Что такое гильбертово пространство
Пространство Гильберта
Ги́льбертово простра́нство — особый тип банаховых пространств, обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай. При этом гильбертово пространство не обязательно является бесконечномерным.
Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.
Содержание
Связанные определения
Свойства
Примеры
Для пространств 
и L 2 [a,b] над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:
; 
.
См. также
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Пространство Гильберта» в других словарях:
ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… … Философская энциклопедия
Пространство, время, материя — «ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, МАТЕРИЯ» ставший классическим итоговый труд Г. Вейля по теории относительности (Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Verlesungen ueber allgemeine Relativitaetstheorie. Berlin, 1. Aufl. 1918; 5. Aufl. 1923; рус. пер.: Вейль П … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
ГИЛЬБЕРТА СХЕМА — конструкция в алгебраич. геометрии, позволяющая снабжать множество замкнутых подмногообразий проективного пространства с заданным Гильберта многочленом структурой алгебраич. многообразия. Более точно, пусть X проективная схема над локально… … Математическая энциклопедия
Бесконечномерное пространство — пространство, содержащее бесчисленное множество линейно независимых элементов. Например, в квантовой механике пространство Гильберта (гильбертово пространство), выражающее бесконечное число квантовых состояний (волновую функцию) системы… … Начала современного естествознания
Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор A на гильбертовом пространстве H с конечной нормой Гильберта Шмидта, т.е. для которого существует такой ортонормированный базис в H, что Если это верно в каком то ортономированном базисе, то это верно в любом… … Википедия
Пространства Гильберта — Гильбертово пространство особый тип банаховых пространств, обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай. При этом гильбертово пространство не обязательно является бесконечномерным. Гильбертово пространство есть банахово… … Википедия
Гильбертово пространство
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.
Содержание
Определение
Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.
Связанные определения
Свойства
Примеры
Для пространств 
и 
над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:
; 
.
См. также
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Гильбертово пространство» в других словарях:
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкое приложение в различных разделах математики и теоретической физики … Большой Энциклопедический словарь
гильбертово пространство — математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже XIX и XX вв. в работах Д. Гильберта; находит широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики. * * *… … Энциклопедический словарь
гильбертово пространство — Hilberto erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hilbert space vok. Hilbert Raum, m rus. гильбертово пространство, n pranc. espace de Hilbert, m; espace hilbertien, m … Fizikos terminų žodynas
Гильбертово пространство — математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и… … Большая советская энциклопедия
Гильбертово пространство — обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай (пространство с бесконечным количеством размерностей). В таком пространстве сумма квадратов всех элементов пространства сходится, т. е. конечна, как конечна сумма квадратов сторон… … Начала современного естествознания
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — матем. понятие, обобщающее понятие евклидова пространства па бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкие приложения в разл. разделах математики и теоретич. физики … Естествознание. Энциклопедический словарь
гильбертово пространство — г ильбертово простр анство, г ильбертова простр анства … Русский орфографический словарь
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ — гильбертово пространство Е над полем комплексных чисел, снабженное непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G, к рая, вообще говоря, не является положительно определенной. Форму Gчасто наз. G метрикой. Наиболее важным частным… … Математическая энциклопедия
Гильбертово пространство
Полезное
Смотреть что такое «Гильбертово пространство» в других словарях:
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкое приложение в различных разделах математики и теоретической физики … Большой Энциклопедический словарь
Гильбертово пространство — Сюда перенаправляется запрос «теорема Рисса Фишера». На эту тему нужна отдельная статья. Гильбертово пространство обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта. Со … Википедия
гильбертово пространство — математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже XIX и XX вв. в работах Д. Гильберта; находит широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики. * * *… … Энциклопедический словарь
гильбертово пространство — Hilberto erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hilbert space vok. Hilbert Raum, m rus. гильбертово пространство, n pranc. espace de Hilbert, m; espace hilbertien, m … Fizikos terminų žodynas
Гильбертово пространство — обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай (пространство с бесконечным количеством размерностей). В таком пространстве сумма квадратов всех элементов пространства сходится, т. е. конечна, как конечна сумма квадратов сторон… … Начала современного естествознания
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — матем. понятие, обобщающее понятие евклидова пространства па бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкие приложения в разл. разделах математики и теоретич. физики … Естествознание. Энциклопедический словарь
гильбертово пространство — г ильбертово простр анство, г ильбертова простр анства … Русский орфографический словарь
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ — гильбертово пространство Е над полем комплексных чисел, снабженное непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G, к рая, вообще говоря, не является положительно определенной. Форму Gчасто наз. G метрикой. Наиболее важным частным… … Математическая энциклопедия
Часть II
Новая физика, необходимая для понимания разума. В поисках невычислительной физики разума
5. Структура квантового мира
5.12. Гильбертово пространство
Чтобы более внятно (и более точно) рассказать о том, как работает процедура R в стандартных квантовомеханических описаниях, необходимо перейти на несколько (совсем немного) более высокий уровень математической абстракции. Семейство всех возможных состояний квантовой системы образует так называемое гильбертово пространство. Нужды объяснять значение этого термина во всех математических тонкостях у нас в данный момент нет, однако некоторое представление о нем все же получить стоит — это поможет нам прояснить существующую картину квантового мира.
