Что такое диагональ куба
Диагональ куба: что это такое и как ее найти?
Диагональ куба — это один из элементов, который потребуется знать при решении заданий по стереометрии во время выполнения итоговой работы по математике за курс основной школы.
Немного теории о кубе
Все шесть граней куба представляют собой квадраты. Длина каждого из 12 ребер одинаковая.
В каждой из граней можно провести диагональ, длину которой легко найти по формуле Пифагора. Кроме того, сам куб имеет диагонали. Их всего четыре. Проводится диагональ куба так, чтобы начинаться из вершины нижнего основания. Конец этого отрезка оказывается в вершине верхнего основания, но так, чтобы не совпасть с диагональю квадрата.
Важные формулы
В них потребуется ввести одинаковое обозначение. Чаще всего буква «а» — это сторона куба. «V» приходится на объем. «S» и «d» соответственно площадь и диагональ. «R» и «r» радиусы описанной и вписанной сфер.
V= a³ (№1) используется для нахождения объема;
S= a² (№2) формула для площади грани;
S= 6a² (№3) необходима для расчета площади всей поверхности куба;
если требуется узнать диагональ куба, формула будет такой d=а√3 (№4);
Несколько слов о симметрии куба
У этого геометрического тела есть два вида симметрии: относительно точки и оси. Для нахождения первой потребуется провести диагональ куба, потом вторую, чтобы найти точку их пересечения. Она будет центром симметрии.
Все прямые, которые проходят через эту точку и являются перпендикулярными к граням, оказываются осями симметрии.
Примеры заданий из ЕГЭ
Они используются в части В, то есть там, где нужно выполнить развернутое решение задания. Просто выбрать ответ здесь не удастся. Поэтому придется знать формулы и уметь их применять в различных ситуациях.
Первая группа заданий. В ней известна длина диагонали куба. Требуется вычислить его объем или узнать площадь поверхности.
К примеру, известная величина может быть равна единице. Тогда, чтобы узнать объем и площадь, нужно воспользоваться формулами № 1 и 3. Но в них идет речь о ребре, а дана диагональ. Потребуется записать еще одну формулу.
Теперь можно начала узнать ребро, а потом подсчитать объем и площадь. В конкретной задаче а=1/√3=(√3)/3. Тогда объем получается равным (√3)/9. Площадь же — два.
Вторая группа заданий. Обратная предыдущей, когда известны площадь или объем, а требуется вычислить значение диагонали куба.
Примером может служить задача, в которой известна площадь поверхности, и она равна 8. Необходимо будет воспользоваться формулой №3 и той зависимостью, которая выведена в предыдущей задаче.
Сначала потребуется узнать длину ребра. Она равна квадратному корню из частного S на 6. После подстановки известной величины а=√(8/6)=√(4/3). Теперь осталось вычислить диагональ куба, возведя это число в квадрат и умножив его на 3. Получится 2.
Третья группа заданий содержит данные о диагонали грани куба. В них необходимо узнавать объем или площадь тела. Возможен также вариант, в котором потребуется вычислить диагональ самого куба. В таких задачах рассуждения идут тем же путем, который рассмотрен в предыдущих случаях.
Что такое куб: определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).
Определение куба
Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.
Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.
Свойства куба
Свойство 1
Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:
Свойство 2
Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 3
Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.
Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.
Формулы для куба
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:
Диагональ
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.
Диагональ грани
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.
Периметр ребер
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.
Объем
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.
Радиус описанного вокруг шара
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.
Радиус вписанного шара
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.
Куб — свойства, виды и формулы
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Диагональ куба — одна из осей симметрии.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.
Диагональ куба
Разбираться с точными расчётами в геометрических задачах и не только часто приходится учащимся физико-математических классов, колледжей, гимназий и лицеев. Вычислить диагональ куба может потребоваться и студентам, причём не одних лишь профильных ВУЗов: дизайнеры тоже регулярно занимаются такими расчётами. А ещё им всем нужно периодически проверять себя.
В некоторых ситуациях не лишним оказывается и контроль за правильностью условий задач. Ведь порой можно потратить несколько часов на мучительные поиски решения, а только потом обнаружить, что в исходные данные закралась ошибка!
Посчитать диагональ куба часто нужно и для составления викторин, разных заданий для конкурсов и соревнований. Кроме того, математика многих просто успокаивает. Стройные и понятные расчёты означают порядок. Они помогают настроиться на рациональный лад в мышлении. И с помощью такого калькулятора можно дополнительно проверять себя.
Большое количество расчётов также встречается в проектах и в сметах. Однако там очень много данных, масса цифр. Запутаться во всём бывает легко. И далеко не для каждого проекта сегодня можно найти подходящую программу, в которой были бы собраны в одном месте все необходимые формулы. В таком случае приходится проверять расчёты по отдельности. Однако это намного лучше, чем проигнорировать закравшуюся ошибку. Особенно, если она впоследствии скажется на подходе к возведению ответственного объекта в строительстве, например.
Какие ещё калькуляторы помогут разобраться с математикой?
В математике существует довольно много разных формул. Запоминать все не нужно: надо понимать, как именно они применяются, в каких конкретно случаях, видеть внутреннюю логику в таких расчётах.
С помощью калькуляторов можно быстро вычислить, например, ребро куба. Для этого вам необходимо узнать только объём этой геометрической фигуры. Причём программа позволяет уточнить также длину ребра куба.
Соответствующие показатели можно узнавать в отношении разных фигур. К примеру, довольно легко на калькуляторе вычисляется сторона ромба. Причём такие расчёты имеет смысл проводить даже тогда, когда вы уверены в том, что сами справитесь с подобной задачей. Во-первых, лишняя проверка никакой работе ещё не помешает. Во-вторых, вы просто приучите себя к дополнительному контролю, что и само по себе полезно. К тому же иногда, когда расчётов слишком много, от них можно устать ещё и психологически. А калькулятор позволяет уменьшить нагрузку и сделать паузу.
Обратите внимание на то, что у многих программ есть ещё и такой критерий как точность. Он позволяет узнать большое количество цифр после запятой при расчётах или округлить результат до целых значений, в зависимости от того, что именно вам нужно.
Как узнать диагональ куба?
Расчёты в данном случае будут предельно простыми. Вам нужно только указать ребро куба, а также выставить точность в зависимости от того, нужны ли вам цифры после запятой и в каком количестве. Потом будет достаточно нажать на кнопку, чтобы получить результат.
Все математические калькуляторы на нашем сайте построены на точных формулах. Так что никаких ошибок быть просто не может. Если вы часто проводите разные вычисления, просто добавьте наш сайт в закладки!