Что такое движение в пространстве
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №4. Движения в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.
Потоскуев Е.В., Звавич Л. И., Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-63.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Определение движения в пространстве
Преобразованием пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.
Два преобразования называются равными, если образы любой точки при этих преобразованиях совпадают.
Точка А называется неподвижной точкой при некотором преобразовании f, если при этом преобразовании она отображается на себя.
Фигура F называется неподвижной фигурой при некотором преобразовании f, если при этом преобразовании она отображается на себя.
Преобразование пространства, которое каждую точку отображает на себя, называется тождественным преобразованием. Оно обычно обозначается Е. При тождественном преобразовании все точки и все фигуры пространства являются неподвижными.
Для любых двух преобразований можно рассмотреть третье, которое получается последовательным применением этих преобразований. Например, если преобразование f отображает точку М на точку М’, а преобразование g отображает точку М’ на точку M», то преобразование f°g отображает точку М на точку M»: f°g(М)=g(f(M))=M».
Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки A и B переходят (отображаются) в некие точки A1 и B1 так, что |AB|=|A1B1|.
Иными словами, движение пространства — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Так же, как и для движения на плоскости, можно доказать, что при движении в пространстве
— прямые переходят в прямые,
— полупрямые — в полупрямые,
— отрезки — в отрезки,
— сохраняются углы между прямыми.
Новое свойство движения в пространстве: движение переводит плоскости в плоскости.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
Можно доказать, что композиция двух движений пространства есть движение.
Центральная симметрия в пространстве задается и определяется так же, как и на плоскости
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O, называется центральной симметрией пространства относительно точки O. При этом точка O отображается на себя и называется центром симметрии.
Рисунок 1 – Центральная симметрия
На рисунке точка О – центр симметрии, АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О, DО=D1О (по определению точки, симметричной данной).
Центральная симметрия имеет только одну неподвижную точку – центр симметрии.
Сформулируем некоторые свойства центральной симметрии:
1) Прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
2) Прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.
3) Плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя (то есть является неподвижной плоскостью этой центральной симметрии).
4) Плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.
3. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой):
Точка M’ пространства, не лежащая на прямой m, называется симметричной точке М относительно прямой m, если отрезок ММ’ перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам.
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно прямой m, называется осевой симметрией пространства относительно прямой m. Прямая m отображается на себя и называется осью симметрии.
Рисунок 2 – Осевая симметрия
Неподвижные прямые осевой симметрии:
2) любая прямая, перпендикулярная прямой m
Неподвижные плоскости осевой симметрии:
1) любая плоскость, проходящая через прямую m
2) любая плоскость, перпендикулярная прямой m.
Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости):
Точка M’ пространства, не лежащая на плоскости α, называется симметричной точке М относительно плоскости α, если отрезок ММ’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам.
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α, называется зеркальной симметрией пространства относительно плоскости α. Плоскость α отображается на себя и называется плоскостью симметрии.
Рисунок 3 – Зеркальная симметрия
Неподвижные прямые зеркальной симметрии:
1) любая прямая плоскости α
2) любая прямая, перпендикулярная плоскости α
Неподвижные плоскости зеркальной симметрии:
1) сама плоскость α
2) любая плоскость, перпендикулярная плоскости α.
Параллельный перенос (точки переносятся на данный вектор):
Рисунок 4 – параллельный перенос
Пусть дан вектор 
.
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства M, отображается на такую точку M’, что выполняется равенство 
, называется параллельным переносом на вектор 
.
Перенос на нулевой вектор 
является тождественным преобразованием.
Параллельный перенос отображает прямую на параллельную ей прямую либо на себя; плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.
Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.
Неподвижными прямыми при параллельном переносе на вектор 
являются прямые, параллельные этому вектору.
Неподвижными плоскостями при параллельном переносе на вектор 
являются плоскости, параллельные этому вектору.
Поворот на данный угол вокруг данной оси:
Поворотом пространства на угол φ вокруг прямой n называется такое преобразование пространства, при котором любая точка прямой остается неподвижной и в любой плоскости, перпендикулярной прямой n, осуществляется поворот этой плоскости на угол φ вокруг точки ее пересечения с прямой n.
