Что такое гипотеза в геометрии
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона.
Свой доклад Д. Гильберт начал следующими словами: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшее столетие? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли»? И далее: «Один старый французский математик сказал: математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному» [3][4].
Но были проблемы, стоявшие перед математиками и ранее, в частности, проблема Ферма [4].
Уже в древности грекам было известно, что треугольник со сторонами 3,4,5 – прямоугольный. То есть эти целые числа удовлетворяют уравнению 
, где 
и 
– длины катетов, а 
– длина гипотенузы. Легко выписать все целочисленные решения этого уравнения [5].
В 1637 году П. Ферма изучал книгу Диофанта «Арифметика» и сделал на полях книги замечание, что уравнение 
, где 
– натуральное число больше двух, не допускает решение в целых числах. Дальше он писал, что найденное им остроумное доказательство теоремы слишком длинное, чтобы его можно было поместить на полях книги, с которой он работал. Попытки ее доказать положили начало многим исследованиям в теории чисел.
В 1908 г. Пауль Вольфскель, немецкий промышленник, в своем завещании установил премию за решение проблемы Ферма. Это была премия в 100 тысяч марок (более 1000000 фунтов стерлингов в современных масштабах). Эту премию съела инфляция после первой мировой войны. А установлена она была при любопытных обстоятельствах. Вольфскель увлекся красивой женщиной, но был отвергнут ею. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову ровно в полночь. Он написал завещание, привел все дела в порядок и у него еще оставалось время. Вольфскель отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Ему попалась на глаза работа Куммера, связанная с проблемой Ферма. Он нашел в ней пробел. Если пробел был бы невосполнимым, то имелся бы шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать проще, чем полагали многие. Он начал пытаться восполнить пробел в доказательстве и ему это удалось, и проблема Ферма снова осталась нерешенной. Но время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнста Куммера, что его печаль и отчаяние развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни. Он разорвал свои прощальные письма, переписал завещание, и написал новое, в котором значительную часть своего состояния завещал в качестве премии тому, кто сумеет решить проблему Ферма [6].
И вот в 1994 году Эндрю Уайлс наконец доказал теорему Ферма. Он писал [6]: «Те, кто занимается чистой математикой любят вызов. Они в восторге от нерешенных проблем. Когда Вы занимаетесь математикой, Вами овладевает великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для Вас полную загадку. Вы ее не можете понять – настолько она сложна. Вы не имеете малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот, наконец, Вам удается решить ее, и Вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности детали и целого».
Но всегда необходимо находить новые проблемы. Математик писал: «От того, что мы знаем, что некоторое число иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать нечто, то не знать этого становится невыносимо».
В связи с наступлением нового столетия В. Арнольд по поручению Международ-ного математического союза обратился к ряду ведущих математиков с предложением сформулировать проблемы для следующего столетия. На это откликнулся американский математик С. Смейл, который опубликовал свой список из 18 проблем [7]. Под эгидой Международного математического союза в 1999 году вышла книга “Mathematics: Frontiers and Perspectives” под редакцией В. Арнольда, М. Атьи и др. Эта книга является сборником статей ведущих математиков мира, в котором обсуждаются проблемы математики следующего столетия и тысячелетия.
Глобальное обсуждение математических проблем для нового тысячелетия состоялось 24 мая 2000 года в Коллеж де Франс. Было выделено 7 таких проблем. Математический институт Клея, который был основан в 1997 г. на пожертвования супружеской четы Клеев, (Кембридж, Массачусетс (СМI), США) объявил, что за решение каждой из них будет присуждена премия в 1 млн. долларов (см. в Интернет www/claymath. org/prize_problems/statement. html). Это гипотезы Римана, Пуанкаре и др.
В 2002 году Гриша Перельман – математик из Санкт-Петербурга поместил на сайте www. arxiv. org препринт, где он анонсировал решение гипотезы Пуанкаре и более общей геометрической гипотезы Терстона. В 2003 году он вывесил еще 2 препринта, в которых он завершает доказательство гипотезы Терстона и Пуанкаре. Перельман докладывал весной 2003 года свои результаты в Нью-Йорке, то известие о решении гипотезы Пуанкаре напечатали главные газеты Америки [8].
Математическое сообщество проверяет верность этих доказательств и, наверное, окончательный вердикт будет на Международном Конгрессе математиков, который состоится в августе 2006 года в Мадриде. Но уже и сейчас все математики сходятся во мнении, что сделан существенный прорыв. Я убежден, что доказательство верно, но возможны некоторые неточности, которые устранимы. Хотя в истории математики был и такой прецедент. В 1879 году Кемпе дал доказательство задачи о четырех красках [4]. Одиннадцать лет оно считалось верным, пока Хивуд в 1890 году не нашел ошибки. А окончательно эта проблема была решена лишь в 1976 году.
Теперь я постараюсь изложить, в чем же состоит гипотеза Пуанкаре, которую выдающийся французский математик сформулировал в окончательном виде в 1904 году [9].
Пусть 
и 
– два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение 
, которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и
1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в
2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие;
3) обратное отображение 
непрерывно,
то множества и – гомеоморфны, а отображение 
называется гомеоморфизмом.
Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1),
Гипотеза: Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии
Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии.
Цель работы ученика:
Познакомиться с различными доказательствами теоремы Пифагора.
Понять, что геометрия – это просто.
Увидеть красоту в «трудном» школьном предмете.
Программа изучения этой темы:
По мнению Кантора «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.
Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».
Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:
«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так:
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.
Д
оказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство “убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозваны по этому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два. Теорема доказана.
Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC 2 +BC 2 =АВ*(AD + DB)
Д
оказать: S ABDE =S ACFG +S BCHI
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC ; значит,
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’. Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’ (или на два треугольника A’В’А и A’В’В).
Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому:
S A’AB’B =c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.
Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.
При равнивая правые части получим:
Доказательство основанное на теории подобия.
Существует одно интересное приложение обобщения теоремы Пифагора, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о гиппократовых луночках.
Г
иппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:
«Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла.» Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.
Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa, Fb, Fc, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc.
Если через Fa, Fb, Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:
Эта пропорция означает,что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что
Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим:
Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то
а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.
возводя обе части в квадрат, получим
Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
Нами снова доказана теорема Пифагора.
На этой диаграмме показано на сколько больше доказательств стало в наше время
Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.
Рассмотрев различные типы доказательств теоремы Пифагора, я убедилась в её совершенстве, увидев её красоту, простоту и значимость.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
| Поле | Геометрическая топология |
|---|---|
| Предполагается | Уильям Терстон |
| Предполагается в | 1982 г. |
| Первое доказательство | Григорий Перельман |
| Первое доказательство в | 2006 г. |
| Последствия | Гипотеза Пуанкаре Гипотеза об эллиптизации Терстона |
Из теоремы Терстона о гиперболизации следует, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.
СОДЕРЖАНИЕ
Гипотеза
Вот изложение гипотезы Терстона:
В двух измерениях аналогичное утверждение говорит, что каждая поверхность (без границы) имеет геометрическую структуру, состоящую из метрики с постоянной кривизной; нет необходимости предварительно разрезать коллектор.
Восемь геометрий Терстона
Модельная геометрия называется максимальной, если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами. Иногда это условие включается в определение геометрии модели.
Есть некоторая связь с группами Бианки : трехмерными группами Ли. Большинство геометрий Терстона может быть реализовано как левоинвариантная метрика на группе Бианки. Однако S 2 × R не может быть, евклидово пространство соответствует двум различным группам Бьянки, и существует несчетное количество разрешимых неунимодулярных групп Бианки, большинство из которых задают модельные геометрии без компактных представителей.
Сферическая геометрия S 3
Евклидова геометрия E 3
Гиперболическая геометрия H 3
Геометрия S 2 × R
Геометрия H 2 × R
Геометрия универсальной крышки SL (2, «R»)
Нулевая геометрия
Геометрия Солнца
Уникальность
Многообразия бесконечного объема могут иметь много различных типов геометрической структуры: например, R 3 может иметь 6 различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 геометрий модели гомеоморфны ему. Более того, если объем не должен быть конечным, существует бесконечное количество новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой неунимодулярной 3-мерной группы Ли.
Существует несколько способов разложить замкнутое 3-многообразие на части с геометрическими структурами. Например:
Можно выбрать «каноническое» разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезав многообразие на простые части минимальным образом, а затем разрезав их, используя минимально возможное количество торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является результатом потока Риччи; Фактически, поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора начальной метрики.