Что такое географическая плоскость
Ликбез по картографическим проекциям с картинками
Визуализация данных самого разного рода, имеющих некое географическое распределение, в последнее время получает все большее и большее распространение. Тут, на Хабре, статьи с картами встречаются чуть ли не каждую неделю. Карты в статьях очень разные, но роднит их одно: как правило, в них используются всего две картографические проекции, при том — не самые удачные из существующих. Мне бы хотелось дать несколько наглядных примеров проекций, которые выглядят более эстетично и лучше приспособлены для разных видов визуализации. В этой статье будут рассмотрены общемировые проекции и проекции большей части Земли, так как визуализация чего-либо на карте мира, пожалуй, является наиболее распространенной из подобных задач.
Легкое введение
Поскольку статья ориентирована на вопросы визуализации данных, я не буду касаться глубоко теории проекций (датумов, конформности, равноугольности и тому подобного), кроме общих принципов их построения. Также, я буду говорить тут о «проекциях», формально подразумевая «систему координат», coordinate reference system, потому что для карт таких масштабов не имеет смысла отдельно рассматривать проекцию и датум. Математики здесь тоже практически не будет, кроме простой геометрии. Желающие ознакомиться с математическими принципами, могут это сделать по статьям на Wolfram MathWorld. Так что изучающим программирование в области геоинформационных систем или их опытным пользователям, эта статья, возможно, будет не очень полезна.
Перед началом, объясню пару вещей. Все примеры будут даваться с использованием набора данных государственных границ с вот этого сайта и набора данных Blue Marble Next Generation с сайта NASA. Последний включает в себя синтезированные безоблачные снимки земной поверхности за каждый из двенадцати месяцев 2004-го года, что позволит внести некоторое разнообразие в иллюстрации.
Я очень люблю открытый софт, но использовать GDAL в данном случае мне показалось неэффективно — некоторых не очень ходовых, но полезных проекций в его реализации на данный момент либо нет, либо я плохо смотрел исходники, а потому иллюстрации я готовил в коммерческой программе GlobalMapper, которой пользуюсь уже много лет, и которая славится поддержкой внушительного списка систем координат.
Названия проекций и некоторые термины я буду давать и англоязычные, потому что если кому-то захочется поискать материалы по этой теме, русскоязычных источников в сети найдется несколько меньше (объем статей в Википедии на русском меньше в несколько раз). Для большинства проекций я постараюсь дать не только названия, но и коды EPSG и/или WKID, а также название проекции в библиотеке PROJ.4, широко используемой в открытом софте (например, в пакете R) для поддержки систем координат.
Некоторые проекции, возможно, окажутся кому-то знакомыми по картинке с xkcd, но все из них тут рассмотрены не будут.
Проблема
Начнем с того, что же это за самые распространенные проекции, и что с ними не так.
Первая проекция — так называемая «Географическая», она же – Geographic projection, Latitude/Longitude, Plate carrée EPSG:4326 WKID:54001 PROJ.4:longlat. Строго говоря, она даже не совсем является проекцией, потому что получается путем интерпретации полярных угловых координат, как линейных прямоугольных, без всяких вычислений. Эту проекцию используют, потому что она способна отобразить всю поверхность Земли целиком и потому, что она самая простая математически, а данные очень часто распространяются не спроецированными, то есть именно в географических координатах (градусах широты и долготы).
Другая весьма популярная проекция — «проекция Меркатора», Mercator projection PROJ.4:merc. Она также используется для визуализации данных, покрывающих весь мир, но ее популярность продиктована не только простотой — ее варианты являются стандартом де-факто для глобальных картографических сервисов, таких как Google Maps, Bing Maps, Here. С ней глубоко связаны картографические библиотеки OpenLayers, Leaflet, API упомянутых выше сервисов. В варианте Google и OpenStreetMap она носит название Web Mercator и имеет код EPSG/WKID:3857, иногда на нее также ссылаются, как на EPSG:900913. Принцип ее построения не сильно сложнее Географической – это проекция на цилиндр, чья ось совпадает с географической осью Земли, проецирование происходит линиями, выходящими из центра планеты, от чего ошибка растяжения приполярных областей по горизонтали оказывается скомпенсирована пропорциональным растяжением по вертикали. Проблема с этим только в том, что карта получится слишком большой по вертикали, если попытаться отобразить и север Гренландии. Потому обычно отбрасывают 16° полярных областей (в равной пропорции или больше — с юга).
