Что такое допустимое значение

Область допустимых значений (ОДЗ), теория, примеры, решения

Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.

Чтобы у нас не возникало подобных проблем, давайте внимательно изучим все, что связано с ОДЗ. Для начала узнаем, что это такое, после этого разберем на характерных примерах, как найти ОДЗ переменных для заданного выражения, а в заключение остановимся на важности учета ОДЗ при преобразовании выражений.

Навигация по странице.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Определение области допустимых значений переменных для выражения дается через термин допустимые значения переменной. Введем это вспомогательное определение, для чего проследим, что нас приводит к нему.

На уроках математики в школе вплоть до 7 класса познаются азы работы преимущественно с числами и числовыми выражениями. А с 7 класса начинается изучение такой математической дисциплины как алгебра, и начинается оно с того, что вводится определение выражения с переменными, а также связанное с ним определение значения выражения при выбранных значениях переменных.

выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение

выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Вот теперь мы обладаем всеми сведениями, позволяющими дать определение допустимых и недопустимых значений переменных:

Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных.

Что такое ОДЗ?

Практически у всех, так или иначе имеющих отношение к алгебре, на слуху словосочетание «область допустимых значений», также довольно часто аббревиатуру ОДЗ можно встретить в описаниях решений, но как такового определения области допустимых значений (ОДЗ) нет в основных учебниках, используемых в школе. Поэтому интересно, откуда берет начало этот термин. Ну а с позиций практики интереснее знать, какой смысл в него вкладывают.

Под областью допустимых значений (ОДЗ) понимают множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Прежде чем обратиться к главной теме этого пункта, нужно понимать, что значит найти ОДЗ, хотя это достаточно отчетливо ясно из определения. Это значит, что надо указать множество всех допустимых значений переменных для заданного выражения. На это можно посмотреть и с другой стороны: найти ОДЗ – это значит указать условия, которые исключают те и только те значения переменных, при которых выражение не имеет смысла. Теперь можно двигаться дальше.

Заданий с формулировкой «найти ОДЗ» не так много. Однако почти постоянно приходится преобразовывать выражения, а это неявно требует нахождения области допустимых значений для ее контроля. В этом свете вопрос, как найти ОДЗ, очень злободневен.

В поисках ответа на него поразмыслим, значения каких выражений мы не можем вычислить.

Что нам это дает? А то, что перечисленные выше моменты и нужно учитывать при поиске ОДЗ. Как это делать, станет понятно из следующих примеров.

Найти ОДЗ переменной x для выражения .

Найти ОДЗ .

В более сложных случаях приходится учитывать одновременно несколько условий из приведенного выше списка. Это дает системы неравенств, задающие ОДЗ.

Определите ОДЗ переменной x для выражения .

Здесь лишь заметим, что во многих случаях на практике нет необходимости в решении составленных систем.

В заключении остается сказать, что такой подход используется и тогда, когда нужно найти область определения функции.

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее.

Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.

Вообще, тождественные преобразования могут

Давайте поясним каждый случай примером.

При преобразовании выражений надо строго избегать преобразований, сужающих ОДЗ. Почему? Для пояснения приведем пример.

Так что надо придерживаться таких тождественных преобразований выражения, которые не изменяют ОДЗ.

А как быть с преобразованиями выражений, при которых расширяется ОДЗ? Их можно проводить, но при этом стоит придерживаться такого взгляда: полученное в результате преобразования выражение рассматривать на ОДЗ переменных исходного выражения.

Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения.

Источник

допустимое значение

14.5 допустимое значение: Выражение смысла какого-либо значения, допустимого в определенной области.

Смотри также родственные термины:

7. Допустимое значение влияния на сооружение проводной связи

Обоснованное максимальное значение влияния на сооружение проводной связи, которое не может быть превышено по условиям опасного или мешающего воздействия на сооружение проводной связи и обслуживающий персонал

Ндп. Допускаемый дисбаланс по форме изгибных колебаний

D. Zulassige Unwuchtsgrosse nach der n-Eigenbiegungsform

E. Amount of n th modal unbalance tolerance

Amount of modal unbalance tolerance in the n th mode

F. Tolerance du valeur de desequilibre modal n

Наибольшее значение дисбаланса по n-й форме изгиба, которое считается приемлемым

Полезное

Смотреть что такое «допустимое значение» в других словарях:

