Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, что помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое в и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Найти предел
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Спасибо за внимание.
Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы, с которыми Вы можете ознакомиться в соответствующей статье.
Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как .
Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , ,
, , ,
, , , .
Действия над комплексными числами.
означает, что a=c и b=d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:
У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: . Что было понятней ответ перепишем так: .
Рассчитываем 2-ю разность:
Здесь действительная часть тоже составная: .
Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . В этом случае без скобок никак не обойтись.
Найдем произведение комплексных чисел ,
Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что и будьте внимательны.
Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Очевидно, что .
Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: .
Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному числу.
Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.
Есть комплексные числа , . Найдем частное .
Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Напомним, что и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже имеется , поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается , т.е. .
Из правила, знаменатель необходимо домножить на , и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число :
Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой (при ).
Часто перед делением дробь лучше упростить.
Свойства комплексных чисел.
1. Основная теорема алгебры.
У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.
2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.
Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.
Формула Муавра имеет вид:
где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.
Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:
Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса с центром в начале координат.
Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):
Читателю, вероятно, известны на первый взгляд трудные геометрические задачи, которые мгновенно решаются, если заменить одну данную точку другой, симметричной ей относительно прямой. Соображения симметрии очень важны и в алгебре.
В этой статье мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида полезно заменить сопряжённым Мы увидим, как этот простой приём замена знака перед радикалом помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа от нехитрых оценок и преобразований до трудных олимпиадных задач и замысловатых придумок составителей конкурсных экзаменов.
Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глубокими математическими теориями мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включённых в статью, две из Задачника «Кванта» и несколько из писем читателей, уже испытавших удовольствие от трюков с радикалами и желающих поделиться им с другими.
Пары сопряжённых чисел появляются вполне естественным образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: скажем, уравнение имеет пару «сопряжённых» корней:
К этому мы ещё вернёмся, а начнём с примеров другого рода: займёмся «перебросками».
Если в книжке указан ответ к задаче а у вас получилось не спешите искать ошибку в решении: ответ правильный эти числа равны, потому что
Вот несколько характерных примеров, где полезно перенести «иррациональность» из числителя в знаменатель или наоборот.
Эта сумма мгновенно «сворачивается», если переписать её так:
По выражению из статьи [1] «остаются крайние» (см. также [5]).
2. Доказать, что для любых натуральных m и n
Подобный факт мы использовали недавно при решении трудной задачи
В самом деле, всегда
поскольку число целое и отлично от 0 (равенство невозможно подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть и
n ( m + n √ 2 ) n
(
2 n √ 2 +
1
Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено.
Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку
π
= 0,3183. > 0,3178. =
1
зато выглядит гораздо эффектнее.
Помню как в мою бытность студентом на лекциях по алгебре наш профессор говорил: «Корень из это, примерно, 1,73; корень из 1,41. Поэтому их сумма равна. (следовала пауза, необходимая для сложения этих чисел 3,14. (он поворачивался к аудитории и сразу несколько человек с удовлетворением заключал профессор, выписывая окончательное «равенство»: 🙂 ]
3. Найдите предел последовательности
Преобразуем a n так:
Теперь ясно, что a n возрастает и стремится к
В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением:
4 (M532). Даны две последовательности и Докажите, что
В разности появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать как одно целое. Заметим, что величина очевидно, заключена между и поскольку Итак, мы уже получили левое неравенство Кроме того, число дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа не больше из неравенств Теперь осталось оценить разность сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:
√ 4 n +2 √ n √ n +1 =
2 n + 1 2√ n ( n + 1)
√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1
=
=
1
(√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1 )(2 n + 1 + 2√ n ( n + 1) )
≤
≤
1
(2√ n + √ n + √ n )(2 n + 2 n )
=
1
Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа заменить переменную n на и воспользоваться формулой Тейлора
Мы уже говорили о пользе симметрии в геометрических задачах. Своего рода симметрией в алгебре является замена плюса на минус.
Так, если какое-либо выражение от равно и мы всюду в этом выражении заменим на то естественно ожидать, что новое выражение окажется равным сопряженному числу Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ( a и b рациональны, нет):
5. Доказать, что уравнение
не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.
Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих (она должна быть равна 2), и отдельно коэффициент при (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед на минус!
Слева стоит неотрицательное число, справа отрицательное.
6. Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, для которых x 2 отличается от 2 y 2
Несколько таких пар с небольшими легко найти подбором: это (1; 1), (3; 2), (7; 5), (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?
Рис. 1. Проходят ли эти гиперболы через бесконечное число узлов клетчатой бумаги?
Найти ответы на эти вопросы нам поможет число Закономерность, позволяющая получать всё новые и новые решения указана в таблице:
n
(1 + √ 2 ) n
x n
y n
x n 2 2 y n 2
(1 √ 2 ) n
1
1 + √ 2
1
1
1 2 = 1
1 √ 2
2
3 + 2√ 2
3
2
9 8 = 1
3 2√ 2
3
7 + 5√ 2
7
5
49 50 = 1
7 5√ 2
4
17 + 12√ 2
17
12
289 288 = 1
17 12√ 2
5
41 + 29√ 2
41
29
1681 1682 = 1
41 29√ 2
.
