Что такое действительный ток в определенной ветви

Что такое действительный ток в определенной ветви

2. Метод токов ветвей

Метод токов ветвей

Первый и самый простой метод анализа цепей постоянного тока называется методом токов ветвей. В этом методе нам сначала нужно определить направления токов в цепи, а затем написать уравнения, описывающие их отношения друг с другом через законы Кирхгофа и Ома. Как только мы получим уравнения для каждого из неизвестных токов, мы сможем решить систему уравнений, рассчитав тем самым все токи, а затем и все напряжения в цепи.

Для рассмотрения метода мы будем использовать следующую схему:

Теперь нам нужно проставить направления токов в примыкающих к этому узлу проводах, обозначив их I₁, I₂ и I₃ соответственно. Имейте ввиду, эти направления будут только предполагаемыми. Если выяснится, что наши предположения оказались ошибочными, то мы это увидим в процессе математического расчета (любые «неправильные» направления токов отобразятся в виде отрицательных чисел).

Закончив исследование левой ветви схемы, мы можем применить к полученным значениям Второй Закон Кирхгофа (сумма всех напряжений цепи равна нулю):

Нам еще неизвестны значения напряжений на резисторах R₁ и R₂, поэтому мы не можем вставить их в уравнение в виде числовых величин. Однако, мы знаем, что сумма этих трех напряжений равна нулю, поэтому уравнение верно. Теперь пойдем дальше, и выразим неизвестные напряжения как произведение неизвестных токов и соответствующих им сопротивлений (применив Закон Ома: U = IR), а так же уберем все нулевые значения из левой части уравнения:

Поскольку нам известны сопротивления всех резисторов, давайте подставим в уравнение конкретные числовые значения:

У вас наверняка возник вопрос: зачем мы произвели все эти манипулирования с первоначальным видом уравнения (-28 + E_R2 + E_R1)? Какая разница в чем будет выражено уравнение, в напряжении или в токе (умноженном на сопротивление), если в обоих случаях последние два члена до сих пор неизвестны? Ответ на данные вопросы прост. Целью всех выше приведенных преобразований является получение уравнения Второго Закона Кирхгофа с использованием тех же неизвестных переменных, что и в уравнении Первого Закона Кирхгофа, так как это является необходимым условием для решения любой системы уравнений. Чтобы найти значения трех неизвестных токов (I₁, I₂ и I₃), у нас должно быть три уравнения, связывающих их вместе.

Применив те же самые действия к правой ветви схемы (начиная с выбранного узла и двигаясь против часовой стрелки), мы получим еще одно уравнение Второго Закона Кирхгофа:

Зная, что напряжение на каждом из резисторов может и должно быть выражено как произведение соответствующих токов и сопротивлений (величина которых известна), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

Теперь у нас есть система из трех уравнений (одно уравнение Первого и два уравнения Второго Законов Кирхгофа) с тремя неизвестными:

Далее нам нужно перенести все известные величины в правые части уравнений, а неизвестные оставить в левой, дополнив их отсутствующими нулевыми значениями:

Решив эту систему уравнений мы получим следующий результат:

Таким образом, ток I₁ равен 5 амперам, ток I₂ равен 4 амперам и ток I₃ равен минус 1 амперу. Отрицательное значение тока I₃ означает что наше предположение по его направлению оказалось неверным. Давайте вернемся к первоначальной схеме и перерисуем стрелку этого тока на противоположное направление (исправив соответственно полярность напряжения на резисторе R₃):

Итак, величины всех токов данной цепи нам известны. Теперь, при помощи Закона Ома (U = IR), можно рассчитать напряжения на всех ее резисторах:

Давайте теперь проанализируем эту схему при помощи программы PSPICE, проверив тем самым полученные результаты для напряжений. Данная программа, конечно, сможет рассчитать и токи, но тогда нам потребуется включить в схему дополнительные компоненты. Принимая во внимание этот факт, мы с вами пойдем по пути наименьшего сопротивления (если выданные программой значения напряжений совпадут с нашими расчетами, то и токи мы рассчитали правильно). Схема с номерами узлов для программы представлена ниже:

Источник

Методы расчета сложных электрических цепей

Методы расчета сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называют разветвленную цепь с несколькими источниками электрической энергии. Применение методов эквивалентных преобразований в таких цепях, как правило, не эффективно, так как не позволяют упростить ее до одноконтурной цепи или цепи с двумя узлами. Для расчета таких цепей используют более общие методы.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении системы уравнений с применением первого и второго законов Кирхгофа для заданной электрической цени, решение которой позволяет определить токи всех ветвей цепию.

Реализация этою метода, как и любого другого метода расчета сложной электрической цени, начинается с предварительного анализа ее схемы с целью определения числа узлов , числа ветвей , числа независимых контуров , числа ветвей с источниками токов, выяснения возможности упрощения схемы.

Прежде всего определяют число неизвестных токов, которое равно — . Для каждой ветви задают положительное направление тока.