Рисунок 5 – Поворот вокруг прямой
Неподвижными точками являются любая точка оси вращения.
Неподвижной прямой является ось поворота.
Неподвижной плоскостью является любая плоскость, перпендикулярная оси поворота.
Поворот вокруг оси на угол 180 0 является осевой симметрией.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Дан треугольника АВС: А(3,- 2, 4), В (4, 6, 0), С (2, 2, 2)
В какую точку перейдет центр О пересечения медиан данного треугольника при:
Симметрия относительно начала координат
Симметрия относительно координатной плоскости ZOY
Поворот на угол 180 0 относительно координатной оси OZ
Симметрия относительно плоскости х=2
Найдем точку пересечения медиант данного треугольника.
М (
); М(3; 4; 1)
Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то можем найти координаты точки О, зная координаты А и М:
Теперь найдем координаты образа точки О при каждом из преобразований:.
. То есть координаты образа: (5; 0; 5)
(ордината и аппликата точки остаются такими же, а абсцисса меняет знак). То есть координаты образа: (-3; 2; 2).
Эта плоскость параллельная плоскости ZOY, поэтому ордината и аппликата точки остаются такими же. Так как абсцисса токи О хо =3, то расстояние от точки до плоскости α равно 1. Точка, симметричная точке О относительно плоскости α, будет иметь абсциссу, равную хо’ =1.
Презентация по геометрии по теме» движение в пространстве» (11 класс)
Описание презентации по отдельным слайдам:
Движение в пространстве
Понятие движения Движение – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками
Виды движения Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Параллельный перенос
Центральная симметрия Центральная симметрия — отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.
Осевая симметрия Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.
Осевая симметрия вокруг нас
Зеркальная симметрия Зеркальной симметрией (относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости точку М1.
Зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М(х; у;z) и М1(х1; у1; z1), симметричных относительно плоскости Оху. Если точка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость: 1) проходит через середину отрезка ММ1 ; 2) перпендикулярна к нему. М К К МК=М1К1 М1 К1
Фигуры, симметричные относительно плоскости Фигура ( тело) называется симметричной относительно некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает фигуру на две равные симметричные части.
Симметрия в пирамиде Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии
Задачи 1. Сколько плоскостей симметрии имеет пирамида, в основании которой лежит прямоугольник, ромб? Какое дополнительное условие должно присутствовать в условии задачи, чтобы ваш ответ был верен?
Зеркальная симметрия в призме 1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма? Ответы: а)2 б)4 в)3 г)5 д)12 2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник? Ответы: а)2 б)3 в)1 г)4 д)8 3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная призма? Ответы: а)4 б)3 в)1 г)2 д)5 г) 5 б) 3 а) 4
Зеркальная симметрия в архитектуре г. Санкт- Петербурга Александринский театр Исаакиевский собор Сколько плоскостей симметрии имеют данные объекты?
Улица России имеет плоскость симметрии в общем обзоре, но не все детали в архитектуре зданий симметричны.
Пример зеркальной симметрии
Зеркально симметричные объекты Осевая симметрия Зеркальная симметрия Центральная симметрия
Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор р называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что ММ1 =р М М1 М
A B C D A’ B’ C’ D’ Параллельный перенос
Параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор р любые две точки А и В переходят в точки А1и В1 такие, что АА1 = р и BB1= р. Требуется доказать, что А1В1=АВ. По правилу треугольника АВ1 = =АА1+А1 В1 C другой стороны, АВ1=АВ+ВВ1 (рис. 134, б). Из этих двух равенств получаем АА1+А1В1 = AВ + p, или р+А1В1 =АВ+p, откуда А1B1 =АВ. Следовательно, А1В1=АВ, что и требовалось доказать. B1 В
Параллельный перенос Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину. B1 В
Параллельный перенос различных фигур
Параллельный перенос А В
Кувшин. Плоская симметричная фигура. Крапива. Винтовая симметрия. Звезда. Симметрия восьмого порядка.
