Что такое дифференциал физика

Дифференциал в физике

2. Дифференциал в физике

Мы ввели понятие дифференциала с помощью равенства . Для вычисления дифференциала надо найти производную. Однако, помня о том, что дифференциал — это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращений аргумента, мы из физических соображений получим равенства вида dy = kdx и сделаем вывод о том, что k — это производная у по х.

1. Работа. Найдем работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х: F = F(x). Приращение работы А на отрезке [х, x+dx] нельзя точно вычислить как произведение F(x)dx, так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть , т. е. является дифференциалом работы (dA = = F(x)dx). Таким образом, силу можно считать призводной работы по перемещению.

2. Заряд. Пусть q — заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока / постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt. При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I(t)dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [/, t+-dt], т.е.- является дифференциалом заряда: dq = I

3. Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1) — масса куска стержня от точки О до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня [/, / + d/] предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm. Значит, линейная плотность — это производная массы по длине.

5. Снова работа. Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, — это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt. Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N(t)dt, и мощность выступает как производная работы по времени.

Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k(x)dx. На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k(x). Тогда k(x) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами.

3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность =(x), то статические моменты этой дуги M_x и M_y относительно координатных осей Ox и Oy равны

моменты инерции I_Х и I_у относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам

а координаты центра масс и — по формулам

где l— масса дуги, т. е.

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох

и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.

◄ Имеем: Следовательно,

В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

Пример 2. Найти координаты центра масс полуокружности

◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем

Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C.

Источник

Физический смысл производной и дифференциала

Физический смысл производной и дифференциала

Физический смысл производной и дифференциала. Предположим, что функция A (x) определена в окрестности точки x0. As как уже упоминалось выше, используйте обозначение Dx = x-x0, Dy = A (x0 + Dx0)-A(x0). чтобы быть ясным Отношение dU равно изменению переменной y Ah Естественно называть величиной x среднюю скорость эрозии y в отрезке[xo, xo + Dx] для X в интервале[xo, xo + Dx], которая называется единицей измерения переменной x. если Dx стремится к нулю, то есть отрезок уменьшается [x, x + Dx]для точки x отношение определяет значение средней скорости изменения переменной y для переменной x во все более малом сегменте, содержащем точку X. Конечно, все вышеперечисленное, сегмент[x0 T ^ Dx, Ho] * Предел It ^ y (если присутствует) является производной M *e * ® ДХ Ах.

Производная интерпретируется как скорость изменения для одной величины другой, и применение производной к изучению физических явлений является. Людмила Фирмаль

Применение дифференцирования основано на том, что при замене приращения функции этой производной дифференцируемая в точке x функция может быть заменена линейной функцией в достаточно малой окрестности точки X. Arguments. In другими словами, мы можем предположить, что изменение функции прямо пропорционально изменению аргумента, или что упомянутый «процесс», как говорится, происходит равномерно в»малом». оказывается, что ошибки, возникающие в результате такой замены, бесконечно меньше в более высоком порядке, чем в приращении аргумента. Пиар и меры. 1. 8 = 8 ^) закон движения материальной точки 1 (рис. 45). 8-длина пути, измеренная вдоль траектории от некоторой начальной точки M; I-время. Отношение M8 называется средним значением скорости участка M-To-M в динамике, где M-положение точки момента времени суток^, M «длина пути от M до M в момент I +ДI и Д8.

Сила тока или мгновенная сила в определенный момент времени I Это ток и обозначается через I. следовательно, I=.Дифференциальный d \ = 1D1 равно количеству электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в течение временного интервала D1, когда сила тока постоянна и равна силе тока времени I. As обычный, D \ q \ = o (D^), D1 ^. 3.Пусть дана неоднородная rod1 длиной I, и М = м(х) масса части стержня длины х, х’, измеренной от одного фиксированного конца(рис. 46).Тогда Dm = m(x + Dx)-m (x) масса части стержня, заключенной в точку на расстоянии x соответственно. + Dx от указанного края. Значение Они позвонили мне. 2. \ = \ <1) это количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника.

Имейте в виду, что скорость-это вектор, поэтому она характеризуется не только величиной, но и направлением. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник