Что такое дробное выражение приведите пример

Урок 20 Бесплатно Дробные выражения

В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.

Дробные выражения

Для начала определимся с определением дробного выражения.

Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.

Пример:

Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: «Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?», то можно смело ответить: «Да, является!»

Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.

Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.

Примеры:

Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.

Примеры:

Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.

Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.

Например, существует следующее дробное выражение:

В данном случае \(\mathbf<3+10\cdot2>\) будет являться числителем, а \(\mathbf<2+\frac<1><2>>\)- знаменателем.

Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.

Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.

Примеры преобразования обычного выражения в дробное:

Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.

Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.

Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Вычисление дробных выражений

Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.

Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.

Далее надо смотреть, что получилось:

Пример 1

Вычислим значение выражения \(\mathbf<\frac<1+2\cdot4><5-2>>\)

Решение:

Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:

В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.

Пример 2

Решение:

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:

Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.

Пример:

Решение:

Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.

Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:

Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Приемы для работы с дробными выражениями

Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.

Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.

Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.

Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.

Как же это относится к дробным выражениям?

Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.

Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!

Пример:

Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.

Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.

Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127

Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.

Это и будет значением этого выражения.

Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.

Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.

Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.

Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)

Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.

Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.

Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.

В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.

Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.

Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.

Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.

Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.

В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.

И парочка примеров на этот случай:

И в завершение еще дам такой пример:

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Десять интересных математических фактов:

1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад

2. 2 и 5— единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5

3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно

4. В римской системе счисления не существует нуля

5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке

6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды

7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила

8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды

9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях

10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Дробные рациональные выражения

Содержание:

Дробные рациональные выражения

Дробные рациональные выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Рациональная дробь и ее основное свойство

Любое дробное выражение (см. п. 48) можно преобразовать к виду , где Р и Q — многочлены. Такую дробь называют рациональной дробью.

Примеры рациональных дробей:

Основное свойство дроби выражается тождеством справедливым при условиях и здесь R — целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен. Например,

Значит,

Например,

Сокращение рациональных дробей

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.

Пример:

Сократить дробь

Решение:

Имеем

Значит,

Сокращение дроби выполнено при условии

Приведение рациональных дробей к общему знаменателю

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называют целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2) составить общий знаменатель, включив в произведение все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

3) найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

Пример:

Привести к общему знаменателю дроби

Решение:

Разложим знаменатели дробей на множители:

В общий знаменатель надо включить следующие множители: , а также наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. К (12, 18, 24) = 72. Значит, общий знаменатель имеет вид

Дополнительные множители: для первой дроби для второй дроби для третьей дроби Значит, получаем

Сложение и вычитание рациональных дробей

Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:

Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Пример 1.

Упростить выражение

Решение:

Выполним сложение данных дробей:

Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

Пример 2.

Упростить выражение

Решение:

Имеем

Умножение и деление рациональных дробей

Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

Пример 1.

Выполнить умножение

Решение:

Использовав правило умножения дробей, получим

Пример 2.

Выполнить деление

Решение:

Использовав правило деления дробей, получим

Возведение рациональной дроби в целую степень

Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение — числитель, а второе выражение — знаменатель результата:

Пример 1.

Преобразовать в дробь степень

Решение:

Применив правила возведения в степень дроби и одночлена, получим

При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество справедливое для всех значений переменных, при которых

Пример 2.

Преобразовать в дробь выражение

Решение:

Преобразование рациональных выражений

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой — целые выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

Пример:

Решение:

Выполняя действия с рациональными дробями, получим:

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Объяснение дробных выражений для 6 класса

Дробные выражения — что это такое

Целыми выражениями называют такие выражения, которые включают в состав числа и переменные, а также действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.

Целыми выражениями, например, являются:

Дробными выражениями называют такие выражения, которые, кроме действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, включают в себя деление на выражение, содержащее переменные.

Дробными выражениями, например, являются:

x 2 + y 6 + 2 x 2 − y 2

Целые и дробные выражения объединены общим понятием рациональных выражений.

Дробь представляет собой выражение, записанное в виде:

Целые и дробные выражения имеют отличия в некоторых свойствах. Например, целое выражение обладает смыслом при каких-либо значениях переменных, которые включены в его состав. В связи с этим, отсутствуют ограничения по действиям для определения значения целого выражения.

Таким образом, дробные выражения имеют смысл только тогда, когда переменные, входящие в их состав, не обращают знаменатель в ноль.

Допустимые значения — такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

В рамках объяснения темы дробных выражений следует рассмотреть краткое понятие рациональной дроби.

Рациональной дробью называют такую дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами.

Примеры рациональных дробей:

x 2 + y 6 + 2 x 2 – y 2

Допустимые значения в случае рациональной дроби представляют собой такие значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.

Алгоритм поиска допустимых значений переменных в дроби:

Действия с дробями, как упростить со степенями

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одинаковое число значение дроби останется неизменным.

Ключевое свойство дроби можно рассмотреть на конкретном примере:

Привести дроби к общему знаменателю можно, последовательно выполняя следующие действия:

Алгоритм сложения дробей:

В качестве примера суммируем пару дробей:

Алгоритм вычитания дробей:

На практике вычитание дробей выполняют таким образом:

Умножение дробей заключается в умножении числителей и умножении знаменателей этих дробей.

Данное действие можно рассмотреть на примере задания:

При делении одной дроби на другую необходимо найти произведение числителя первой дроби и знаменателя второй дроби, а также произведение знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

Разберем конкретный пример деления дробей:

Правила сокращения дробей со степенью:

Разберем записанные правила на наглядном примере:

Используя первое и второе правило из списка, решим задачу:

При решении задач с дробными выражениями полезно знать следующие формулы:

Рассмотрим наглядный пример применения данных формул:

13 3 + 3 · 13 2 · 7 + 3 · 13 · 49 + 7 3 = ( 13 + 7 ) 3 = 20 3 = 8000

Упростить решение дробных выражений также помогут следующие формулы:

В качестве примера упростим выражение:

Примеры с решением и ответами

Определить значение выражения:

Условием являются такие значения переменной х, при которых выражение обладает смыслом.

Дано выражение, значение которого требуется найти:

Определить значение выражения:

Данное выражение является равносильным:

Нужно определить значение этого выражения с такими t, при которых выражение имеет смысл.

В таком случае, при аналогичных t:

Дано выражение, значение которого требуется вычислить:

Определить значение следующего выражения с такими х, при которых оно имеет смысл:

С помощью формулы разности квадратов выполним преобразования:

Определить значение следующего выражения с такими m, при которых данное выражение не лишено смысла:

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Определить g(1) при следующем условии:

Дано выражение, значение которого требуется определить:

В первую очередь обратимся к выражениям, заключенным в скобках. Попробуем привести их к общему знаменателю и выполнить деление полученных дробей:

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 x + 1 ÷ 3 x 2 + x + 1 x + 1 =

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 x + 1 · x + 1 3 x 2 + x + 1 =

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1 ¯ 6 x 3 + 2 x 2 + 2 x ¯ 2 x + 3 9 x 2 + 3 x + 3 9 x 2 + 3 x + 3 ¯ 0

Заметим, что получился нулевой остаток. Таким образом, допустимо записать числитель дроби, как:

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 = ( 2 x + 3 ) ( 3 x 2 + x + 1 )

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1 = ( 2 x + 3 ) ( 3 x 2 + x + 1 ) 3 x 2 + x + 1 = 2 x + 3

Найдем значение выражения, если x=2017:

Найти значение следующего выражения:

При расчетах следует учитывать, что:

Можно записать выражение в таком виде:

Источник