На чей-то взгляд выглядит чуть лучше, чем Географическая, но одну проблему мы уже упомянули, а вторая — чем ближе объект к полюсам, тем он кажется больше, хотя его форма уже не так искажена. Потому, если предмет визуализации — плотность маркеров на единицу территории или расстояния, такой способ отображения будет вводить в заблуждение. При грамотном выборе способа визуализации, конечно, это можно скомпенсировать, а для каких-то случаев это вообще не проблема: например, если величина какого-то показателя в целой стране соотнесена с цветом этой страны на карте, эффект растяжения площадей не сказывается. Эта проекция сохраняет только форму объектов, потому очертания континентов и стран выглядят довольно узнаваемо. И, как я уже сказал, она — ваш первый и самый простой вариант при создании интерактивных веб-карт.
Варианты решения
Что же делать с глобальными данными, если нам по какой-то причине понадобилась проекция, лучше сохраняющая такие свойства объектов, как форма, площадь, расстояния и углы? Законы геометрии не дают нам сохранить все эти свойства сразу, развернув круглую поверхность Земли на плоскость. Однако, для визуализации данных более всего важна эстетика и восприятие, а не сохранение свойств, как для навигационных или измерительных задач. Потому становится возможным подобрать такую проекцию, искажения в которой были бы равномерно распределены по свойствам. И таких проекций существует довольно много. Существуют три самых известных, обладающих сходными свойствами: «Тройная проекция Винкеля» Winkel Tripel WKID:54042 PROJ.4:wintri, «проекция Робинсона» Robinson projection WKID:54030 PROJ.4:robin, «проекция Каврайского» (Kavrayskiy projection). Первая и последняя имеют визуально минимальные искажения, а неспециалисту, не видя градусной сетки, вообще весьма сложно различить их, потому я приведу иллюстрацию для Winkel Tripel, как той, которая лично мне нравится больше всего.
Вот так описание этой проекции выглядит в формате ESRI WKT:
PROJCS[«Robinson»,
GEOGCS[«GCS_WGS_1984»,
DATUM[«D_WGS84»,
SPHEROID[«WGS84»,6378137,298.257223563]
],
PRIMEM[«Greenwich»,0],
UNIT[«Degree»,0.017453292519943295]
],
PROJECTION[«Robinson»],
PARAMETER[«central_meridian»,0],
PARAMETER[«false_easting»,0],
PARAMETER[«false_northing»,0],
UNIT[«Meter»,1]
]
Как легко видеть, хотя искажение контуров и некоторое увеличение площади стран к полюсам здесь также наблюдаются, но это нельзя даже сравнивать с растяжением Географической проекции и пропорциональным увеличением проекции Меркатора.
Тут стоит сделать небольшое отступление и обратить внимание на то, что вид этой проекции по умолчанию страдает одним недостатком, который касается и других общемировых проекций. Дело в том, что если за центральный меридиан — линию, соединяющую северный и южный полюс через центр карты (longitude of origin) — принять нулевой меридиан, то карта будет разрезана по 180-му. Но при этом треть Чукотки окажется на левом краю карты, а две трети — на правом. Чтобы сделать карту красивее, разрез должен проходить где-то в районе 169-го западного меридиана восточнее острова Ратманова, для чего за центральный должен быть принят 11-й. Вот иллюстрация того, что получается:
А вот измененное для этого случая описание в ESRI WKT:
PROJCS[«Robinson»,
GEOGCS[«GCS_WGS_1984»,
DATUM[«D_WGS84»,
SPHEROID[«WGS84»,6378137,298.257223563]
],
PRIMEM[«Greenwich»,0],
UNIT[«Degree»,0.017453292519943295]
],
PROJECTION[«Robinson»],
PARAMETER[«central_meridian»,11],
PARAMETER[«false_easting»,0],
PARAMETER[«false_northing»,0],
UNIT[«Meter»,1]
]
В формате определения системы координат для PROJ.4 долгота центра проекции задается параметром +lon_0=.
11-й меридиан — «магическое» число: практически все мировые проекции, имеющие равномерный масштаб вдоль экватора, могут быть разрезаны по Берингову проливу, если за центральный принять именно его, а не нулевой.
