Что такое дифференцирующее звено

18.04.202229.04.2022 admin 0 Comments

Дифференцирующее звено

В теории автоматического регулирования различают реальное дифференцирующее звено и идеальное дифференцирующее звено.

Идеальное дифференцирующее звено

Давайте для начала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено, типовое дифференциальное уравнение которого имеет вид:

Операторная форма записи имеет следующий вид:

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:

Аналитическое выражение вектора амплитудо-фазовой характеристики (АФХ) для идеального дифференцирующего звена имеет вид:

В последнем выражении при изменении частоты от 0 до ∞ легко построить график вектора АФХ идеального дифференцирующего звена (рисунок 1 а)). Конец вектора АФХ перемещается по положительной мнимой полуоси комплексной плоскости от начала координат, уходя при ω = ∞ в бесконечность.

Примером электрической реализации идеального дифференцирующего звена может послужить электрическая цепь, состоящая из резистора R и конденсатора С, при этом резистор R обладает сверхпроводимостью (R = 0). Схема данной RC цепочки показана на рисунке 1 в).

Реальное дифференцирующее звено

Типовое дифференциальное уравнение для реального дифференцирующего звена имеет вид:

Операторная форма данного уравнения:

х_вых (р) можно вынести за скобки:

После чего получить аналитическое выражение передаточной функции реального дифференцирующего звена:

Совершив замену p на jω в передаточной функции, получим аналитическое выражение вектора АФХ для данного звена:

Изменяя частоту после ω проведенных алгебраических преобразований от 0 до ∞ в мнимой in(ω) и действительной m(ω) частях вектора амплитудо- фазовой характеристики (АФХ), построим годограф реального дифференцирующего звена (рисунок 2 а).

В знаменателе m(ω) при ω = ∞ единицу можно отбросить, тогда можно сократить дробь:

Отсюда получим, что m(ω) = k / T₀.

Следовательно, графиком вектора АФХ реального дифференцирующего звена будет полуокружность в первом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой будет равен k / T₀.

На рисунке 2 б) показана переходная функция реального дифференцирующего звена. На рисунке видно, что при подаче возмущения в виде единичного скачка выходной сигнал мгновенно увеличится на величину k / T₀, после чего начнет плавно уменьшаться (по нелинейному закону) пока его значение не станет равным нулю. По переходной характеристике не сложно определить коэффициенты k и T₀ передаточной функции. Сначала с помощью касательной находят значение T₀, после чего умножив ординату величины k / T₀ на T₀, определяют значение k.

В качестве примера электрической реализации реального дифференцирующего звена может послужить RC цепочка, в которой сопротивление R ≠ 0, что вполне может быть собрано из существующих элементов.

Источник

III. 1.4. Дифференцирующее звено

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризуется уравнением

или в операторной форме

. (III.1.8)

Примерами такого звена могут служить электрическая емкость (рис. III.17 а), индуктивность (б), тахогенератор (в).

Рис. III. 17. Примеры идеальных дифференцирующих

В самом деле, уравнения для тока в емкости

напряжения на индуктивности

и напряжения на зажимах тахогенератора постоянного тока

совпадают по форме с уравнением идеального дифференцирующего звена.

Из уравнения (III.1.8) получается передаточная функция идеального дифференцирующего звена

и, соответственно, частотная передаточная функция

Для нахождения переходной характеристики идеального дифференцирующего звена воспользуемся соотношением

а весовая функция звена может быть получена следующим образом

При известной частотной передаточной функции W(jω) АЧХ и ФЧХ звена легко находятся

На рис. III.18 построены эти зависимости. На этом же рисунке, по значениям A(ω) и φ(ω) получена АФХ звена W(jω), которая проходит по положительной полуоси ординат. Это обусловлено тем обстоятельством, что для любой частоты 0 ≤

Рис. III. 18. АЧХ и ФЧХ и АФХ идеального

Выражение для точной ЛАЧХ

представляет собой прямую с наклоном +20и ее не надо заменять асимптотой. Из этого факта, что L() при некоторой частоте = _ср пересекает ось абсцисс, т.е. становится равной нулю, найдем

;

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена приведена на рис. III. 19.

Рис. III. 19. ЛАЧХ идеального дифференцирующего

Однако практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (III. 1.8), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такие звенья называются реальными дифференцирующими звеньями. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальным уравнением вида

или в Лапласовой форме

. (III. 1.9)

Примерами таких звеньев могут служить, например, четырехполюсники (рис. III.20).

Рис. III. 20. Примеры реальных дифференцирующих звеньев.