Первая и наиболее важная особенность, на которую следует обратить внимание: гильбертово пространство является комплексным векторным пространством. Это, в сущности, означает, что здесь мы вправе выполнять действия с комплексно-взвешенными комбинациями, посредством которых описываются квантовые состояния. Для обозначения элементов гильбертова пространства я продолжу использовать диракову скобку «кет», т.е. если состояния |ψ〉 и |φ〉 являются элементами гильбертова пространства, то таким же его элементом является и состояние w|ψ〉 + z|φ〉, где w и z — любая пара комплексных чисел. Допускается даже комбинация w = z = 0, она дает элемент 0 гильбертова пространства — единственный элемент, не соответствующий никакому возможному физическому состоянию. Как и в любом другом векторном пространстве здесь действуют самые обыкновенные алгебраические правила:
а это более или менее означает, что мы можем использовать алгебраическую систему обозначений привычным нам образом.
Иногда гильбертово пространство имеет конечную размерность — как, например, при описании спиновых состояний частицы. В случае спина 1/2 гильбертово пространство двумерно, а его элементы представляют собой комплексные линейные комбинации двух состояний, |↑〉 и |↓〉. Для спина 1/2 n гильбертово пространство (n + 1)-мерно. Однако размерность гильбертова пространства может быть и бесконечной — такое пространство необходимо, например, для описания состояний положения частицы. В этом случае каждое альтернативное положение, которое может занимать частица, рассматривается как отдельное измерение гильбертова пространства. Общее же состояние, определяющее квантовое местоположение частицы, записывается как комплексная суперпозиция всех этих различных отдельных положений (волновая функция для данной конкретной частицы). Надо сказать, что с рассмотрением такого бесконечномерного гильбертова пространства связаны определенные математические осложнения, которые лишь запутают нас без всякой на то необходимости, поэтому ниже я сосредоточусь (в основном) на конечномерном случае.
Попытавшись представить гильбертово пространство визуально, мы сталкиваемся с двумя трудностями. Во-первых, размерность такого пространства, как правило, слишком велика для того, чтобы наше воображение сколько-нибудь адекватно справилось с задачей. Во-вторых, пространство это является не вещественным, но комплексным. Впрочем, часто бывает полезно не задумываться о подобных трудностях с самого начала — это помогает выработать некоторое интуитивное понимание математических аспектов концепции. Поэтому давайте на некоторое время сделаем вид, будто для представления гильбертова пространства вполне достаточно той привычной двух- или трехмерной картины, которая у нас уже есть. На рис. 5.22 проиллюстрирована геометрически операция линейной суперпозиции на примере обычного трехмерного пространства.
Рис. 5.22. Если вообразить, что гильбертово пространство тождественно трехмерному евклидову пространству, то сумму векторов |ψ〉 и |φ〉 можно найти с помощью обычного правила параллелограмма (в плоскости (0, |ψ〉, |φ〉).
Вспомним, что вектор квантового состояния |ψ〉 соответствует тому же физическому состоянию, что и любой кратный ему вектор u|ψ〉, где u — ненулевое комплексное число. В нашей геометрической интерпретации это означает, что физическое состояние представляется не одинокой точкой в гильбертовом пространстве, но прямой, соединяющей гильбертову точку |ψ〉 с началом координат 0 (такую прямую называют лучом). Пример луча изображен на рис. 5.23; следует, впрочем, учитывать, что ввиду комплексного характера гильбертова пространства луч этот только выглядит как обычная одномерная прямая, на деле же за ним скрывается целая комплексная плоскость.
