Что такое геометрические термины
Словарь геометрических понятий 7-8 класс
Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы
7 класс Глава I Начальные геометрические сведения
Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов
Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.
Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.
Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.
Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.
Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.
Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.
Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.
Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.
Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
Свойство: вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.
Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Глава II Треугольники
Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.
Периметр – сумма длин всех сторон.
Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Медиана треугольника— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника— отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника— перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.
Равносторонний треугольник— треугольник, у которого все стороны равны.
Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.
Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.
Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.
Диаметр-хорда, проходящая через центр.
Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.
Основные задачи на построение циркулем и линейкой:
построение отрезка, равного данному
построение угла, равного данному
построение биссектрисы угла
построение середины отрезка
построение перпендикулярных прямых
Глава III Параллельные прямые
При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:
накрест лежащие углы
Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника
Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.
Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.
Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.
Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.
Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.
Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
8 класс. Глава V Четырёхугольники
Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.
Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.
Выпуклый многоугольник— это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Параллелограмм— это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.
Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.
Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство: диагонали прямоугольника равны.
Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.
Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.
Глава VII Подобные треугольники
Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m 1и n 1,если отношения их длин равны m : m 1= n : n 1.
Подобные треугольники— это треугольники, у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.
С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Глава VIII Окружность
Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.
Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Средняя линия трапеции— это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.
Основные понятия геометрии — список геометрических определений, терминов и значений
Вот и настал момент прощания с математикой, сопровождающей нас на протяжении долгих шести лет школьной жизни. Но огорчаться не нужно, на смену привычной математике приходят занимательные и интересные разделы этой науки – алгебра и геометрия.
Давайте разберемся, что же такое геометрия, для чего она нужна, где её используют?
В дословном переводе с греческого, геометрия означает землемерие:
Более точное определение утверждает, что наука об отношениях плоскостей, пространств и изучении форм называется геометрией.
Постоянно сталкиваясь с геометрией не придаем этому большого значения. Она всегда рядом, она живет с нами. Оглянитесь вокруг – потолок, стены, мебель, бытовая техника отображают геометрические фигуры, созданные с учетом геометрических знаний. Выйдя на улицу, посмотрите по сторонам – стволы деревьев и стебли растений имеют цилиндрическую форму, кроны деревьев — форму конусов, овалов, треугольников, лепестки цветов — форму круга или овала. Любая профессия (хирург, строитель, водитель, учитель, повар) имеет связь с основами геометрии. Повсюду нас окружают геометрические элементы. Эта наука плотно вошла в нашу жизнь, и является её неотъемлемой частью.
Геометрия содержит ряд основных понятий, необходимых для дальнейшего изучения и применения на практике геометрических знаний. Давайте познакомимся с ними поближе.
Геометрия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.
Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.
Аксиома — математическое предложение, принимаемое без доказательства, называют аксиомой.
Евклидова геометрия —в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.
Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.
Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
Проективная геометрия — изучающая проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях.
Аффинная геометрия — изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.
Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости.
Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы:
По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы:
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом.
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (стороны угла), исходящими из одной точки (вершина угла). Применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. Угол в 90° называется прямым; угол, меньший чем 90°, называется острым; угол, больший чем 90°, называется тупым.
Смежные углы — это углы, имеющие общую вершину и общую сторону; две другие стороны являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна 180°. Вертикальные углы — это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.
Биссектрисой угла — называется луч, делящий угол пополам.
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой, и обратно, прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образуются восемь углов, которые попарно называются: соответственные углы (эти углы попарно равны); внутренние накрест лежащие углы (они попарно равны); внешние накрест лежащие углы (они попарно равны); внутренние односторонние углы (их сумма равна 180°); внешние односторонние углы (их сумма равна 180°).
Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки.
Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение.
Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать
Линия — представляет собой массу точек. Линии принято обозначать строчными буквами латиницы.
С углами, отрезками и методом сравнения без использования вычислений мы познакомились. Теперь давайте узнаем, какие бывают виды углов в зависимости от градусной меры.
Острый. Градусная мера 90 ˚
Развернутый. Градусная мера =180 ˚. Развернутый угол, состоит из двух прямых углов.
Когда углы дополняют один другого, то они могут быть смежными углами и вертикальными углами.
Смежные углы – углы, у которых есть общая сторона, а из оставшихся сторон получается прямая линия.
Когда прямые при пересечении образуют угол 90˚ их называют перпендикулярными прямыми.
Если прямые никогда не пересекаются на плоскости, то их называют параллельными.
Аксиома принадлежности — через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну. Аксиома порядка: среди любых трех точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.
Aксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов —если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой. Аксиома параллельных прямых: через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда): для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1, A2, …, An, лежащих на прямой AB, таких что отрезки AA1, A1A2, …, An-1An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An.
Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником.
В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником, шестиугольником и т. д. Сумма длин называется периметром и обозначается p.
Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180°*(n—2), где n — число углов (или сторон) многоугольника.
Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник. Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.
В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:
Площадь прямоугольного треугольника : 
Радиус вписанной окружности:
В произвольном треугольнике:
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность: 
где а — сторона, n — число сторон многоугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности (апофема правильного многоугольника).
Площадь правильного многоугольника: 
Длины сторон и диагоналей связаны формулой: 
Основные свойства треугольников:
Признаки равенства треугольников: треугольники равны, если равны:
Признаки равенства прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или ее продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Формула для высоты треугольника: 
Медиана — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Формула для биссектрисы треугольника: 
Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга. В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном — снаружи; в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: c2 = a2 + b2.
В общем случае (для произвольного треугольника) имеем: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, где C — угол между сторонами a и b.
Четырехугольник — фигура, образованная четырьмя точками (вершинами), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырьмя последовательно соединяющими их отрезками (сторонами), которые не должны пересекаться.
Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними — высотой.
