Что такое геометрический смысл

Геометрический смысл производной

Параллельно с Ньютоном, который исследовал физические процессы и пришёл к пониманию о производной своим путём, Лейбниц ввёл определение производной через геометрию.

Для того чтобы разобраться в чём заключается геометрический смысл производной, обратимся к вышеприведённому схематическому рисунку. На нём изображён график функции y=f(x).

Обозначим через P точку, которой соответствует значение функции в точке x₀.

Проведём некоторую секущую через точки P и P₁. Угол наклона между положительным направлением оси X и этой секущей обозначим через β.

В результате получился прямоугольный треугольник с катетами Δx и Δy. Здесь Δx — это приращение аргумента функции, а Δy — приращение самой функции.

Отношение приращения функции к приращению аргумента есть тангенс угла между секущей и положительным направлением оси абсцисс.

Предельным положением секущей при стремящемся к нулю приращению будет прямая, в которой точки P и P₁ совпадут друг с другом. Такая прямая называется касательной к графику в точке P.

● Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке численно равно тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке.

Известно, что уравнение любой прямой имеет такой общий вид: y=k*x+b. Так вот в уравнении касательной к функции в точке P коэффициент k как раз равен значению производной в точке x₀

На практике часто встречаются задачи на применение геометрического смысла производной. Например, одна из таких задач — это исследование графика функции по заданному графику производной от этой функции.

Прикладные задачи на производную зачастую связаны с физическим понятием производной

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала анализа, 11 класса.

Урок №14. Геометрический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Геометрический смысл производной;

2) Алгоритм нахождения касательной к графику функции в точке;

3) Сравнение производных заданной функции по ее графику в различных точках.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что графиком линейной функции у=кх + b является прямая.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Уравнение касательной: y=1-1(x-0) = 1-x

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

х=-1 – абсцисса точки касания.

Источник

Производная функции — геометрический смысл и правила дифференцирования

Задачи на производную функции на ЕГЭ незаслуженно считаются сложными.

Они будут сложными в институте, но в школе это не так. На этой теме можно легко получить хорошие баллы на ЕГЭ.

Если вы не понимаете смысл производной или не умеете ее находить, для вас этот пост.

Прочитайте его и вы сможете решить любую задачу на производную функции на ЕГЭ.

Производная функции — коротко о главном

Определение производной

Производная функции – отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

\( \displaystyle ’\left( x \right)=\frac<\Delta f><\Delta x>\) при \( \displaystyle \Delta x\to 0\)

Базовые производные

Правила дифференцирования

Алгоритм нахождения производной от сложной функции

Геометрический смысл производной

Основная причина почему ты не умеешь решать задачи на производную — это непонимание ее сути. Ты просто не понимаешь что это такое!

А между прочим производная — это очень интересная, полезная и… довольно простая штука.

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось \( Ox\) направить вдоль дороги горизонтально, а \( Oy\) – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось \( Ox\) – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим \( \displaystyle \Delta x\) (читается «дельта икс»).

Греческую букву \( \displaystyle \Delta \) (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть \( \displaystyle \Delta x\) – это изменение величины \( \displaystyle x\), \( \displaystyle \Delta y\) – изменение \( \displaystyle y\); тогда что такое \( \displaystyle \Delta f\)? Правильно, изменение величины \( \displaystyle f\).

Важно: выражение \( \displaystyle \Delta x\) – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например, \( \displaystyle \frac<\Delta x><\Delta y>\ne \frac\)

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на \( \displaystyle \Delta x\). Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции \( \displaystyle f\left( x \right)\), то как мы обозначим подъем?

Конечно, \( \displaystyle \Delta f\). То есть, при продвижении вперед на \( \displaystyle \Delta x\) мы поднимаемся выше на \( \displaystyle \Delta f\).

Величину \( \displaystyle \Delta f\) посчитать легко: если в начале мы находились на высоте \( \displaystyle <_<1>>\), а после перемещения оказались на высоте \( \displaystyle <_<2>>\), то \( \displaystyle \Delta f=<_<2>>-<_<1>>\).

Если конечная точка оказалась ниже начальной, \( \displaystyle \Delta f\) будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на \( 1\) км дорога поднимается вверх на \( 1\) км. Тогда крутизна в этом месте равна \( 1\).

