Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или (i=1,2. m; j=1,2. n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:
Матрица столбец
Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например
Нулевая матрица
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:
Главная диагональ матрицы
Побочная диагональ матрицы
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:
Единичная матрица
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
Верхняя треугольная матрица
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).
Ядро или нуль пространство матрицы
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.
Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:
В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.
Матрица — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из определенного количества строк и столбцов. Существует множество матричных видов, и один из них — диагональный. Разберемся, что он из себя представляет.
Что такое диагональная матрица
У диагональной матрицы элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Напомним, что матрица считается квадратной, если количество строк равно количеству столбцов (m = n).
Особенности и свойства
Для начала нужно понять, что такое матричный определитель.
Определитель (детерминант) — это некоторая величина, с которой можно сопоставить любую квадратную матрицу.
Определитель А = (2×2), к примеру, вычисляется по формуле:
Из этого следует свойство №1: определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Свойство №2: обратная матрица для диагональной равна:
Свойство №3: ранг равен количеству ненулевых диагональных элементов.
Главная и побочная диагонали
Побочной диагональю называют диагональ элементов от правого верхнего угла до нижнего левого. Эти диагонали параллельны друг другу.
Частные случаи диагональных матриц
Существуют три основных подвида: единичная, нулевая, скалярная.
Единичная матрица
У единичной матрицы все диагональные элементы равны единице.
В формулах ее обозначают буквой Е.
Нулевая матрица
В нулевой матрице все элементы, в том числе диагональные, равны нулю.
В формулах ее обозначают цифрой 0.
Скалярная матрица
В скалярной матрице все элементы на главной диагонали равны друг другу.
В некоторых случаях говорят, что скалярная матрица — это произведение скаляра на единичную матрицу Е. В ней диагональные элементы могут быть как положительными, так и отрицательными.
Примеры решения диагональных матриц
Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду.
Условие: дана матрица А
Задача: привести к диагональному виду.
Решение: характеристическое уравнение равно
Таким образом, диагональная матрица имеет вид:
Изучение данных математических объектов имеет свои подводные камни. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь вам с решением контрольных, самостоятельных и иных проверочных работ.
Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто –достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
Умножение матрицы на число
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач. Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Матрица или двумерный массив – это прямоугольная таблица чисел (или других элементов одного типа). Каждый элемент матрицы имеет два индекса (номер строки и номер столбца).
Исходные данные для решения многих задач можно представить в табличной форме: Таблица результатов производственной деятельности нескольких филиалов фирмы может быть представлена так:
zavod1: array [1..4] of integer; zavod2: array [1..4] of integer; zavod3: array [1..4] of integer;
Или в виде двумерного массива так:
var A: array[1..3,1..4] of integer; begin
begin var a := new integer[3,4]; <. >end.
Описание, ввод и вывод элементов двумерного массива
Варианты описания двумерного массива (традиционный pascal)
const N = 3; M = 4; var A: array[1..N,1..M] of integer;
const M=10; N=5; type matrix=array [1..M, 1..N] of integer; var A: matrix;
for i:=1 to N do for j:=1 to M do begin write(‘A[‘,i,’,’,j,’]=’); read ( A[i,j] ); end;
for var i:=0 to a.RowCount-1 do for var j:=0 to a.ColCount-1 do a[i,j]:=readinteger;
var a := MatrRandomInteger(3,4,0,10); // целые числа в диапазоне от 0 до 10 var a1 := MatrRandomReal(3,4,1,9) // веществ. числа в диапазоне от 1 до 9
Следующий фрагмент программы выводит на экран значения элементов массива по строкам:
for i:=1 to N do begin for j:=1 to M do write ( A[i,j]:5 ); writeln; end;
begin var a := MatrRandomInteger(3,4,0,10); var a1 := MatrRandomReal(3,4,1,9); a.Println; a1.Println(6,1) // 6 позиций всего на вывод, 1 знак после десят. запятой end.
