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки. Таким образом, основную теорему статики (теорему Пуансо) в краткой форме можно выразить так: Каждую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра.

Источник

Внутренние и внешние силы. Главный вектор и главный момент внутренних сил. Метод сечений.

Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров.

Под внутренними силами в сопротивлении материалов понимаются силы между отдельными элементами конструкции или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

Внешняя сила — это мера взаимодействия между телами. В задачах сопротивления материалов внешние силы считаются всегда заданными. К внешним силам относятся также реакции опор.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

1)Разрезаем брус на две части

2)Отбрасываем одну из частей

3)Заменяем действие отброшенной части на оставленную часть шестью внутренними силовыми факторами

4)Уравновешиваем внешние силы оставленной части внутренними силовыми факторами.

Напряжения.

Распределение внутренних усилий по сечению заранее не известно. Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение.

В окрестности точки М выделим элементарную площадку ∆А. Главный вектор действующих сил, действующий на площадку – ∆R

– среднее напряжение на данной площадке.

Перемещения и деформации.

Изменение линейных размеров тела или его частей называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров – угловой деформацией.

Изменение взаимного положения точек до и после деформации

Деформации вызывают изменение размеров и формы тела. В результате этого точки тела перемещаются в новые положения, а элементарные отрезки поворачиваются.

Закон Гука и принцип независимости действия сил.

Перемещения в определенных пределах пропорциональны действующим силам.

Закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и деформацией:

-при линейной деформации: σ=Еε, Е–модуль упругости первого рода

-при угловой деформации: τ=Gγ, G–модуль упругости второго рода,

Принцип независимости действия сил утверждает, что в упругой системе напряжения и деформации от действия одной нагрузки не зависят от наличия или отсутствия других нагрузок.

Важным следствием является утверждение, что результат действия суммы сил не зависит от порядка их приложения. Из принципа также вытекает, что действие суммы сил равно сумме действий каждой силы в отдельности.

Внутренние силы и напряжения при растяжении-сжатии.

Растяжение(сжатие)–такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Если воспользоваться методом сечений, то становиться очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе F.

Нормальная сила N, возникающая в поперечном сечении стержня, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью – элементарная внутренняя сила, приходящаяся на площадку dA

Длина всех продольных волокон, расположенных между любыми двумя поперечными сечениями, в процессе растяжения(сжатия) изменяется одинаково. Следовательно одинаковой у всех волокон оказывается и величина относительной линейной деформации, и напряженность этих волокон . Следовательно,

Источник

Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.

Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах.
Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле:

а направляющий косинус – по формуле cos (F_гл, x) = F_глХ / F_гл.

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

Эту пару с моментом М_гл назовем главным моментом заданной системы сил.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил, следовательно, теорема доказана.

Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение, введенной для удобства доказательства, и что их можно найти только с помощью вычислений. Нередко отдельно действующие на тело силы определить трудно или даже невозможно, а главный вектор или главный момент этих сил найти сравнительно легко. Так, например, число точек контакта и модули сил трения между вращающимся валом и подшипником скольжения, как правило, неизвестны, но главный момент этих сил можно определить простым измерением.
Еще один пример: в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент, являющийся, по сути, главным моментом этой силы.

Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:

1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда F_гл = 0, а М_гл ≠ 0), так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор F_гл и главный момент М_гл какой-либо плоской системы сил (рис.4а).
Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент М_гл так, чтобы силы пары F и F_Σ(рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору F_гл:

причем сила F приложена в точке О противоположно F_гл.
Далее систему (F_гл, F), как взаимно уравновешенную, отбросим:

В результате получим одну силу F_Σ, эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем F_Σ = F_гл.

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей F_Σ относительно центра приведения О равен моменту М_гл пары (F_Σ,F), т.е. главному моменту данной системы:

Так как М_гл = ΣМ_О(F_i), а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема:момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722), поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей F_Σ плоской системы n параллельных сил:

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМ_O(F_i) = М_O(F_Σ) = F_Σd, где: d – плечо равнодействующей F_Σ относительно точки О.

Из последнего равенства определяем плечо d:

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d, следует учесть направление вектора F_Σ и знак ΣМ_O(F_i).

Источник