Рис. 5.23. Луч в гильбертовом пространстве есть множество всех комплексных кратных вектора состояния |ψ〉. Мы представляем этот луч в виде прямой, проходящей через начало гильбертовых координат, однако не следует забывать о том, что за этой прямой на деле скрывается комплексная плоскость.
До сих пор мы рассматривали гильбертово пространство, имея в виду лишь то, что структурно оно представляет собой комплексное векторное пространство. Однако, помимо комплексно-векторной структуры, у гильбертова пространства имеется еще одно, не менее важное, свойство, крайне полезное для описания процедуры редукции R. Речь идет об эрмитовом скалярном произведении (или внутреннем произведении), каковая операция позволяет из любой пары гильбертовых векторов получить одно-единственное комплексное число. Она же дает нам возможность ввести два весьма важных понятия. Первое — квадрат длины гильбертова вектора как скалярное произведение вектора на самого себя. Например, нормированное состояние (необходимое, как мы отмечали выше — см. §5.8, — для строгой применимости правила квадратов модулей) задается гильбертовым вектором, квадрат длины которого равен единице. Вторым важным понятием, сопутствующим скалярному произведению, является понятие ортогональности гильбертовых векторов — векторы ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. Ортогональными считаются векторы, направленные, в том или ином смысле, «под прямым углом» друг к другу. Применительно к состояниям, ортогональными обычно называют состояния, независимые одно от другого. Важность этого понятия для квантовой физики заключается в том, что различные альтернативные результаты любого измерения всегда ортогональны друг другу.
В качестве примера ортогональных состояний можно привести состояния |↑〉 и |↓〉, с которыми мы встречались при рассмотрении частицы со спином 1/2. (Отметим, что ортогональность в гильбертовом пространстве, как правило, не соответствует перпендикулярности в пространстве обычном; в случае спина 1/2 ортогональные состояния |↑〉 и |↓〉 представляют физические конфигурации, ориентированные, скорее, в противоположных направлениях, нежели под прямым углом.) Следующий пример — состояния |↑↑…↑〉, |↓↑…↑〉, …, |↓↓…↓〉 спина 1/2 n; каждое такое состояние ортогонально всем остальным. Ортогональными являются и все различные возможные положения, в которых может находиться квантовая частица. Более того, ортогональны как состояния |B〉 и i|C〉 (см. §5.7 — прошедшая и отраженная части состояния фотона, получаемые в результате падения фотона на полупрозрачное зеркало), так и состояния i|D〉 и —|E〉, в которые эволюционируют первые два после отражения от двух непрозрачных зеркал.
Последний факт иллюстрирует одно важное свойство шрёдингеровой эволюции U. Любые два изначально ортогональных состояния ортогональными и остаются, если каждое эволюционирует в соответствии с U в течение одного и того же временного периода. Таким образом, свойство ортогональности при эволюции U сохраняется. Кроме того, эволюция U сохраняет и значение скалярного произведения состояний. Собственно, именно в этом и заключается формальный смысл понятия унитарная эволюция.
Как мы только что отметили, ортогональность математически выражается как обращение в нуль скалярного произведения состояний. Это скалярное произведение, в общем случае, представляет собой комплексное число, поставленное в соответствие какой-либо паре элементов гильбертова пространства. Если обозначить эти элементы (или состояния) через |ψ〉 и |φ〉, то упомянутое комплексное число записывается так: 〈ψ|φ〉. При этом выполняется ряд простых алгебраических тождеств, которые мы можем записать в следующем (несколько, правда, неуклюжем) виде:
Кроме того, можно показать, что 〈ψ|ψ〉 = 0 при |ψ〉 = 0. Мне не хочется надоедать читателю прочими математическими подробностями (если же таковые подробности кого-то заинтересуют, то ознакомиться с ними можно, открыв любой стандартный текст по квантовой теории; см., например, [94]).
Существенными для наших дальнейших нужд свойствами скалярного произведения являются лишь следующие два (уже, впрочем, упоминавшиеся выше):
векторы |ψ〉 и |φ〉 ортогональны тогда и только тогда, когда 〈ψ|φ〉 = 0,
произведение 〈ψ|ψ〉 есть квадрат длины вектора |ψ〉.
Отметим, что отношение ортогональности является симметричным (поскольку 〈ψ¯|¯φ〉 = 〈φ|ψ〉). Более того, произведение 〈ψ|ψ〉 всегда представляет собой неотрицательное вещественное число, из какового числа легко извлекается неотрицательный квадратный корень, который мы можем называть длиной (или величиной) вектора |ψ〉.