.
.
.
.
.
Какой будет шестая строчка?
будут давать нужную пару. Доказать это поможет колонка таблицы из сопряжённых чисел (мы снова
Перемножив два последних равенства, получим
и интересующее нас выражение попеременно равно то 1, то Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для x n и y n :
x n =
(1 + √ 2 ) n + (1 √ 2 ) n
2
,
y n =
(1 + √ 2 ) n (1 √ 2 ) n
Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без иррациональных чисел и Теперь, зная ответ, мы можем легко выразить через предыдущую пару из ( x n + y n √ 2 )(1 + √ 2 ) вытекает
До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, догадаться по нескольким первым решениям, а потом проверить, что
Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятностей. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной олимпиаде в Лондоне):
7 (М595). В вершине A правильного восьмиугольника сидит лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, противоположной A, она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в E, лягушка останавливается и остаётся там. Найти количество e m различных способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в E ровно за m прыжков.
А интересующее нас число e 2 n равно, очевидно,
а) c 1 = 1
б) a 1 = 2
в) a n +1 = 2 a n + 2 c n
г) c n +1 = a n + 2 c n
д) e 2 n = 2 c n 1
Рис. 2. а)
Из A в C за два прыжка можно попасть только одним способом:
б)
Из A в A за два прыжка можно попасть двумя способами:
в)
В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами:
г)
В C можно попасть из A одним способом и из C двумя:
д)
В E можно попасть из C двумя способами:
a n +1 + c n +1 √ 2 = ( a n + c n √ 2 )(2 + √ 2 )
(8)
и как вы уже, конечно, догадались ещё так:
a n +1 c n +1 √ 2 = ( a n c n √ 2 )(2 √ 2 ).
(9)
Отсюда по индукции, пользуясь (7), получаем:
c n =
(2 + √ 2 ) n (2 √ 2 ) n
а так как получаем окончательно
e 2 n =
(2 + √ 2 ) n 1 (2 √ 2 ) n 1
Задача решена. Неясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было додуматься до формул, содержащих ведь в задаче речь идёт о целых числах! (Для участников олимпиады и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ «Квант», 1979, № 11, М595 ).
Однако «сопряжённые числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владели началами линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии удовлетворяют данному рекуррентному соотношению. Значения, для которых такие прогрессии существуют, они называются характеристическими значениями или собственными числами определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим ). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид его корни как раз и Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае определяет нужное нам решение однозначно.
Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение квадратное с целыми коэффициентами (примеры те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, см. [9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью «сопряжённых» квадратичных иррациональностей.
Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо́льшим числом «сопряжённых» иррациональностей.
Конечно, мы здесь можем выразить через ( q n ; r n ; s n ; t n ), пользуясь тем, что
Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом
ещё три «сопряжённых»:
q n =
λ 1 n + λ 2 n + λ 3 n + λ 4 n
4
,
s n =
λ 1 n + λ 2 n λ 3 n λ 4 n
4√ 3
,
r n =
λ 1 n λ 2 n + λ 3 n λ 4 n
4√ 2
,
t n =
λ 1 n λ 2 n λ 3 n + λ 4 n
Теперь заметим, что Поэтому
1 + (λ 2 /λ 1 ) n + (λ 3 /λ 1 ) n + (λ 4 /λ 1 ) n
·
1
Аналогично найдём, что
Мы говорили выше, что сопряжённые числа возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:
9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен
после преобразований получаем
Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования
в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем Попробуйте это доказать!
Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи «сопряжённые числа» с чисто алгебраической точки зрения.
и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника.
Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы.
Что больше: или
2.
Докажите, что при всех положительных x
Постройте график функции и докажите, что при
√ 2 = 1 +
1
.
2 +
1
√ 2 + 1
Докажите, что уравнения имеют бесконечное множество решений в целых числах.
6.
Докажите, что функция нечётная, и постройте её график.
7.
а) Докажите, что для любого натурального n
б) Докажите, что последовательность
убывает и стремится к пределу.
8.
а) Докажите, что последовательность сходится, и найдите её предел.
б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа
9.
2 + √ 2 + p
= β
1/2 n
+ β
1/2 n
.
12.
Докажите, что последовательность содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
13.
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого
14.
Составьте уравнение 4-й степени с корнями и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов:
, которую нужно устранять. 
у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать 
(которое в и называется сопряженным выражением).
.
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
. Что было понятней ответ перепишем так: 
.
.
. В этом случае без скобок никак не обойтись.
, 
и будьте внимательны.
.
.
, 
. Найдем частное 
.
и смотрим на наш знаменатель: 
. В знаменателе уже имеется 
, поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается 
, т.е. 
.
, и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число 