Замечу, что задумываясь о выборе проекции, стоит принимать во внимание все существующие реальные требования к визуализации. Например, если данные касаются климата, то может иметь смысл либо нанести на карту линии широты, либо использовать проекцию, где они горизонтальны, а не загибаются к краям карты (то есть, отказаться от Тройной Винкеля в пользу, например, Робинсона). В данном случае, это позволит легче и точнее оценить относительную близость разных мест к полюсам и экватору. Еще один весомый плюс проекции Робинсона — то, что она поддерживается множеством софта, в том числе открытого, тогда как про некоторые другие этого сказать нельзя.
Иногда, когда требуется максимально сохранить какое-то свойство, например — соотношение площадей объектов (стран) — эстетическая сторона страдает. Но поскольку это все же может для чего-то понадобиться, я приведу один пример такой проекции — «проекцию Моллвейде», Mollweide projection WKID:54009 PROJ.4:moll.
Как видно, она довольно сильно напоминает проекцию Робинсона, но с той разницей, что полюса все же стянуты в точки, от чего форма приполярных областей выглядит сильно искаженной. Но пропорции площадей стран, как и требовалось, сохраняются куда лучше.
Самым молодым конкурентом этих проекций является проекция Natural Earth PROJ.4:natearth — она представляет из себя гибрид проекций Каврайского и Робинсона, а ее параметры были подобраны группой американских, швейцарских и словенских специалистов в 2007 году, тогда как возраст большинства картографических проекций — не менее полувека.
Для перепроецирования данных в нее существует некоторое количество инструментов, которые были написаны специально для этого, но ее поддержка еще далека от повсеместной.
Немного экзотики и специальных случаев
Конечно, все многообразие проекций на этом не заканчивается. Их изобретено немало. Некоторые просто выглядят странно (скажем, проекция Бонне изображает Землю в виде фигуры, напоминающей разрезанное яблоко или стилизованное сердце), некоторые — предназначены для особых ситуаций. Например, готов поспорить, что очень многие видели на картинках карту мира, которая похожа на корку мандарина, которую сняли и расплющили. Это, наверняка, была «Разрывная гомолосинусоидальная проекция Гуда» Interrupted Goode Homolosine projection WKID:54052.
Вид ее вполне достоин названия. Ее назначение — отображать размер объектов (и в некоторой степени — форму) близко к естественным пропорциям. Ее главная проблема, кроме названия и странного вида, состоит в том, что путем подбора центрального меридиана невозможно добиться того, чтобы ни один крупный кусок суши не был разрезан. Обязательно пострадает что-то из списка: Гренландия, Исландия, Чукотка, Аляска. Лично на мой взгляд, проще привести отдельно изображения стран, чем использовать такую карту, если вы не хотите стилизовать свою работу под середину XX века.
На иллюстрации эта проекция имеет широту и долготу центра, равные широте и долготе Москвы, а высоту — 5000000 метров. Чем больше это расстояние, тем сильнее изображение Земли становится похоже на ее изображение в проекции, которую мы рассмотрим последней.
Проекция, которая показывает вид на Землю в параллельной перспективе, то есть как-бы с бесконечного расстояния, называется «Ортографическая проекция» Orthographic projection WKID:43041 PROJ.4:ortho. В каком-то смысле, она знакома всем, кто когда-либо пользовался Google Earth. Я говорю, что в каком-то смысле, потому что «направление взгляда» в этой проекции всегда перпендикулярно поверхности Земли, тогда как в Google Earth его можно наклонять как угодно.
Для нее, как и для предыдущей проекции, можно задать центральные широту и долготу, чтобы ориентировать Землю желаемым образом. Например, можно показать полушарие с центром в какой-то точке, о которой идет речь — скажем, иллюстрируя транспортные потоки континентального масштаба, исходящие от одного предприятия. Сделав две карты с противоположными значениями координат, можно получить карту всего мира (правда, на краях искажения будут очень велики). Генерация последовательности карт с плавным изменением центральной точки даст кадры для анимации вращающейся планеты без всякой трехмерной графики.
Если статья окажется интересной, постараюсь написать продолжение о проекциях, используемых для отображения отдельных стран или регионов, ориентированную, как и эта статья, на базовые свойства этих проекций для задачи визуализации данных, инфографики и тому подобного.
§ 6. Основные линии и плоскости на земном шаре
В любой точке В на земной поверхности (рис. 7) наблюдатель, глаз которого находится в некоторой точке А, при помощи отвеса может получить направление отвесной линии или вертикаль. Плоскость, проходящую через вертикальную линию, называют вертикальной, а перпендикулярную отвесной линии — горизонтальной.