Читайте еще:
О нем стоит говорить с самого начала, поскольку в дальнейшем не будет удобного случая для его обсуждения.
Труд сей для меня был многотруден и многострадален. Я не про то, конечно, как я добивался успеха у женщин, а про саму книжку на эту тему. В начале я пытался изобразить её, как воспоминания. Но меня образумили, что делать мемуары в столь раннем возрасте и про недавние события, достаточно интимные.
К черту на кулички такси не повезет, к врагам, слегка взбодренная скоростью, не поедешь сама. Подруги… Да уж эти мне подруги! Они-то таиться не станут.
Кстати, еще один забавный эпизод. Прояснив раз и навсегда, кто из нас двоих «звездее» и чем оно нам грозит, подруга самоотверженно изрекла: «Поверь, если ты скажешь: «Этот мужчина — важен для меня!» — я просижу весь вечер, не открывая рта. Встану и уйду, если толкнешь меня.
Как ни странно, но именно его театральное равнодушие толкало меня на все более безумные поступки, которых он, вероятно, и ждал. Но это вредило моей вполне устоявшейся и зрелой внутренней гармонии.
Мошенники совершают свои преступления потому, что им нравится обманывать наивных граждан. Тяга к авантюре у таких людей иногда превозмогает чувство самосохранения. Они, случается, разыгрывают свои спектакли совершенно бескорыстно, а также «берут на понт» коллег-мошенников.
Известным фактом является то, что нравственная чистота приносит силу и удовольствие. Чистый металл сильнее и красивее на взгляд. Точно так же и в браке: чем чище взаимоотношения, тем более крепкими и приятными они будут. Целомудрие до свадьбы и соблюдение супружеской верности после нее являются.
Пипл, плача от боли и поливая соплями тротуар, называет фирму. «Летающие гробы», например. Или «Аэрофлот». А может, даже и «Боинг» какой-нибудь.
Но я, повторяю, не всякий раз бежал и не всякий раз притворялся больным. Я бежал и притворялся только тогда, когда в той или иной степени сталкивался с «больными» предметами.
Потребность в таинственности — неотъемлемое примитивного сознания, поскольку причастность к тайне служит своего рода цементом для общественных отношений. На социальном уровне тайны с успехом компенсируют недостаточность отдельной личности, которая, всегда отделяя себя от других, в то.
3) воспитатели использовали традиционные приемы: с одной стороны, стимулирующие положительное поведение, с другой
Гильбертово пространство
Напомним, что в главе 5 для описания классической системы было введено понятие фазового пространства. Каждая точка фазового пространства используется для представления (классического) состояния физической системы как целого. В квантовой теории соответствующим аналогичным понятием является гильбертово пространство[147]. Одна точка гильбертова пространства представляет квантовое состояние системы как целого. Нам необходимо бросить хотя бы беглый взгляд на математическую структуру гильбертова пространства. Надеюсь, что читателя не устрашит такая перспектива. В том, что я намереваюсь сказать, нет ничего математически очень сложного, хотя некоторые идеи могут показаться непривычными.
Наиболее фундаментальное свойство гильбертова пространства заключается в том, что оно представляет собой так называемое векторное пространство, а фактически комплексное векторное пространство. Это означает, что, сложив любые два элемента гильбертова пространства, мы получим элемент, также принадлежащий этому же пространству. Кроме того, когда мы производим сложение элементов гильбертова пространства, их разрешается умножать на комплекснозначные веса. Мы должны уметь делать такие операции, ибо они входят в состав только что рассмотренной квантовой линейной суперпозиции, а именно операции, ранее давшие нам фотонные состояния ? t + ? b, ? t — ? b, ? t + i? b и т. д. По существу, все что мы имеем в виду, используя термин «комплексное векторное пространство», сводится к разрешению образовывать взвешенные суммы указанного типа[148].
Удобно принять систему обозначений (предложенную главным образом Дираком), согласно которой элементы гильбертова пространства называются векторами состояния и обозначаются угловыми скобками |?)[149] (важное примечание),
и т. д.
Теперь эти символы обозначают квантовые состояния. Операцию сложения двух векторов состояния мы записываем в виде
или с комплексными весами ? и z
где ?|?) означает ? х |?) и т. д. Соответствующим образом мы можем записать приведенные выше комбинации ? t + ? b, ? t — ? b, ? t + i? b в виде
Мы можем также просто умножить одно состояние |?) на комплексное число ? и получить
(в действительности это — частный случай приведенной выше комбинации состояний с комплексными весами при z = 0).
