Что такое дифференцирование функции

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

Разберем все эти случаи по порядку.

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

Используя определение производной, запишем следующее:

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.

Решение

Вынесем множитель за знак производной и получим:

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Решение

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

Как вычислить производную суммы и производную разности

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

Как вычислить производную произведения функций

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: f x · g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) ‘ + f ( x ) · g ‘ ( x )

Попробуем доказать его.

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Решение

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

Решение

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Решение

У нас получится следующее:

y ‘ = ( ( 1 + x ) · sin x · ln x ) ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + 1 + x · sin x · ln x ‘

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y ‘ = 1 + x · sin x · ln x ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + ( 1 + x ) · sin x · ( ln x ) ‘ = = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Ответ: y ‘ = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Решение

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Сразу отметим, что g ( x ) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

Решение

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Решение

Поясним, как это получилось.

Вычисляем третье слагаемое:

Теперь собираем все, что у нас получилось:

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

Источник

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Дифференцируемая функция

Из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке. [1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. [2] [3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Обобщением понятия дифференцируемой функции являются понятия субдифференцируемых, супердифференцируемых и квазидифференцируемых функций.

Источник

Правила дифференцирования

п.1. Формулы дифференцирования

В примере 2 §42 данного справочника мы получили формулы производных для простейших функций. Обобщим их в таблице:

Теперь не нужно каждый раз использовать определение производной для поиска её уравнения или значения в данной точке. Достаточно помнить таблицу производных.

Например:
Найдем \(f'(1)\), если \(f(x)=x^2\)
По таблице производных \(f'(x)=(x^2)\ ‘=2x\). Поэтому \(f'(1)=2\cdot 1=2\)

п.2. Производная суммы двух функций

п.3. Производная функции с постоянным множителем

п.4. Производная произведения двух функций

п.5. Производная частного двух функций

п.6. Производная степенной функции

Например:
\begin (x^<11>)’=11x^ <10>\end В §46 данного справочника будет показано, что выведенная формула справедлива также не только для натуральной, но и для любой действительной степени числа x.

п.7. Примеры

Пример 1. Найдите производную функции:
a) \( f(x)=3x^3-11 \) \begin f'(x)=(3x^3-11)’=3(x^3)’-(11)’=3\cdot 3x^2-0=9x^2 \end

Пример 2. Найдите значение производной в точке \(x_0\), если:
a) \( f(x)=\frac2x,\ x_0=4 \) \begin f'(x)=2\cdot\left(\frac1x\right)’=2\cdot\left(-\frac<1>\right)=-\frac<2>\\ f'(4)=-\frac<2><4^2>=-\frac18 \end

Пример 3. Решите уравнение \(f'(x)=0\), если:
a) \( f(x)=x-12x^3 \) \begin f'(x)=x’-12(x^3)’=1-12\cdot 3x^2=1-36x^2 \end Уравнение: \begin 1-36x^2=0\Rightarrow x^2=\frac<1><36>\Rightarrow x=\pm\sqrt<\frac<1><36>>=\pm\frac16 \end Ответ: \(\left\<\pm\frac16\right\>\)

б) \( f(x)=-\frac25x^5+\frac13x^3+12 \) \begin f'(x)=-\frac25\cdot 5x^4+\frac13\cdot 3x^2+0=-2x^4+x^2=x^2(1-2x^2) \end Уравнение: \begin x^2(1-2x^2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 1-2x^2=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=\pm\frac<1><\sqrt<2>> \end \right. \end Ответ: \(\left\<0;\pm\frac<1><\sqrt<2>>\right\>\)

Источник

Что такое дифференцирование функции

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной ) данной функции f(x) и обозначают символом

Определение : Производной y ‘ =f ‘ (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

1. Если производные функции f и g в точке х ₀ существуют, то существует и производная суммы f + g в этой точке, причем

(производная суммы равна сумме производных)

2. Если производные функции f и g в точке х ₀ существуют, то существует и производная произведения fg в этой точке, причем

3. Если производные функции f и g в точке х ₀ существуют и g (х ₀ ) не равные 0, то существует и производная частного f / g в этой точке, причем

(постоянный множитель можно вынести за знак производной).

Источник