Горизонтальную плоскость, проходящую через глаз наблюдателя, называют плоскостью истинного горизонта наблюдателя (плоскость Н). Вертикальную плоскость, проходящую через глаз наблюдателя и земные полюсы, называют плоскостью истинного меридиана наблюдателя (плоскость R). Пересечение этой плоскостью земного шара дает в сечении большой круг BPnqPse, окружность которого называют меридианом места, или меридианом наблюдателя (§3).
Вертикальную плоскость, проходящую через глаз наблюдателя перпендикулярно плоскости истинного меридиана наблюдателя, называют плоскостью первого вертикала (плоскость Q). Пересечение земного шара плоскостью Q дает в сечении большой круг ВВ’, который является меридианом только в одном частном случае, когда наблюдатель находится на географическом полюсе (точка В совпадает с точкой Рn или точкой Ps).
Плоскости истинного горизонта Я и истинного меридиана R наблюдателя пересекаются по линии NS. Эта линия определяет направление истинного меридиана в данной точке В и называется полуденной линией, так как в плоскости NS (плоскость R) Солнце бывает точно в полдень.
Направление линии AN от глаза наблюдателя в сторону северного полюса указывает наблюдателю точку севера N, а обратное направление AS — точку юга 5. Таким образом, полуденная линия NS определяет положение двух главных точек горизонта, или стран света — севера и юга.
Главное в военных СМИ за неделю: незаметный «Охотник», трансформация УДК проекта 22900, барражирующий смертоносный «Куб»
Источник: вертолетоносцы проекта 23900 оснастят безэкипажными катерами для борьбы с минами
Фрегат «Адмирал Горшков» запустил гиперзвуковой «Циркон» по береговой цели
ВИДЕО: военные показали противолодочный «Ответ» фрегата «Маршал Шапошников»
Основные точки, линии и плоскости на поверхности Земли
Для определения места корабля, береговых ориентиров и других объектов на земной поверхности служат определенные точки, линии и плоскости (Рис.4)
Диаметр Pn – Ps, вокруг которого вращается Земля, называется осью Земли.
Точки пересечения оси с поверхностью Земли называются географическими полюсами:
Pn –Северный (нордовый) полюс;
Ps –Южный (зюйдовый) полюс;
Если земной шар пересечь плоскостью, то на земной поверхности образуется круг (окружность). Круг, плоскость которого проходит через центр Земли, называется большим кругом.
Большой круг, плоскость которого перпендикулярна земной оси, называется экватором.
Экватор делит Землю на два полушария: Северное и Южное. Малые круги на земной поверхности, плоскости которых параллельны плоскости экватора, называются параллелями.
Меридианы и параллели на земной поверхности являются сеткой географических координат.
Линия, перпендикулярная к поверхности Земли в данной точке, называется отвесной линией.
3. Географические координаты.
Основные точки и линии на поверхности Земли, координатные оси, линии, координаты.
Географическим (истинным) полюсом называется точка пересечения земной оси с поверхностью Земли. Полюс, откуда вращение Земли усматривается против часовой стрелки, называется северным географическим (истинным) полюсом и обозначается как PN. Противоположная точка — это южный географический (истинный) полюс. Обознается как PS.
Экватором называется большой круг, образованный пересечением эллипсоида плоскостью, проходящей через центр Земли перпендикулярно земной оси.
Географическим или истинным меридианом называется большой круг, образованный пересечением эллипсоида плоскостью, проходящей через ось вращения Земли. На карте в меркаторской проекции меридиан — это прямая линия, которая показывает долготу. В соответствии с решением международной меридианной конференции в Вашингтоне (1884 год) в качестве начального (нулевого) меридиана принят Гринвичский меридиан. (Проходит через Гринвичскую обсерваторию близ Лондона). Меридиан, проходящий через место наблюдателя, называется меридианом наблюдателя.
Пример: φ = 45°15,2 ′ N; φ = 55°05, 1 ′ S
На полюсах долготы нет.
Чтобы показать движение судна в навигации используются такие понятия как разность широт и разность долгот.
Формулы (1) и (2) алгебраические, поэтому в них надо учитывать знаки.
Если в результате расчётов РД получится более 180°, то необходимо взять её дополнение до 360° и поменять наименование.
Кроме географической используются квазигеографическая, локальная, полярная и геодезическая системы координат.
4. Определение направлений в море
Основные плоскости, линии и углы для счёта направлений в море.