Напомним, что нам разрешается рассматривать комбинации с комплекснозначными весами ? и z и в том случае, когда ? и z — не являются амплитудами вероятности, а лишь им пропорциональны. Соответственно, мы принимаем правило, согласно которому весь вектор состояния можно умножить на отличное от нуля комплексное число, и физическое состояние от этого не изменится. (В результате такого умножения изменились бы значения весов ? и z, но отношение ?: z осталось бы неизменным.) Каждый из векторов
представляет одно и то же физическое состояние, как и любой вектор z |?), где z ? 0. Единственный элемент гильбертова пространства, не допускающий интерпретацию как физическое состояние, есть нулевой вектор 0 (начало координат гильбертова пространства).
Чтобы получить некоторое геометрическое представление этой картины, рассмотрим сначала более привычное понятие «вещественного» вектора. Такой вектор принято изображать просто как стрелку, проведенную на плоскости или в трехмерном пространстве. Сложение двух таких векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 6.19).
Рис. 6.19. Сложение и умножение на скаляры векторов в гильбертовом пространстве можно наглядно представить как соответствующие операции для векторов в обычном пространстве
Операция умножения вектора на положительное (вещественное) число сводится в таком представлении просто к умножению длины рассматриваемой стрелки на заданное число (направление стрелки при этом остается неизменным). Если же мы умножаем стрелку на отрицательное число, то направление стрелки изменяется на противоположное. Если число, на которое требуется умножить стрелку, равно 0, то мы получаем нулевой вектор 0, который не имеет направления. (Вектор 0 представлен «нулевой стрелкой», имеющей нулевую длину.) Одним из примеров векторной величины может служить сила, действующая на частицу. Другими примерами могут служить классические скорости, ускорения и импульсы. Существуют также 4-векторы импульса, которые мы рассматривали в конце предыдущей главы. Это — векторы не в двумерном и не в трехмерном пространстве, а в четырехмерном. Но для гильбертова пространства нам понадобятся векторы с гораздо большим числом измерений (в действительности, часто даже бесконечномерные, но для нас это обстоятельство сейчас несущественно). Напомним, что мы всегда использовали стрелки, чтобы изобразить векторы в классическом фазовом пространстве, которое могло иметь очень высокую размерность. Говоря об «измерениях» фазового пространства, как и об «измерениях» гильбертова пространства, мы не имеем в виду обычные пространственные направления. Отнюдь! Каждое измерение гильбертова пространства соответствует одному из различных независимых физических состояний квантовой системы.
Вследствие эквивалентности между |?) и z|?), физическое состояние в действительности соответствует целой прямой, проходящей через начало координат 0, (или лучу) в гильбертовом пространстве (описываемом всеми кратными некоторого вектора), а не просто каким-то конкретным вектором, лежащим на этой прямой. Луч состоит из всех возможных кратных некоторого конкретного вектора состояния |?). (Следует иметь в виду, что речь идет о комплексных кратных, поэтому прямая в действительности представляет собой комплексную прямую, но об этом пока лучше не беспокоиться!) (См. рис. 6.20.)
Рис. 6.20. Физические квантовые состояния описываются лучами в гильбертовом пространстве
Скоро пред нами предстанет весьма изящная картина такого пространства лучей для случая двумерного гильбертова пространства. Другой предельный случай — бесконечномерное гильбертово пространство. Бесконечномерное гильбертово пространство возникает даже в простой ситуации локализации одной частицы. Тогда для каждого возможного положения, которое могла бы занимать частица, существует целое измерение! Каждое положение частицы определяет в гильбертовом пространстве целую «координатную ось», поэтому с учетом бесконечно многих различных положений частицы мы имеем бесконечно много различных независимых направлений (или «измерений») в гильбертовом пространстве. Импульсные состояния также могут быть представлены в том же самом гильбертовом пространстве. Поскольку импульсные состояния представимы в виде комбинаций конфигурационных состояний, то они соответствуют осям, идущим «по диагонали» — наклоненным относительно осей в конфигурационном пространстве. Совокупность всех импульсных состояний дает нам новую систему осей, и переход от осей конфигурационного пространства состояний к осям импульсного пространства состояний сводится к повороту в гильбертовом пространстве.