допустимое значение — Значение параметра, которое не выходит за пределыразрешенной области изменений. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь справочник. Под редакцией Ю.М. Горностаева. Москва, 2002] Тематики электросвязь,… … Справочник технического переводчика

допустимое значение — leidžiamoji vertė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. allowed value vok. zulässiger Wert, m rus. дозволенное значение, n; допустимое значение, n; разрешённое значение, n pranc. valeur admise, f; valeur admissible, f … Fizikos terminų žodynas

допустимое значение дисбаланса по n-й форме изгиба — Ндп. допускаемый дисбаланс по форме изгибных колебаний Наибольшее значение дисбаланса по n й форме изгиба, которое считается приемлемым. [ГОСТ 19534 74] Недопустимые, нерекомендуемые допускаемый дисбаланс по форме изгибных колебаний Тематики… … Справочник технического переводчика

Допустимое значение инвентаризационной разницы — интервал, в который может попадать ее значение при многократной реализации процесса нахождения инвентаризационной разницы с заданной вероятностью. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

допустимое значение параметра в повторно-кратковременном режиме — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN periodic ratingperiodic duty rating … Справочник технического переводчика

Допустимое значение влияния на сооружение проводной связи — 7. Допустимое значение влияния на сооружение проводной связи Обоснованное максимальное значение влияния на сооружение проводной связи, которое не может быть превышено по условиям опасного или мешающего воздействия на сооружение проводной связи и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Допустимое значение воздействующего фактора — 2.5.2 Допустимое значение воздействующего фактора значение воздействующего фактора, которому соответствуют характеристики, указанные изготовителем. При испытаниях этот фактор может отклоняться от допустимого. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

предельно допустимое значение — 3.9 предельно допустимое значение (exposure limit value): Пороговое значение вибрации, превышение которого при ежедневной регламентированной продолжительности в течение всего трудового стажа с высокой степенью вероятности способно привести к… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

предельно допустимое значение параметра — наибольшее или наименьшее значение параметра, которое может иметь работоспособное изделие (ГОСТ 19919 74). Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

предельно допустимое значение

3.9 предельно допустимое значение (exposure limit value): Пороговое значение вибрации, превышение которого при ежедневной регламентированной продолжительности в течение всего трудового стажа с высокой степенью вероятности способно привести к снижению работоспособности и заболеванию (например, вибрационной болезнью) как в период трудовой деятельности, так и в последующий период жизни.

Смотри также родственные термины:

3.27 предельно допустимое значение FSN: Значение технического норматива дымности отработавших газов, измеренной фильтрационным дымомером, при превышении которого двигатель не допускается к дальнейшей эксплуатации.

24 Предельно допустимое значение вредного производственного фактора

D. Maximal zulässige Einwirkungsgröße des pathogener Arbeitsfactor

E. Asseptable limit of safety factor

F. Niveau limite du facteur sécurité

Предельное значение величины вредного производственного фактора, воздействие которого при ежедневной регламентированной продолжительности в течение всего трудового стажа не приводит к снижению работоспособности и заболеванию как в период трудовой деятельности, так и к заболеванию в последующий период жизни, а также не оказывает неблагоприятного влияния на здоровье потомства

3.1.74 предельно допустимое значение вредного производственного фактора: Предельное значение величины вредного производственного фактора, воздействие которого при ежедневной регламентированной продолжительности в течение всего трудового стажа не приводит к снижению работоспособности и заболеванию, как в период трудовой деятельности, так и к заболеванию в последующий период жизни, а также не оказывает неблагоприятного влияния на здоровье потомства

Предельно допустимое значение опасного фактора пожара

Предельно допустимое значение опасного фактора пожара

Значение опасного фактора, воздействие которого на человека в течение критической продолжительности пожара не приводит к травме, заболеванию или отклонению в состоянии здоровья в течение нормативно установленного времени, а воздействие на материальные ценности не приводит к потере устойчивости объекта при пожаре

предельно допустимое значение параметра : наибольшее или наименьшее значение параметра, которое может иметь работоспособное изделие (ГОСТ 19919-74).

3.77 предельно допустимое значение параметра : Наибольшее или наименьшее значение параметра, которое может иметь работоспособное изделие.

5. Предельно допустимое значение параметра полупроводникового прибора

Значение параметра, заданное в нормативно-технической документации, ограниченное возможностями данного типа прибора и обеспечивающее заданную надежность.