Из уравнения (III.1.9) найдется передаточная функция звена

. (III.1.10)

Переходную характеристику звена h(t) можно, как уже указывалось, определить по формуле

Весовую функцию звена найдем, исходя из выражения

Поскольку h(t) – сложная функция, содержащая два сомножителя, зависящих от t , то

Так как первое слагаемое этого выражения равно нулю при t ≠ 0, ибо δ(t) = 0 при t ≠ 0, то сомножитель имеет смысл рассматривать только при t = 0, а в этом случае , и окончательно выражение для w(t) имеет вид

Таким образом, получается, что весовая функция реального дифференцирующего звена w(t) состоит из двух составляющих. Первая составляющая δ – функция с площадью расположена на оси ординат, а вторая – экспонента, рассматриваемая для t ≥0. Переходная h(t) и весовая w(t) функции приведены на рис III. 21 а) и б), соответственно.

Рис. III.21. Временные характеристики реального дифференциального звена.

Частотная передаточная функция W(j) найдется из (III.1.10)

φφ₁(ω) – φ₂(ω)

Имея в виду, что при очень большой частоте, т.е. при → ∞, в подкоренном выражении для A() можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым, получается

построим АЧХ и ФЧХ реального дифференциального звена, а по ним и АФХ (рис. III.22)

Рис. III.22. АЧХ (а), ФЧХ (б) и АФХ (в) реального дифференцирующего звена.

Выражение для точной ЛАЧХ звена имеет вид

или T * вычислим по этой формуле L₁( * ) и через эту точку проведем первую асимптоту с наклоном +20 . Удобнее всего брать * =1 (тогда 20= 0), независимо от того, на I-м или II-м участках расположена эта частота. Затем через точку L₁(=1) проводят на I участке первую асимптоту с наклоном +20 до пересечения с вертикальной линией, проходящей через .

или T>1.

Тогда выражение для второй асимптоты получится из L(), если в подкоренном выражении пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым

Это линия, не зависящая от частоты, т.е. проходящая параллельно оси абсцисс через конечную точку первой асимптоты.

Рис. III.23 ЛАЧХ реального дифференцирующего звена.

Источник

Дифференцирующее звено.

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризуется уравнением

, (2.13)

или в операторной форме

Примерами такого звена могут служить электрическая емкость (рис. 29 а), индуктивность (б), тахогенератор (в).

Рис.2.17. Примеры идеальных дифференцирующих

В самом деле, уравнения для тока в емкости

напряжения на индуктивности

и напряжения на зажимах тахогенератора постоянного тока

совпадают по форме с уравнением идеального дифференцирующего звена.

Из уравнения (8) получается передаточная функция идеального дифференцирующего звена

и, соответственно, частотная передаточная функция

Для нахождения переходной характеристики идеального дифференцирующего звена воспользуемся соотношением

а весовая функция звена может быть получена следующим образом

При известной частотной передаточной функции W(jω) АЧХ и ФЧХ звена легко находятся

На рис. 30 построены эти зависимости. На этом же рисунке, по значениям A(ω) и φ(ω) получена АФХ звена W(jω), которая проходит по положительной полуоси ординат. Это обусловлено тем обстоятельством, что для любой частоты 0 ≤ .

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. ЛАЧХ идеального дифференцирующего

Однако практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (8), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такие звенья называются реальными дифференцирующими звеньями. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальным уравнением вида

или в Лапласовой форме

. (2.14)

Примерами таких звеньев могут служить, например, четырехполюсники (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Примеры реальных дифференцирующих звеньев.

Из уравнения (2.14) найдется передаточная функция звена

. (2.15)

Переходную характеристику звена h(t) можно, как уже указывалось, определить по формуле:

. (2.16)

Весовую функцию звена найдем, исходя из выражения

Поскольку h(t) – сложная функция, содержащая два сомножителя, зависящих от t , то

Рис. 2.21. Временные характеристики реального дифференциального звена.

Частотная передаточная функция W(j ) найдется из (2.3)

φ φ₁(ω) – φ₂(ω)

Имея в виду, что при очень большой частоте, т.е. при → ∞, в подкоренном выражении для A( ) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым, получается:

построим АЧХ и ФЧХ реального дифференциального звена, а по ним и АФХ (рис. 2.22)

Рис. 2.22. АЧХ (а), ФЧХ (б) и АФХ (в) реального дифференцирующего звена.

Выражение для точной ЛАЧХ звена имеет вид

или T * вычислим по этой формуле L₁( * ) и через эту точку проведем первую асимптоту с наклоном +20 . Удобнее всего брать * =1 (тогда 20 = 0), независимо от того, на I-м или II-м участках расположена эта частота. Затем через точку L₁( =1) проводят на I участке первую асимптоту с наклоном +20 до пересечения с вертикальной линией, проходящей через .