А если дорога при продвижении на \( 100\) м опустилась на \( 0,5\)км?

Тогда крутизна равна \( \displaystyle K=\frac<-\text<500м>><\text<100м>>=-5\).

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в \( 1\) км может очень многое поменяться.

Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на \( 2\) – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина \( x\) бесконечно мала, пишем так: \( \displaystyle x\to 0\) (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (\( \displaystyle x\to \infty \)).

Ты уже наверняка сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при \( \displaystyle x\to 0:\text< >\frac<1>\to \infty \), и наоборот: при \( \displaystyle x\to \infty :\text< >\frac<1>\to 0\).

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например, \( \displaystyle 2\). То есть одна малая величина может быть ровно в \( \displaystyle 2\) раза больше другой.

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Давай посмотрим как.

Понятие производной функции

А сейчас мы изучим основные математические термины и продолжим изучение производной.

Раздел тоже не сложный. Просто будь внимателен.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент (\( \displaystyle x\)) при продвижении вдоль оси \( \displaystyle Ox\), называется приращением аргумента и обозначается \( \displaystyle \Delta x.\)

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси \( \displaystyle Ox\) на расстояние \( \displaystyle \Delta x\), называется приращением функции и обозначается \( \displaystyle \Delta f\).

Итак, производная функции \( \displaystyle f\left( x \right)\) – это отношение \( \displaystyle \Delta f\) к \( \displaystyle \Delta x\) при \( \displaystyle \Delta x\to 0\).

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: \( \displaystyle ’\left( x \right)\) или просто \( \displaystyle ’\).

Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

\( \displaystyle ’\left( x \right)=\frac<\Delta f><\Delta x>\text< при>\ \Delta x\to 0\)

А бывает ли производная равна нулю?

Как и в аналогии с дорогой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

так как приращение такой функции равно нулю при любом \( \Delta x\).

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси \( Ox\):

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.

Но при этом он остался параллелен оси \( Ox\), то есть разность высот на его концах \( \displaystyle \Delta f\) равна нулю (не стремится, а именно равна).

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.

Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).

Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть \( \displaystyle 0\). Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Приращение функции

А теперь немного подробнее о приращениях…

Мы уже ввели это понятие и чтобы закрепить его, давай решим несколько примеров.

Пробуй решать до того, как посмотришь как мы это сделали!

Итак, мы меняем аргумент на величину \( \Delta x\).

Меняем от какого значения?

Каким он (аргумент) теперь стал?

Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой \( \displaystyle <_<0>>\). Значение функции в ней равно \( f\left( <_<0>> \right)\).

Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату \( <_<0>>\) на \( \Delta x\).

Чему теперь равен аргумент?

Очень легко: \( <_<0>>+\Delta x\).

А чему теперь равно значение функции?

Куда аргумент, туда и функция: \( f\left( <_<0>>+\Delta x \right)\).

А что с приращением функции?

Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

\( \Delta f=f\left( <_<0>>+\Delta x \right)-f\left( <_<0>> \right)\).

2 примера на тренировку

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Потренируемся брать производные

Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная!

Но как ее применить на практике?

Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!

Производная константы

Это мы уже обсуждали: если функция \( y=f\left( x \right)=c\), где \( c\) – некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента \( \Delta x\), функция нисколько не изменяется: \( \Delta f=0\). А значит,

Производная от константы равна нулю: \( ’=0\)

Производные степенной функции

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Производная функции первой степени

Простейший случай – это когда показатель степени \( a=1\):

Найдем ее производную в точке \( <_<0>>\). Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с \( <_<0>>\) до \( <_<0>>+\Delta x\). Каково приращение функции?

Приращение – это \( \Delta f=f\left( <_<0>>+\Delta x \right)-f\left( <_<0>> \right)\). Но функция в любой точке равна своему аргументу.

\( \Delta f=\left( <_<0>>+\Delta x \right)-<_<0>>=\Delta x\).

Производная от \( \displaystyle x\) равна \( \displaystyle 1\): \( \displaystyle ’=1\)

Производная квадратичной функции

Теперь рассмотрим квадратичную функцию (\( \displaystyle a=2\)): \( f\left( x \right)=<^<2>>\).

А теперь вспомним, что \( \Delta x\to 0\). Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

Итак, у нас родилось очередное правило:

Производная функции третьей степени

Продолжаем логический ряд: \( f\left( x \right)=<^<3>>\).

