Что такое геометрическое место точек приведите пример

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Определение: Геометрическим местом точек называется геометрическая фигура на плоскости, каждая точка которой обладает одним и тем же определенным свойством.

Метод геометрических мест применяется чаще всего при построениях. Например, серединный перпендикуляр к отрезку можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точек концов отрезков; окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Теорема (о геометрическом месте точек). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть даны точки А и В, а точка С – середина отрезка АВ. Нужно найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В.

Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку.

Допустим, что есть еще точка К₁, расстояние до которой от А и В одинаково.

Рассмотрим ∆АК₁В, он разбит отрезком К₁С на два треугольника: ∆АК₁С и ∆К₁СВ. Если эти треугольники равны, то точка К₁ тоже удалена на одинаковое расстояние от А и В.

Через точку С проходят две прямые СК и СК₁. На основании теоремы 16 (о единственности перпендикуляра из точки к прямой), если СКꓕАВ по построению, то СК₁ не может быть перпендикулярна АВ.

Метод геометрических мест

Построить точку Х, равноудаленную от А и В и находящуюся на расстоянии h от точки С.

1.Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее первому условию: это будет серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Прямая а, которая содержит серединный перпендикуляр к отрезку АВ, удовлетворяет полностью первому условию.

2.На перпендикуляре (прямая а) должна находится точка Х, которая удовлетворяла бы второму условию (расстояние от нее до С должно составлять h).

Если из точки С радиусом h провести окружность, то все точки окружности будут расположены от С на одинаковом расстоянии h (построили второе геометрическое место точек, равноудаленных от С).

3.Пересечение первого геометрического места точек (прямая а) и второго (окружности с центром в точке С) будет удовлетворять обоим условиям задачи. Точки пересечения окружности и прямой (Х₁ и Х) и будут теми искомыми точками, которые равноудалены от точек А и В и находятся от С на расстоянии h.

Источник

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:

1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.

3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.

4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.

6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Некоторые геометрические места точек, часто используемые

Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих

2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии

oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.

3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт

данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая

параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.

А выбираем произвольно.

4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом

расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).

5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,

является биссектриса этого угла. (См. построение 4).

6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под

данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.

I случай:

— данный угол,

АВ – данный отрезок.

Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется

половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то

При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по

одну сторону от данного отрезка

II случай:

Полуокружность

(Любой угол, опирающийся на диаметр –

прямой).

III случай:

Источник

Презентация. Геометрия 7 класс. Геометрическое место точек

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема урока: Геометрическое место точек Геометрия – 7 класс Велиханова Марина Александровна, учитель математики КГУ «Банновская средняя школа», отдела образования акимата Федоровского района

Цели обучения: 7.1.1.31 знать определение геометрического места точек

1) На отрезке АВ найдите геометрическое место точки, равноудаленной от его концов. Геометрическое место точки, находящейся на отрезке и равноудаленной от его концов, есть середина отрезка. А В

2) Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка? А В

2) Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка? Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – серединный перпендикуляр к отрезку А В

6 см О 4) Как выглядит ГМТ, расстояние от которых до заданной точки не больше 6 см? Кругом называют ГМТ, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Задачи на нахождение ГМТ Решение задачи на поиск ГМТ должно содержать доказательство того, что все точки фигуры, указанной в ответе, обладают требуемым свойством, а также наоборот, что все точки, обладающие требуемым свойством, принадлежат этой фигуре

Задача. Доказать, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. 1) Построим CDBC, ADBA 2) BD-биссектриса CBD=ABDBCD=BAD AD = CD 3)KM = EM – доказывается аналогично А В С D M E K

ЗАПОМНИТЕ Самые известные примеры ГМТ. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — серединный перпендикуляр к отрезку. Геометрическое место точек, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние, — окружность Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, — биссектриса угла.

Задания для самостоятельной работы Желаю успеха!

Задание 1. Ответьте на вопросы. 1) Что, на ваш взгляд, является геометрическим местом точек, равноудаленным от данной точки? 2) Что будет являться геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла? 3) Дайте определение геометрического места точек, равноудаленных от концов данного отрезка.

Задание 3. Можно ли круг радиуса 5 см считать геометрическим местом точек, удаленных от центра этого круга на расстояние: А) длиной 5 см; Б) не больше 5 см; В) не менее 5 см; Г) не больше 4 см? Нет Да Нет Нет

Задание 4. Отрезок AB равен 4 см. Можно ли считать срединный перпендикуляр этого отрезка геометрическим местом точек, которые: А) удалены от A и B на 2 см; Б) удалены от A и B на одинаковые расстояния; В)* являются вершинами равнобедренных треугольников с основанием AB? Нет Да Да

На уроке мы Познакомились с определением геометрического места точек Изучили самые известные пример ГМТ Рассмотрели задания на нахождение ГМТ

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1088497

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения планирует выделить «Профессионалитет» в отдельный уровень образования

Время чтения: 2 минуты

Дума проведет расследование отклонения закона о школьных онлайн-ресурсах

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Геометрическое место точек

Геометрическое место точек (ГМТ) — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, удовлетворяющих определённому условию.

Чтобы выяснить, что собой представляет некоторая фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному условию P, нужно доказать:

1) если определённая точка принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет заданному условию P;

2) если определённая точка удовлетворяет заданному условию P, то она принадлежит фигуре F.

(то есть требуется доказать прямую теорему — свойство P точек, принадлежащих фигуре F, и обратную теорему — признак фигуры F: если точка удовлетворяет условию P, то она принадлежит F).

Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки — окружность.

Это следует непосредственно из определения окружности.

Некоторые теоремы о ГМТ

1) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

2) Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон неразвёрнутого угла, является биссектриса этого угла.

3) Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на h.

4) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная этим прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра.

Понятие ГМТ часто используют при решении задач на построение.

Источник

• ← Что такое геометрический язык
• Что такое геометрическое место точек →