Далее по первому закону Кирхгофа составляют — 1 независимых уравнений.

Затем по второму закону составляют уравнений. При этом выбирают независимые контуры, не содержащие источников тока.

Общее число составленных по первому и второму законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных токов.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 1.25. Пусть ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления . Требуется определить все токи схемы с помощью метода непосредственного применения законов Кирхгофа.

Схема содержит 6 ветвей с неизвестными токами и четыре узла. Па схеме узлы обозначены арабскими цифрами, показаны принятые направления токов и направления обхода контуров А, Б и В.

Составим систему из 6 уравнений. Уравнения по первому закону Кирхгофа запишем для узлов 1, 2, 3, уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров А, Б, В:

Решив эту систему уравнений, получим . Отрицательное значение тока , указывает на то, что выбранное при составлении уравнений направление этого тока не соответствует действительности. Правильное направление — от узла 3 к узлу 4.

Для проверки вычислений с помощью программы схемотехнического моделирования Micro Сар выполнен анализ по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.25. Изображенные на рис. 1.26,а значения токов ветвей (в мА) подтверждают правильность выполненных расчетов. Изображенные на рис. 1.26,б узловые потенциалы схемы (в В) позволяют определить направление токов ветвей.

Метод контурных токов

Метод контурных токов наиболее часто применяется на практике для расчета сложных цепей, так как он позволяет находить все неизвестные величины при числе уравнений, меньшем числа неизвестных величин.

По этому методу в каждом независимом контуре схемы вместо действительных токов в ветвях вводят условный контурный ток. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей только одному контуру, численно равен контурному току. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей нескольким контурам равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь.

Падение напряжения при прохождении тока смежного контура в элементе принимают положительным, если направление тока в смежном контуре совпадает с направлением обхода, Если направление тока смежного контура не совпадает с направлением обхода, падение напряжения считают отрицательным. Значение ЭДС берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с положительным направлением ЭДС, и со знаком минус — если не совпадает.

Метод контурных токов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.27. Схема имеет три независимых контура: А, Б, В. Через сопротивления каждого контура проходит свой контурный ток . Направления обхода каждого контура совпадает с направлением контурного тока этого контура. ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, для контуров А, Б и В:

Подставив в эту систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим

Действительные токи ветвей схемы:

Полученные значения полностью совпадают с результатами ранее проделанного расчета этой же цени по методу непосредственного применения Законов Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов

Потенциал любой точки электрической цепи определяется напряжением между данной точкой и точкой цепи с потенциалом равным нулю.

Метод узловых потенциалов заключается в том, что вначале полагают равным нулю потенциал некоторого базисного узла и для оставшихся ( -1) узлов составляют уравнения по первому закону Кирхгофа: алгебраическая сумма токов всех ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу равна нулю. При этом токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью обобщенного закона Ома. Решив полученную систему уравнений, определяют потенциалы узлов.

Далее, применив обобщенный закон Ома для ветвей, определяют искомые токи.

Метод узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.28 (я). В этой схеме ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Схема имеет четыре узла. Примем потенциал узла 3 . Составляем уравнения по методу узловых потенциалов. Сумма токов узла 1 приравнивается нулю. Ток каждой ветви, подключенной к узлу 1, записывается в соответствии с обобщенным законом Ома

Аналогично для узла 2

Подставив в полученную систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим . Полученные результаты совпадают с данными (рис. 1.26,6^, полученными при выполнении с помощью программы Micro-Сар анализа по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.28,а.

Применив обобщенный закон Ома для каждой ветви схемы, получим искомые токи:

Полученные значения токов совпадают с результатами расчета этой цепи методом непосредственного применения законов Кирхофа и методом контурных токов.

Направления найденных токов указаны на графе цепи на рис. 1.28,6. Графом цепи называют такое изображение схемы электрической цепи, в котором все ветви заменены линиями, источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты. Все ветви и все узлы сохраняются.

Метод узловых потенциалов имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Метод двух узлов является частным вариантом метод узловых потенциалов. Он применяется в тех случаях, когда анализируемая схема содержит только два узла (для определенности узлы и ) и большое число параллельных ветвей, содержащих и не содержащих источники ЭДС. Согласно методу двух узлов межузловое напряжение

где — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу , и отрицательными, если от узла к узлу ) на проводимости этих ветвей; — сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы и .

Эта теория взята со страницы помощи с заданиями по электротехнике:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Что такое истинная ЭДС и истинный ток?

Выполняем все поэтапно.
1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.
3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.
R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом
R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом
R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.
R12=R21=R4=25 Ом
R23=R32=R6=35 Ом
R31=R13=R5=30 Ом
4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.
Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.
Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.
Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.
Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение буде

Источник

Теорема об эквивалентном источнике

Теорема об эквивалентном источнике:

Теорема об эквивалентном источнике часто применяется в расчетах электрических цепей. С помощью этой важной теоремы сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником, благодаря чему расчет электрической цепи упрощается.