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов.

Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

\( \displaystyle \begin\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=<<\left( x+\Delta x \right)>^<3>>-<^<3>>=\left( x+\Delta x-x \right)\cdot \\\cdot \left( <<\left( x+\Delta x \right)>^<2>>+\left( x+\Delta x \right)\cdot x+<^<2>> \right)=\Delta x\left( 3<^<2>>+3x\Delta x+\Delta <^<2>> \right)\end\)

И снова вспомним, что \( \Delta x\to 0\). Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими \( \Delta x\):

Производная функции больших степеней

Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на \( \displaystyle 1\)».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров.

Три примера на тренировку

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Производная тригонометрических функций

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При \( x\to 0\) выражение \( \frac<\sin x>\to 1\).

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ 😉 ).

Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при \( \displaystyle x=0\) функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе \( \displaystyle x\) к значению \( \displaystyle0\), тем ближе функция к \( \displaystyle 1\). Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при \( x\to 0\) это выражение равно \( \displaystyle 1\): \( \frac<\sin x>=1\).

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для \( \displaystyle x\text< >=\text< >0,01;\text< >0,001;\text< >0,0001\) и так далее.

\( \frac<\sin 0,01><0,01>\approx 0,999983…;\text< >\frac<\sin 0,001><0,001>\approx 0,99999983…\) и т.д. Видим, что чем меньше \( \displaystyle x\), тем ближе значение отношения к \( \displaystyle 1\).

Убедился? Идем дальше.

Производная синуса

Рассмотрим функцию \( y=\sin x\). Как обычно, найдем ее приращение:

\( \Delta y=\sin \left( x+\Delta x \right)-\sin x\).

Превратим разность синусов в произведение.

\( \Delta y=\sin \left( x+\Delta x \right)-\sin x=2\sin \frac -x><2>\cdot \cos \frac<2>=2\sin \frac<\Delta x><2>\cdot \cos \left( x+\frac<\Delta x> <2>\right)\)

Теперь производная:

Тогда при бесконечно малом \( \Delta x\text< >\left( \Delta x\to 0 \right)\) \( \displaystyle t\) также бесконечно мало: \( t\to 0\). Выражение для \( \displaystyle ’\) принимает вид:

А теперь вспоминаем, что при \( t\to 0\) выражение \( \frac<\sin t>=1\). А также, что если бесконечно малой величиной \( \displaystyle t\) можно пренебречь в сумме \( x+t\) (то есть \( x+t\to x\) при \( t\to 0\)).

Итак, получаем следующее правило:

Производная косинуса

\( \Delta y=\cos \left( x+\Delta x \right)-\cos x=-2\sin \frac<2>\cdot \sin \frac -x><2>=-2\sin \left( x+\frac<\Delta x> <2>\right)\cdot \sin \frac<\Delta x><2>\).

Значит, производная косинуса равна минус синусу: \( <<\left( \cos x \right)>^<\prime >>=-\sin x\)

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Три примера на тренировку

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Производная экспоненты и натурального логарифма

Есть в математике такая функция, производная которой при любом \( \displaystyle x\) равна значению самой функции при этом же \( \displaystyle x\). Называется она «экспонента», и является показательной функцией

\( \displaystyle f\left( x \right)=<^>\).

Основание этой функции – константа \( \displaystyle e\approx 2,7183…\) – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как \( \displaystyle \pi \)). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой \( \displaystyle \mathbf\).

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число \( \displaystyle \mathbf\):

\( \displaystyle y=<^>\text< >\Leftrightarrow \text< >x=<<\log >_>y\)

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием \( \displaystyle \mathbf\)) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение \( \displaystyle \mathbf\): вместо \( \displaystyle <<\log >_>x\) пишем \( \displaystyle \ln x\).

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Два примера на тренировку

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

7 важнейших правил дифференцирования (или правил нахождения производной)

Правила чего? Опять новый термин, опять?!…

Дифференцирование – это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же…

Дифференциалом математики называют то самое приращение функции \( \displaystyle \Delta f\) при \( \displaystyle \Delta x\to 0\).

Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, \( \displaystyle f\) и \( \displaystyle y\). Нам понадобятся также формулы их приращений:

\( \displaystyle \begin\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\text< >\Rightarrow \text< >f\left( x+\Delta x \right)=f\left( x \right)+\Delta f\\\Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)\text< >\Rightarrow \text< >y\left( x+\Delta x \right)=y\left( x \right)+\Delta y\end\)

1. Константа выносится за знак производной

Если \( \displaystyle c\) – какое-то постоянное число (константа), тогда.

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть \( \displaystyle y\left( x \right)=c\cdot f\left( x \right)\), или проще \( \displaystyle y=cf\).

\( \displaystyle \Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)=cf\left( x+\Delta x \right)-cf\left( x \right)=c\underbrace<\left( f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right) \right)>_<\text<Это>\ \text<же>\Delta f>=c\Delta f\).

Пример 1

Найдите производную функции \( \displaystyle y=3<^<2>>\) в точке \( \displaystyle <_<0>>=2\).

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

2. Производная суммы

Производная суммы равна сумме производных:

Очевидно, это правило работает и для разности: \( \displaystyle <<\left( f-y \right)>^<\prime >>=’-’\).

Докажем. Пусть \( \displaystyle g\left( x \right)=f\left( x \right)+y\left( x \right)\), или проще \( \displaystyle g=f+y\).

Четыре примера для тренировки (Найдите производные функций)

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

3. Производная произведения

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию: \( \displaystyle g\left( x \right)=f\left( x \right)\cdot y\left( x \right)\), или проще \( \displaystyle g=f\cdot y\).

\( \displaystyle \Delta g=g\left( x+\Delta x \right)-g\left( x \right)=f\left( x+\Delta x \right)\cdot y\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\cdot y\left( x \right)\).

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

\( \displaystyle \begin\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\text< >\Rightarrow \text< >f\left( x+\Delta x \right)=f\left( x \right)+\Delta f\underset<\text<упрощенно>><\mathop<=>>\,f+\Delta f\\\Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)\text< >\Rightarrow \text< >y\left( x+\Delta x \right)=y\left( x \right)+\Delta y\underset<\text<упрощенно>><\mathop<=>>\,y+\Delta y\end\)

\( \displaystyle \begin\Delta g=\underbrace<\left( f+\Delta f \right)>_\cdot \underbrace<\left( y+\Delta y \right)>_-f\cdot y=f\cdot y+\Delta f\cdot y+f\cdot \Delta y+\Delta f\cdot \Delta y-f\cdot y=\\=\Delta f\cdot y+f\cdot \Delta y+\Delta f\cdot \Delta y.\end\)

Но при \( \displaystyle \Delta x\to 0\) приращение любой функции тоже бесконечно мало: \( \displaystyle \Delta y\to 0\). Поэтому последним слагаемым в выражении для производной \( \displaystyle ’\) можно пренебречь:

Три примера на тренировку

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

4. Производная частного

Здесь все аналогично: введем новую функцию \( \displaystyle g=\frac\) и найдем ее приращение:

Два примера на тренировку

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

5 Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Мы уже знаем производную функции \( \displaystyle <^>\), поэтому давай попробуем привести нашу функцию \( \displaystyle <^>\) к новому основанию \( \displaystyle e\):

Для этого воспользуемся простым правилом: \( \displaystyle a=<^<\ln a>>\). Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

4 примера на тренировку. Найди производные функций:

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

6. Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, \( \displaystyle a\):

Нужно привести этот логарифм к основанию \( \displaystyle e\). А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо \( \displaystyle <<\log >_>\) будем писать \( \displaystyle ln\):

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной \( \displaystyle \)). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

7. Производная сложной функции

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат.

Итак, нам дают число \( \displaystyle x\) (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось?

Функция \( \displaystyle y=<<\cos >^<2>>x\). Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция: \( \displaystyle y\left( f\left( x \right) \right)\).

Для нашего примера \( \displaystyle f\left( x \right)=\cos x\), \( \displaystyle y\left( x \right)=<^<2>>\).

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь \( \displaystyle x\) в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: \( \displaystyle f=\cos \left( <^<2>>\right)\). Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: \( \displaystyle y\left( x \right)=<^<2>>;\text< >f\left( x \right)=\cos x\)(то же самое). \( \displaystyle f\left( y\left( x \right) \right)=\cos y\left( x \right)=\cos \left(<^<2>>\right)\).

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Источник