Рассмотрим следующую задачу: Получены значения температуры воздуха за 4 дня с трех метеостанций, расположенных в разных регионах страны:
Номер станции
1-й день
2-й день
3-й день
4-й день
1
-8
-14
-19
-18
2
25
28
26
20
3
11
18
20
25
Т.е. запись показаний в двумерном массиве выглядела бы так:
t[1,1]:=-8;
t[1,2]:=-14;
t[1,3]:=-19;
t[1,4]:=-18;
t[2,1]:=25;
t[2,2]:=28;
t[2,3]:=26;
t[2,4]:=20;
t[3,1]:=11;
t[3,2]:=18;
t[3,3]:=20;
t[3,4]:=25;
Или в pascalabc.NET:
var t := Matr(3,4,-8,-14,-19,-18,25,28,26,20,11,18,20,25); t.Println;
Объявление двумерного массива:
var t: array [1..3, 1..4] of integer;
Самостоятельно подумайте, как находится сумма элементов массива pascal.
Методы матриц для работы со строками и столбцами:
begin var a := MatrRandomInteger(3,4); a.Println; a.Row(0).Sum.Println(); a.Row(1).Average.Println; a.Row(2).Product.Println; a.Col(0).Min.Println; a.Col(1).Max.Println; end.
Главная и побочная диагональ при работе с двумерными матрицами в Pascal
Главная диагональ квадратной матрицы n x n (т.е. той, у которой количество строк равно количеству столбцов) проходит с верхнего левого угла матрицы (элемент 1,1) до правого нижнего угла матрицы (элемент n,n).
Побочная диагональ квадратной матрицы n x n проходит с нижнего левого угла матрицы (элемент n,1) до правого верхнего угла матрицы (элемент 1,n).
Формулу поиска элементов диагоналей проще всего искать, нарисовав элементы матрицы: Если индексы начинаются с единицы (традиционный Паскаль):
1,1
1,2
1,3
1,4
2,1
2,2
2,3
2,4
3,1
3,2
3,3
3,4
4,1
4,2
4,3
4,4
Если индексы начинаются с нуля (pascalAbc.NET):
0,0
0,1
0,2
0,3
1,0
1,1
1,2
1,3
2,0
2,1
2,2
2,3
3,0
3,1
3,2
3,3
где n — размерность квадратной матрицы
Побочная диагональ матрицы в pascalAbc.Net имеет формулу: n=i+j+1
где n — размерность квадратной матрицы
var i,j,n:integer; a: array[1..100,1..100]of integer; begin randomize; writeln (‘введите размерность матрицы:’); readln(n); for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do begin a[i,j]:=random(10); write(a[i,j]:3); end; writeln; end; writeln; for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do begin if (i=j) or (n=i+j-1) then a[i,j]:=0; write(a[i,j]:3) end; writeln; end; end.
var A:array[1..5,1..5] of integer; i,j:integer; sum,sum1,sum2:integer; begin randomize; for i:=1 to 5 do for j:=1 to 5 do A[i,j]:=random(10); write (‘Исходный массив A: ‘); for i:=1 to 5 do begin writeln; for j:=1 to 5 do write (A[i,j]:2,’ ‘); end; sum1:=0; for i:=1 to 5 do for j:=1 to 5 do if (i-j=1) then sum1:=sum1+A[i,j]; sum2:=0; for i:=1 to 5 do for j:=1 to 5 do if (j-i=1) then sum2:=sum2+A[i,j]; sum:=sum1+sum2; writeln; writeln(‘Сумма = ‘,sum); end.
Рассмотрим еще один пример работы с двумерным массивом.
var index1,index2,i,j,N,M:integer; s,min,f:real; a:array[1..300,1..300] of real; begin N:=10; M:=5; for i:=1 to N do begin for j:=1 to M do begin a[i,j]:=random(20); s:=s+a[i,j]; write(a[i,j]:3); end; writeln; end; f:=s/(N*M); writeln(‘srednee znachenie ‘,f); min:=abs(a[1,1]-f); for i:=1 to N do begin for j:=1 to M do begin if abs(a[i,j]-f)
(i=1,2. m; j=1,2. n).