1. Предельно допустимое значение может быть максимально или минимально допустимым.

2. Если речь идет о предельно допустимом значении параметра, то к термину следует добавить слова «максимально допустимый» или «минимально допустимый», а к буквенному обозначению добавить индекс «max» или «min»

Полезное

Смотреть что такое «предельно допустимое значение» в других словарях:

предельно допустимое значение — Значение, которого не превышают наибольшие из измеренных значений коэффициента искажения синусоидальности и коэффициента n ой гармонической составляющей в течение минимального интервала времени измерений по ГОСТ 13109 97. [Источник] Тематики… … Справочник технического переводчика

предельно допустимое значение параметра — наибольшее или наименьшее значение параметра, которое может иметь работоспособное изделие (ГОСТ 19919 74). Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

предельно допустимое значение натурального показателя ослабления светового потока — (Kд, м 1): Значение натурального показателя ослабления светового потока в зависимости от расхода ОГ, при превышении которого двигатель считается не выдержавшим испытаний. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

предельно допустимое значение параметра полупроводникового прибора — Значение параметра, заданное в нормативно технической документации, ограниченное возможностями данного типа прибора и обеспечивающее заданную надежность. Примечания 1. Предельно допустимое значение может быть максимально или минимально допустимым … Справочник технического переводчика

Предельно допустимое значение опасного фактора пожара — По ГОСТ 12.1.004 91 Источник: НПБ 114 2002: Противопожарная защита атомных станций. Нормы проектирования Предельно допустимое значение опасного фактора пожара Знач … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

предельно допустимое значение дымности — XL, м 1 Предельно допустимое значение коэффициента поглощения в режиме свободного ускорения, установленное для автомобиля в соответствии с 4.2 или 4.3. [ГОСТ Р 52160 2003] Тематики автотранспортная техника … Справочник технического переводчика

ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПАСНОГО ФАКТОРА ПОЖАРА — (ПДЗ ОФП) значение опасного фактора пожара, воздействие которого на человека в течение критической продолжительности пожара не приводит к травме, заболеванию или отклонению в состоянии здоровья за нормативно установленный промежуток времени, а… … Российская энциклопедия по охране труда

Предельно допустимое значение опасного фактора пожара — значение опасного фактора, воздействие которого на человека в течение критической продолжительности пожара приводит к травме, заболеванию или отклонению в состоянии здоровья в течение нормативно установленного времени, а воздействие на… … Словарь черезвычайных ситуаций

ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВРЕДНОГО ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ФАКТОРА — предельное значение величины вредного производственного фактора, воздействие которого при ежедневной регламентированной продолжительности в течение всего трудового стажа не приводит к снижению работоспособности и заболеванию как в период трудовой … Российская энциклопедия по охране труда

предельно допустимое значение вредного производственного фактора — Предельное значение величины вредного производственного фактора, воздействие которого при ежедневной регламентированной продолжительности в течение всего трудового стажа не приводит к снижению работоспособности и заболеванию как в период трудовой … Справочник технического переводчика

Источник

Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Решение

Решение

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Рассмотрим на примере.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Источник

Область допустимых значений функции

Допустимые и недопустимые значения переменных

В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.

Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.

Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.

Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.

Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.

Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.

В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.

Пример 1

Рассмотрим выражение

В выражении три переменные (a, b, c).

Запишем значения переменных в виде: a = 0, b = 1, c = 2.

Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ:

Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.

Подставим значения переменных в выражение

На ноль делить нельзя.

Что такое ОДЗ

ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.

Пример 2

Рассмотрим выражение

Пример 3
Рассмотрим выражение

ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.

Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как найти ОДЗ: примеры решения

Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.

Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.

Мы не можем вычислить значение выражения, если:

Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.

Давайте потренируемся находить ОДЗ.

Пример 4

Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.

В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.

ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.

Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.

Пример 5

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения

Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.

Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.

Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.

Пример 6

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении

Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Запомните

Например, если х > 6, но х

Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения

Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.

Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.

Тождественное преобразование может:

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Пример 7

Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление на ноль, определяем условие a ≠ 0.

Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).

В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.

ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.

Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.

Пример 8

Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a

ОДЗ a для этого выражения — множество R.

В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.

После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a

ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.

Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.

Пример 9

Рассмотрим выражение

Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).

Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.

Приведем выражение к виду

Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).

Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).

Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.

Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.

Источник