Зеркальная симметрия в природе
Зеркальная симметрия в природе
Симметрия переноса. Симметрия. Орнамент.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1216933
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Путин призвал повышать уровень общей подготовки в колледжах
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
При детском омбудсмене в России создадут платформу для взаимодействия с родителями
Время чтения: 2 минуты
Ученые изучили проблемы родителей, чьи дети учатся в госпитальных школах
Время чтения: 5 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация по геометрии «Движение в пространстве» (11 класс)
Описание презентации по отдельным слайдам:
Движения в пространстве Авторы: ученица 11 класса А Косинова Юлия. учитель математики Наумова Марина Ивановна МАОУ гимназия №26 Томск 2016
Движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.
При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки. Точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Сохраняются углы между полупрямыми. Любая фигура переходит в равную ей фигуру Свойства движения
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ПОВОРОТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС Виды движения
Осевой симметрией называют отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси a
Две точки называются симметричными относительно данной прямой (оси симметрии), если эта прямая является серединным перпендикуляром соединяющего их отрезка.
Осевая симметрия – симметрия относительно прямой А В А1 В1 a ОСЬ СИММЕТРИИ
Осевая симметрия – симметрия относительно прямой С1 А1 В1 a С
Симметрия относительно прямой – двусторонняя симметрия Присмотритесь внимательно и вы увидите, что правая сторона – есть зеркальное отображение левой. В математике – это симметрия относительно прямой (осевая симметрия), в биологии – двусторонняя симметрия.
Центральной симметрией называют отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно данного центра О O F
Две точки называются симметричными относительно данной точки (центра симметрии) или центрально симметричными, если данная точка является серединой соединяющего их отрезка.
Центральная симметрия – симметрия относительно точки А1 А В В1 О ЦЕНТР СИММЕТРИИ
О А1 В1 С1 Центральная симметрия – симметрия относительно точки С
чтобы построить фигуру, симметричную данной относительно точки О, нужно каждую точку фигуры соединить с точкой О, продолжить полученный отрезок равным ему, отметить на конце этого отрезка образ исходной точки, затем соединить полученные образы Центральная симметрия – симметрия относительно точки Сделаем вывод:
Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости α) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку M1 М1 M α О а
Две точки называются симметричными относительно данной плоскости (плоскости симметрии), если соединяющий их отрезок перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам.
Эксперименты Напишем на листе бумаги заглавными печатными буквами два слова «КОФЕ» и «ЧАЙ». Затем возьмем зеркало и поставим его вертикально так, чтобы линия пересечения плоскости зеркала с плоскостью листа делила эти слова по горизонтали.
Эксперименты Зеркало не подействовало на слово «КОФЕ», тогда как слово «ЧАЙ» оно изменило до неузнаваемости. Этот «фокус» имеет простое объяснение. Разумеется, зеркало одинаковым образом отражает нижнюю половину обеих слов. Однако в отличии от слова «ЧАЙ» слово «КОФЕ» обладает горизонтальной осью симметрии, именно поэтому оно не искажается при отражении в зеркале.
Параллельный перенос А В А1 В1 ВЕКТОР ПЕРЕНОСА
Параллельный перенос С1 А1 В1 С А В
Параллельный перенос Сделаем вывод: чтобы отобразить фигуру с помощью параллельного переноса, нужно каждую точку фигуры переместить на заданный вектор, а затем соединить полученные образы
n=3 120° n = 4 90° n = 2 180° n = 5 72°
При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая называется осью вращения (при этом ось вращения также называется осью поворотной симметрии порядка n). Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).
Поворот О А В А1 В1 НАПРАВЛЕНИЕ ПОВОРОТА: ИЛИ ЦЕНТР ПОВОРОТА УГОЛ ПОВОРОТА
Поворот О А1 В1 С1 С
Поворот Сделаем вывод: чтобы получить отображение фигуры при повороте около данной точки, нужно каждую точку фигуры повернуть на один и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки)
Гомотетия (преобразование подобия)
X X1 Y Y1 Z Z1 U U1 O Гомотетия
Композиция движений Композиция – результат последовательного выполнения двух движений. Осевая симметрия Параллельный перенос
Спасибо за внимание
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-027976
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Ученые изучили проблемы родителей, чьи дети учатся в госпитальных школах
Время чтения: 5 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В российских школах могут появиться «службы примирения»
Время чтения: 1 минута
В Хабаровске родители смогут заходить в школы и детсады только по QR-коду
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.