Направления в море задаются с помощью следующих углов: ИК, ИП, КУ.
Плоскость, проходящая через место наблюдателя, перпендикулярно отвесной линии, называется плоскостью истинного горизонта.
Плоскость, проходящая через ось вращения Земли и место наблюдателя, называется плоскостью истинного меридиана наблюдателя.
Плоскость, проходящая через отвесную линию, называется плоскостью вертикала. Плоскостью первого вертикала называется плоскость вертикала, перпендикулярная плоскости истинного меридиана наблюдателя.
Плоскость истинного меридиана наблюдателя, пересекая плоскость истинного горизонта, образует на её поверхности линию, которая называется полуденной линией и обозначается как N-S. Эта линия показывает направление на северный и южный географические полюса.
Плоскость первого вертикала, пересекая плоскость истинного горизонта, образует линию E-W. Эта линия показывает направление на восток и на запад.
Диаметральная плоскость (ДП) —
это условная вертикальная продольная плоскость, делящая корпус судна на две симметричные части. Диаметральная плоскость, пересекая плоскость истинного горизонта, образует на её поверхности линию, которая называется линией курса судна.
Истинным курсом (ИК)называется угол между нордовой частью истинного меридиана и линией курса судна. ИК показывает движение судна в направлении носовой части ДП относительно Nи.
Направление, обратное ИП, называется обратным истинным пеленгом (ОИП):
Другие системы счёта направлений:
Полукруговая. В этой системе счёт ведётся от N и от S к E и к W, от 0° до 180°. Например, N 130°E и S50 0 E.
Необходимо уметь переводить направления из одной системы счёта направлений в другую. Например, направление 135° перевести в другие системы счёта направлений. Ответ: N135°E, S55°E; SE55°; SE.
Фигура и модели Земли. Основные точки, линии и плоскости для ориентирования наблюдателя
Навигация — наука о выборе пути, определении места и перемещении судна в море с учетом задач, решаемых судном, и влияния внешней среды на направление и скорость судна (ГОСТ 23634-83).
Фигура и модели Земли. Основные точки, линии и плоскости для ориентирования наблюдателя
Геоид — модель Земли, образованная уровенной поверхностью, совпадающей с поверхностью Мирового океана в состоянии покоя и равновесия и продолженной под материками. Поверхность геоида во всех точках перпендикулярна направлению ускорения силы тяжести g в этих точках.
Поверхность Земли
Земной эллипсоид (сфероид) — фигура, моделирующая Землю и полученная путем вращения эллипса вокруг малой оси, которая совпадает с осью вращения Земли.
Характеристики эллипсоида:
— полярное сжатие: а = (a — b) / а,
— эксцентриситет: е = V а 2 — Ь 2 /а.
Референц-эллипсоид — земной эллипсоид определенных размеров, принятый в государстве в качестве модели Земли. В России — референц-эллипсоид Ф. II. Красовского, принятый в 1946 году: большая полуось а я 6378245 м; полярное сжатие а = 1 / 298,3.
Шар — модель Земли, используемая при решении некоторых задач навигации. Радиус сферической модели Земли R определяется исходя из заданных начальных условий..
Заданные условия, при которых определяется радиус:
1) Объем земного шара равен объему эллипсоида Красовского 6371 м
2) Равенство площадей поверхности земного шара и эллипсоида Кра« совского 6371 116 м
3) Окружность большого круга земного шара равна длине меридиана эллипсоида 6 367 559 м
4) Одна минута дуги большого круга земного шара равна стандартной миле 6 366 707 м
Точки линии и плоскости, связанные с моделью Земли
Земная ось — воображаемая прямая, вокруг которой происходит суточное вращение Земли. Параллели линии (BB1), образованные пересечением плоскостей, перпендикулярных земной оси, с поверхностью модели Земли. Экватор — наибольшая параллель (eq), проходящая через центр Земли. Меридианы (истинные, географические) — линии, образованные пересечением плоскостей, проходящих через ось Земли с ее поверхностью. Точки линии и плоскости, связанные с положением наблюдателя
Географические полюса земли — точки пересечения оси с земной поверхностью. Полюс, с которого наблюдается вращение Земли против часовой стрелки — северный
Вертикальная (отвесная) линия — прямая, совпадающая с паирав лением ускорения силы тяжести g в данной точке.
Плоскость истинного горизонта наблюдателя — плоскость, проходяшая через место наблюдателя перпендикулярно отвесной линии