Площадь параллелограмма:
Радиус вписанной в параллелограмм окружности:
Прямоугольник — это параллелограмм, все углы которого равны 90°.
Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (по теореме Пифагора).
Площадь прямоугольника:S = ab.
Диаметр прямоугольника: 
Радиус описанной около прямоугольника окружности: 
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.
Площадь ромба выражается через диагонали:
Квадрат — это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно, следовательно, он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.
Площадь квадрата: 
Радиус описанной около квадрата окружности:
Радиус вписанной в квадрат окружности:
Диагональ квадрата: 
Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называюся основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Расстояние между основаниями есть высота. Отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны.
Площадь трапеции: 
, где a и b — основания, h — высота.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из свойства трапеции, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из ее оснований превращается в точку.
Подобие плоских фигур. Если изменить все размеры плоской фигуры одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными. Два многоугольника подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны.
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон, диаметров).
Геометрическое место точек — это множество всех точек, удовлетворяющих определенным заданным условиям.
Окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается — r. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности называется дугой. Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности — хордой. Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром и обозначается d. Диаметр — это наибольшая хорда, по величине равная двум радиусам: d = 2r.
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и соответствующей хордой. Длина перпендикуляра, проведенного из середины хорды до пересечения с дугой, называется высотой сегмента.
Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.
Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Вписанный угол — это угол, образованный двумя хордами, проведенными из их одной общей точки. Описанный угол — угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки.
Радианная мера любого угла — это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к ее радиусу.
Соотношения между элементами круга.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга, то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг, прямые.
Угол, образованный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.
Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.
Угол, образованный касательной и секущей, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Описанный угол, образованный двумя касательными, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой пересечения, равны.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Хорда, перпендикулярная диаметру, делится в их точке пересечения пополам.
Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности. Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности. Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника, называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными, называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника эта возможность существует всегда.
В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырехугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180°. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная. Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами.
Основные аксиомы стереометрии.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести одну и только одну плоскость.
Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через две прямые не всегда можно провести плоскость, тогда эти прямые называются скрещивающимися.
Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся — нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезка, соединяющего ближайшие точки, расположенные на скрещивающихся прямых. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае говорят, что прямая и плоскость параллельны друг другу.
Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и ежащей на прямой, перпендикулярной плоскости.
Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проекцией отрезка на плоскость P является отрезок, концы которого являются проекциями точек данного отрезка.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная к ребру, дает в ее пересечении с полуплоскостями угол называемый линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.
Многогранный угол. Если через точку провести множество плоскостей, которые последовательно пересекаются друг с другом по прямым, то получим фигуру, называемую многогранным углом. Плоскости, образующие многогранный угол называются его гранями; прямые, по которым последовательно пересекаются грани называются ребрами многогранного угла. Минимальное количество граней многогранного угла равно трем.
Параллельные плоскости вырезают на ребрах многогранного угла, пропорциональные отрезки и образуют подобные многоугольники.
Признаки параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признаки параллельности плоскостей:
Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.
Признаки параллельности прямых в пространстве:
Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат xy:
ax + bx + c = 0, где a, b, c — постоянные числа, x и y —координаты переменной точки M(x,y) на прямой.
Признаки параллельности прямых:
Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.
Многогранник — это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами, их вершины — вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник — выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.
Куб — объемная фигура с шестью равными гранями.
Объем и площадь поверхности куба: 
Призмой называется многогранник, две грани которого (основания призмы) — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани — параллелограммы.
Отрезки, соединяющие соответствующие вершины, называются боковыми ребрами. Высота призмы — это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть, соответственно треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Площадь боковой поверхности прямой призмы:
Sбок = P*H, где P — периметр основания, а H — высота.
Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Если четыре боковые грани параллелепипеда — прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его ребра a, b, c связаны соотношением d2 = a2 + b2 + c2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны.
Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
V = a*b*c, Sполн = 2(ab + ac + bc).
Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) является произвольным многоугольником, а остальные грани (боковые грани) — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть, соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Треугольная пирамида является тетраэдром, четырехугольная — пятигранником и т. д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота падает в центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключенное между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними — высотой. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, — правильная. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобочные трапеции.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: 
, где P — периметр основания; h — высота боковой грани (апофема правильной пирамиды).
Объем усеченной пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: 
,
где P и P’ — периметры оснований; h — высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды).
Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой, сохраняющей свое направление и пересекающейся с заданной линией (кривой). Эта линия называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими цилиндрической поверхности.
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Части этих плоскостей называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями — высота цилиндра. Цилиндр прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание — круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра.
Объем, площади боковой и полной поверхностей цилиндра: 
,
где R — радиус оснований; H — высота цилиндра.
Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.
Сечения, параллельные основанию, — круги того же радиуса.
Сечения, параллельные образующим цилиндра, — пары параллельных прямых.
Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим, — эллипсы.
Коническая поверхность образуется при движении прямой, проходящей все время через неподвижную точку, и пересекающей за данную линию, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими конической поверхности; точка — ее вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом, другая — его продолжением.
Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.
Конус — это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью, не проходящей через вершину.
Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, называется высотой конуса.
Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.
Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса: 
,
где r — радиус; Sосн — площадь; P — длина окружности основания; L — длина образующей; H — высота конуса.
Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса:
Сечения кругового конуса, параллельные его основанию, — круги.
Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей, — эллипс.
Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих, — парабола.
Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей. В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конус).
Сферическая поверхность — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферической поверхности.
Шар (сфера) — это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.
Объем шара в полтора раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра.
Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью, называется шаровым (сферическим) сегментом. Круг называется основанием шарового сегмента. Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра круга до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем; кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Расстояние между основаниями шарового пояса — его высота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара, называется шаровым сектором.