Не следует пытаться наглядно представить себе это сколько-нибудь точно. Такая попытка была бы неразумной! Однако некоторые идеи, почерпнутые из обычной евклидовой геометрии, могут оказаться очень полезными. В частности, рассматриваемые нами оси (либо все оси в конфигурационном пространстве состояний, либо все оси в импульсном пространстве состояний) следует считать взаимно ортогональными, т. е. расположенными под «прямыми» углами друг к другу. «Ортогональность» лучей — понятие, важное для квантовой механики. Ортогональные лучи соответствуют состояниям, которые независимы друг от друга. Различные возможные конфигурационные состояния частицы все взаимноортогональны, как и все различные возможные импульсные состояния. Но конфигурационные состояния не ортогональны импульсным состояниям. Весьма схематично эта ситуация представлена на рис. 6.21.
Рис. 6.21. Конфигурационные состояния и импульсные состояния приводят к различному выбору ортогональных осей в одном и том же гильбертовом пространстве
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
Читайте также
24. Пространство и время. Пространство и время как всеобщие формы существования материи. Принцип единства мира
24. Пространство и время. Пространство и время как всеобщие формы существования материи. Принцип единства мира Пространство — это некая материальная или логически мыслимая среда совместного существования материальных или мыслимых объектов.Логически мыслимое
2. Пространство
2. Пространство — Феноменологически пространство есть качественно структурированное замкнутое зрительное пространство живых существ. В абстрагирующем созерцании, которое мыслит пространство однородным, чисто количественным и нескончаемым, однако так, что каждому
Пространство
Пространство Анализ как идеально отличительный момент знания не может служить основанием какого-либо содержания. Само содержание как результат акта рефлексии уже имеет отношение к миру. Рефлексия не движется в обратном направлении по пути, уже проложенному
4. Пространство и время
4. Пространство и время Чтобы полнее осветить суть философского понимания пространства и времени – важнейших феноменов человеческой культуры и сущностных характеристик нашего индивидуального существования, необходимо кратко проанализировать те представления о них,
Художественное пространство
Художественное пространство Понимание художественного пространства как важнейшей типологической категории поэтики стало общим местом после работ М. М. Бахтина, Д. С. Лихачева, В. Н. Топорова [Бахтин 1976; Лихачев 1972; Топоров 1983, 1995a-d] и их последователей. Тот факт, что в
Пространство и время
Пространство и время Чему могут нас научить, спрашивал Кант, эти, сбивающие нас с толку, антиномии? Его ответ гласит: наши представления о пространстве и времени неприменимы к миру как целому. Представления о пространстве и времени применимы, разумеется, к обычным
3. Пространство
3. Пространство Пространство есть форма материальных процессов. У времени только одно измерение, т. е. только одно направление течения его – от прошлого к будущему. А у пространства, знакомого нам, людям, есть три измерения, т. е. три направления: вверх – вниз; в длину; в
5. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ
5. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ Признавая существование объективной реальности, т.е. движущейся материи, независимо от нашего сознания, материализм неизбежно должен признавать также объективную реальность времени и пространства, в отличие, прежде всего, от кантианства, которое
ПРОСТРАНСТВО
ПРОСТРАНСТВО Пространство опять-таки доказывается нашим восприятием: далека одна вещь от другой или близка к ней. Так же как и по отношению ко времени доказывается, что пространство едино; кажущееся его разнообразие, различие: восток, юг, запад и север – зависит также от
1. Пространство и национализм
1. Пространство и национализм Язычество можно определить как возвышение конкретного пространства на уровень предельной ценности и достоинства. В языческих религиях есть бог, власть которого ограничивается строго установленным местом. Таким образом, язычество с
9. Пространство и время
9. Пространство и время Понятия пространства и времени. Все тела имеют определенную протяженность — длину, ширину, высоту. Они различным образом расположены друг относительно друга, составляют части той или иной системы. Пространство есть форма координации
5.12. Гильбертово пространство
5.12. Гильбертово пространство Чтобы более внятно (и более точно) рассказать о том, как работает процедура R в стандартных квантовомеханических описаниях, необходимо перейти на несколько (совсем немного) более высокий уровень математической абстракции. Семейство всех
Пространство (Espace)
Пространство (Espace) То, что остается, если убрать все; пустота, но пустота в трех измерениях. Ясно, что понятие пространства – абстракция (если мы действительно уберем все, то не останется вообще ничего, и это будет уже не пространство, а небытие); оно легче поддается