Существуют два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником э. д. с. и вариант с Источником тока.

Теорема об эквивалентном источнике э. д. с.

Ток в любой ветви тп линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником э. д. с., которая должна быть равна напряжению на выводах разомкнутой цепи тп, а внутреннее сопротивление источника

должно равняться входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны выводов т и п при разомкнутой ветви mn.

Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь тп вводятся две равные и противоположно направленные э. д. с.

Применение метода наложения в соответствии с рис. 7-20 приводит к выводу, что ток в ветви Z равен:

где— комплексное сопротивление всей пассивной цепи П. Таким образом, ток в ветви Z получается в предположении, что данная ветвь подключена к источнику э. д. с., которая равна а внутреннее сопротивление равно Стедует заметить, что в соответствии с рис. 7-20 ток в какой-либо другой ветви заданной электрической цепи может быть получен в результате алгебраического сложения тока, проходящего через эту ветвь при разомкнутых выводах т и п, с током, возникающим в ней под воздействием э. д. с. в ветви Z (когда остальная цепь пассивна). Поэтому, если известно распределение токов в электрической цепи при разомкнутой ветви Z, то последующее распределение

токов при включенной ветви находится весьма легко наложением на предыдущий режим тех токов, которые обусловливаются воздействием на пассивную цепь э. д. с. в ветви Z.

Как уже указывалось выше, метод наложения применим. не только к токам, но и к напряжениям. Поэтому, пользуясь описанным приемом, можно находить также и распределение напряжений.

При наличии в электрической цепи нескольких источников э. д. с. и тока одинаковой частоты напряжение холостого хода является линейной функцией заданных э. д. с. и токов источников.

Для доказательства теоремы, об эквивалентном источнике в ветвь вводились две противоположно направленные

э. д. с., равные напряжению холостого хода в этой ветви. Такой же прием может быть применен одновременно и к двум ветвям любой сложной активной цепи. Тогда действительное токораспределение в цепи получится как сумма токораспределений в двух схемах:

Указанный прием представляет удобство в том случае, когда известно токораспределенне при режиме холостого хода для обеих ветвей. Тогда при замыкании этих ветвей достаточно лишь наложить токи, полученные из второй схемы с двумя э. д. с.

Пример 7-8.

Размыкание ветви и соответственно нахождение напряжения холостого хода могут быть произведены в любой из трех ветвей заданной электрической цепи. Рисунок 7-21 показан для случая размыкания ветви

Напряжение холостого хода находится в этом случае как разность э. д. с. падения напряжения оттока в комплекс-ном сопротивлении (рис. 7-21,
Под воздействием э. д. с. (]тп в схеме рис. 7-21,6 через комплексное. сопротивление идет ток

который разветвляется в через проходит ток

а через — ток

Искомые токи в ветвях определяются в результате сложения токов, проходящих в схемах рис. 7-21, а и б, т. е.

Данный пример иллюстрирует применение теоремы об эквивалентном источнике э. д. с. для вычисления токов в разных ветвях, причем не ставится цель получить решение кратчайшим путем.

Пример 7-9.

Пользуясь теоремой об эквивалентном источнике Э. Д. с., определить ток в диагональной ветви мостовой схемы рис. 7-22, а.

Разомкнув ветвь находим напряжение холостого хода как разность напряжений на участках (рис. 7-22, б):

Сопротивление между тип при Е = 0 и разомкнутой ветви равно (рис. 7-22, в):

Теорема об эквивалентном источнике тока:

Ток в любой ветви тп линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток этого источника должен быть

равен току, проходящему между выводами m и n, замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи со стороны выводов тип при разомкнутой ветви тп.

Данное положение вытекает из условия эквивалентности источников напряжения и тока, а именно: источник

э. д. с., которая равна напряжению холостого хода а (рис. 7-23, а), может быть заме-

Последнее выражение есть не что иное, как ток, проходящий между выводами тип, замкнутыми накоротко (ток короткого замыкания). Искомый ток в цепи равен:

где

Если известно распределение токов в электрической цепи при закороченных выводах m и n, то распределение токов в цепи при включенной ветви Z может быть найдено посредством наложения на предыдуг щий режим тех токов, которые получаются в результате присоединения источника тока к ветви Z (когда остальная часть цепи пассивна).

При наличии в электрической цепи нескольких источников э. д. с. и тока одинаковой частоты ток короткого замыкания является линейной функцией заданных э. д. с. и токов источников.

Пример 7-10.

Пользуясь теоремой об эквивалентном источнике тока, определить ток в ветви схемы рис, 7-4,

Ток эквивалентного источника равен току короткого замыкания 0, рис, 7-24, а):

Комплексная проводимость эквивалентного источника равна Следовательно, на основании (7-19) искомый ток равен:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник