Что такое двугранный угол
Двугранный угол (ЕГЭ 2022)
Дай нам 10 минут ты разберешься в одной из самых важных тем стереометрии.
И получишь за неё баллы на ЕГЭ!
Двугранный угол — коротко о главном
Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.
Двугранный угол может быть и острым и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).
Два способа найти угол между плоскостями:
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
Двугранный угол — определения
Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.
При этом прямая \( \displaystyle AB\) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – стороны или грани двугранного угла.
Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол \( \displaystyle AB\)».
С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.
Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:
Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
Линейный угол двугранного угла
Как измерить двугранный угол?
Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.
В плоскости \( \displaystyle \alpha \) провели перпендикуляр \( \displaystyle MD\) к ребру \( \displaystyle AB\). Что получилось? Обычный, плоский угол \( \displaystyle \varphi \).
Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AB\).
Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:
Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру \( \displaystyle 20<>^\circ \), то это будет автоматически означать, что угол \( \displaystyle AB\) равен \( \displaystyle 20<>^\circ \).
Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:
Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.
Ещё раз немного о названиях.
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).
Как найти угол между плоскостями?
Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.
Геометрический способ
При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.
Алгебраический способ
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
| \( \displaystyle \cos \gamma =\frac<<_<1>><_<2>>+<_<1>><_<2>>+< |
Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!
Какой же способ лучше? Зависит от задачи.
А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.
Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать \( \displaystyle <_<1>>,<_<1>>,<
Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.
Решение геометрическим способом
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.
Двугранный угол
Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. [1]
Содержание
Определения и свойства
Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.
Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещая угольник в приоткрытой книге.
У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.
| Название | точный двугранный угол в радианах | приближённое значение в градусах |
|---|---|---|
| Тетраэдр | arccos(1/3) | 70.53° |
| Гексаэдр или куб | π/2 | 90°(точн.) |
| Октаэдр | π − arccos(1/3) | 109.47° |
| Додекаэдр | 2·arctg(φ) | 116.56° |
| Икосаэдр | 2·arctg(φ + 1) | 138.19° |
Вариации и обобщения
Примечания
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Двугранный угол» в других словарях:
двугранный угол — Пространственный угол, образованный двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. [http://sl3d.ru/o slovare.html] Тематики машиностроение в целом … Справочник технического переводчика
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ — совокупность двух полуплоскостей, исходящих из общей прямой, которую называют ребром, а полуплоскости (см.) … Большая политехническая энциклопедия
двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями (гранями двугранного угла), исходящими из одной прямой, называемой ребром двугранного угла. Двугранный угол измеряется линейным углом, то есть углом α, который получается, если восстановить в любой точке … Энциклопедический словарь
Двугранный угол — фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями (рис.). Полуплоскости гранями Д. у., а их общая прямая ребром. Д. у. измеряется линейным … Большая советская энциклопедия
двугранный угол — dvisienis kampas statusas T sritis chemija apibrėžtis Kampas tarp plokštumų, kertančių du bendrus atomus ir du ryšius prie skirtingų atomų. atitikmenys: angl. dihedral angle; torsion angle; torsional angle rus. двугранный угол; торсионный угол … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
двугранный угол — dvisienis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. interfacial angle vok. Diederecke, f; Diederwinkel, m; Flächenwinkel, m rus. двугранный угол, m pranc. angle d’interfaces, m … Fizikos terminų žodynas
Двугранный угол — (мат.) см. Угол … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ — фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости наз. гранями Д. у., а их общая прямая ребром. Д. у. измеряется линейным углом, т … Математическая энциклопедия
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ — фигура, об разованная двумя полуплоскостями (гранями Д.. у.), исходящими из одной прямой, называемой ребром Д. у. (рис.). Д. у. измеряется линейным углом, т. е. углом а, к рый получается, если восстановить в любой точке ребра 2 перпендикуляра к… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Двугранные углы
Если из произвольной точки D ребра AB (черт. 28) проведём на каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный ими угол CDE называется линейным углом двугранного угла.
Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре. Так, линейные углы CDE и C1D1E1 равны, потому что их стороны соответственно параллельны и одинаково направлены.
Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру, так как она содержит две прямые, перпендикулярные к нему. Поэтому для получения линейного угла достаточно грани данного двугранного угла пересечь плоскостью, перпендикулярной к ребру, и рассмотреть получившийся в этой плоскости угол.
Равенство и неравенство двугранных углов
Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из двугранных углов считается меньшим, который составит часть другого угла.
Подобно углам в планиметрии, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.
Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.
2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.
Тогда если эти двугранные углы равны, то грань Q1 совпадёт с гранью Q; если же угол А1В1 меньше угла AB, то грань Q1 займёт некоторое положение внутри двугранного угла, например Q2.
Заметив это, возьмём на общем ребре какую-нибудь точку В и проведём через неё плоскость R, перпендикулярную к ребру. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы. Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол CBD; если же двугранные углы не совпадут, если, например, грань Q1 займёт положение Q2, то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно: ∠CBD > ∠C2BD).
1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.
Эти теоремы легко доказываются от противного.
1) Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.
Пусть (черт. 30) двугранный угол PABQ прямой. Это значит, что он равен смежному углу QABP1. Но в таком случае линейные углы CDE и CDE1 также равны; а так как они смежные, то каждый из них должен быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDE1, то равны и смежные двугранные углы, т.е. каждый из ни должен быть прямой.
2) Bcе прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.
Подобным же образом легко доказать, что:
3) Вертикальные двугранные углы равны.
4) Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково (или противоположно) направленными гранями равны.
5) Если за единицу двугранных углов возьмём такой двугранный угол, который соответствует единице линейных углов, то можно сказать, чтo двугранный угол измеряется его линейным углом.
Двугранный угол
Двугранный угол и линейный угол двугранного угла
Двугранный угол трёх векторов (как внешний сферический угол)
Содержание
Определения и свойства
Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.
Прямой угол в двугранном угле, равном 45 градусов (анимация)
Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещая угольник в приоткрытой книге.
У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.
Двугранный угол
Вы будете перенаправлены на Автор24
Понятие двугранного угла
Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.
На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.
Фигура называется двугранным углом, если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.
Рисунок 2. Двугранный угол
Градусная мера двугранного угла
Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.
Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.
Доказательство.
\[\angle AOB=\angle A_1
В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.
Теорема доказана.
Готовые работы на аналогичную тему
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.
Примеры задач
Доказательство.
Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).
Для доказательства вспомним следующую теорему
Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.
Решение.
Будем рассматривать рисунок 5.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 27 04 2021