Что такое гиперболические функции
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
функции, определяемые формулами:
— гиперболический синус,
-г иперболический косинус.
Иногда рассматривается также гиперболический тангенс;
Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1.
Производные и основные интегралы от Г. ф.:
Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. 
и 
могут быть определены рядами:
Полезное
Смотреть что такое «ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» в других словарях:
Гиперболические функции — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). Иногда рассматривается также гиперболический тангенс: (графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф.… … Большая советская энциклопедия
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс) … Большой Энциклопедический словарь
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: shx = (ex e x)/2(гинерболич. синус), chх (еx + е к)/2 (гиперболич. косинус), thх = shx/chx (гиперболич. тангенс). Графики Г. ф. см. на рис … Естествознание. Энциклопедический словарь
Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Содержание 1 Определение 1.1 Геометрическое определение … Википедия
гиперболические функции — функции, определяемые формулами: shx = (ex – e x)/2 (гиперболический синус), chx = (ex + e x)/2 (гиперболический косинус), thx = shx/chx (гиперболический тангенс). Графики гиперболических функций см. на рис. * * * ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ… … Энциклопедический словарь
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Функции. определяемые ф лами: (гиперболич. синус), (гиперболич. косинус), (вставить рисунки. ) Графики гиперболических функций … Большой энциклопедический политехнический словарь
Гиперболические функции — По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[ 1]); иногда вводятся в рассмотрение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Обратные гиперболические функции — функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… … Большая советская энциклопедия
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами … Естествознание. Энциклопедический словарь
Обратные гиперболические функции — Обратные гиперболические функции определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину… … Википедия
Гиперболические функции
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Содержание
Определение
Определение гиперболических функций через гиперболу
Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.
Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.
Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.
Иногда также определяются
Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.
Геометрическое определение
Ввиду соотношения 
гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы (, ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Свойства
Связь с тригонометрическими функциями
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
.
Важные тождества
Разложение в степенные ряды
Здесь — числа Бернулли.
Графики
Аналитические свойства
Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек , вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции
Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».
— обратный гиперболический синус: — обратный гиперболический косинус — обратный гиперболический тангенс — обратный гиперболический котангенс — обратный гиперболический секанс 0\end
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
1>» />
История
Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.
Применение
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Ссылки
cs:Hyperbolická funkce he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion
Гиперболические функции
Содержание:
Гиперболические функции
Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Основные понятия:
Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат, уравнение которого имеет вид х 2 + у 2 = 1.
Согласно определению, синусом угла 
называют ординату у точки А(х, у) единичной окружности, а косинусом — абсциссу х этой же точки (рис. 1)
Докажем, что площадь сектора АОВ равна числовому значению угла AOD, взятом в радианах.
Действительно, если R=1, а угол сектора АОВ- 
то
Следовательно, в тригонометрических функциях за аргумент можно принимать не только угол, а и площадь соответствующего сектора.
Рассмотрим теперь равнобокую гиперболу с асимптотами 
, уравнение которой имеет вид
Повторим предыдущие рассуждения:
— выберем на гиперболе т. А(х, у);
— проведём радиусы ОА и ОВ (
).
Образовавшуюся фигуру OANB называют гиперболическим сектором (сектором 
),
Возьмём за аргумент площадь гиперболического сектора 
. Получим:
Найдём площадь гиперболического сектора, как разность площади треугольника АОВ и криволинейной трапеции ANB.
Потому, что фигура симметрична, имеем
либо, решив систему
Аналогично как в тригонометрии вводят понятия тангенса и котангенса
Свойства гиперболических функций
Чётность и нечётность проверим подставив (-х) в соответствующие формулы
Следовательно, как и в тригонометрических функциях, имеем 
чётная, а 
нечётные.
Остальные свойства легко установить построив графики гиперболических функций.
Для построения воспользуемся записью
то есть графики функций 
Полученные графическим сложением ординат графики функций 
имеют вид:
Графики 
следующие
Видим, что в отличии от тригонометрических, гиперболические функции непериодические. Основные свойства каждой из гиперболических функций указаны в опорном конспекте (п. 10.5).
Дифференцирование и интегрирование гиперболических функций
Гиперболические функции можно дифференцировать и интегрировать. Выведем формулы производных и интегралов.
Переход от гиперболических функций к тригонометрическим и наоборот
Используя гиперболические функции можно вывести формулы Эйлера. Действительно, вспомним разложение в ряд Маклорена функций 
Положим в разложении функции у=е х за аргумент х=zj. Получим:
Учитывая, что 
где 
будем иметь:
Именно эти формулы позволяют установить зависимость между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Принимаем без доказательств, что все тригонометрические формулы действительны и для воображаемого аргумента. Это предположение позволит установить зависимость между гиперболическими функциями.
Аналогично можно получить формулы для
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Гиперболические функции
Гиперболические функции
Каждое тригонометрическое выражение имеет нечто похожее на теорию гиперболических функций. Людмила Фирмаль
Связь с гиперболой. x = cos t, y = sin t (4) Представляет параметрическое уравнение окружности jc * — <- y * = 1. х = й, у = шт. Людмила Фирмаль
Для кругов ch t и sh t играют ту же роль, что и cos t и sin t. Указанные связи между функциями ch t и sh t и гиперболой носят несколько формальный характер. Изучите эту связь подробно. По этой причине (рис. 390) площадь кругового сектора при угле AOM = t Поскольку AOM равен, вы можете написать: Правила.
Чтобы создать стоимость и грех на рисунке, вы должны найти по кругу Точка M (xt y), где площадь сектора AOM равна y. Далее x = cos t, y = sin t. Используя похожие правила, вы можете создавать ch t и sh t. Чтобы установить это, рассмотрим точку M (X, y) на правой ветви a Рис. 390 М / JBM o A 9 Рисунок 391. Xb — y гипербола ss 1. Для ясности пусть 5> 0 (рис. 391). Найдите область F в секторе АОМ.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения
В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.
Определение и функция гиперболы
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
Пример 1
Дана функция y = 4 /x. Построим ее график.
Решение
Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.
Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.
