Что такое десятизначное число в математике

Десятичные цифры

Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем счисления в мире. Для записи чисел наиболее часто используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.

Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии, в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах, для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название — «арабская».

Один десятичный разряд (дес.р) в десятичной системе счисления называется декада, децит.

В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр, при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Так как четыре двоичных разряда имеют 16 состояний, то при двоично-десятичном кодировании 6 из 16 состояний двоичной тетрады не используются.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Десятичные цифры» в других словарях:

«ЦИФРЫ НЕ ПРИВОДЯТСЯ» — биржевой термин, сообщение о том, что информация на табло, тикере о сделках отстает на одну минуту от реальных сделок, совершаемых в операционном зале биржи, после чего на строке табло печатается, появляется, повторяясь, последнее число и… … Экономический словарь

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ — Интуитивное представление о числе, по видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения… … Энциклопедия Кольера

ЦИФРЫ НЕ ПРИВОДЯТСЯ — на бирже: сообщение о том, что информация на тикере, на табло о сделках отстает на одну минуту от реальных сделок, совершаемых в операционном зале биржи, после чего на строке тикера печатается, повторяясь, последнее число и десятичные знаки цены… … Энциклопедический словарь экономики и права

ЦИФРЫ НЕ ПРИВОДЯТСЯ — сообщение, обозначающее, что информация о сделках на ленте тикера отстает на одну минуту от сделок, фактически совершаемых в операционном зале биржи. Затем на ленте печатается только последняя цифра и десятичные знаки цены до тех пор пока лента… … Большой экономический словарь

цифры не приводятся — биржевой термин, сообщение о том, что информация на тикере о сделках отстает на одну минуту от реальных сделок, совершаемых в операционном зале биржи, после чего на строке тикера печатается, повторяясь, последнее число и десятичные знаки цены… … Словарь экономических терминов

Арабские цифры — совр. знаки для обозначения чисел (количественных числительных), номеров, а с присоединением (наращением) падежного окончания и порядковых числительных. А. ц. перенесены в Европу арабами в XIII в. и широко распространились в ней во 2 й половине… … Издательский словарь-справочник

Двоичная система счисления — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Числа с собственными именами — В этот список включены числа, имеющие собственные названия, не являющиеся стандартными сложносоставными названиями чисел. Именные названия степеней тысячи приводятся, только если у них есть иные названия. Содержание 1 Натуральные числа 1.1… … Википедия

МАНТИССА — (лат. mantissa). Десятичные цифры в логарифмах. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МАНТИССА 1) в логарифмах дробная часть (в виде десятичной дроби); 2) приставка, прибавление, придача. Словарь… … Словарь иностранных слов русского языка

Источник

10 значное число это сколько

Существует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа состоят из цифр. Число 52 состоит из двух цифр: 5 и 2. Числа с 1 впереди и последующими нулями имеют названия. Всем известны: 10 — десять, 100 — сто, 1000 — тысяча, 1 000 000 — миллион. Приведем названия чисел с десятками и сотнями нулей после запятой.

Названия «круглых» чисел, которые можно встретить в школьной программе:
1 000 000 — миллион
1 000 000 000 — миллиард (биллион)
1 000 000 000 000 — триллион
1 000 000 000 000 000 — квадриллион
1 000 000 000 000 000 000 — квинтиллион
1 000 000 000 000 000 000 000 — секстиллион
1 000 000 000 000 000 000 000 000 — септиллион
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 — октиллион
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 — нониллион
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 — дециллион

Первый класс дает число единиц, второй — тысяч, третий — миллионов; сообразно с этим число 35 461 298 читается: тридцать пять миллионов четыреста шестьдесят одна тысяча двести девяносто восемь. Поэтому говорят, что единица второго класса есть тысяча; единица третьего класса — миллион.

Таблица, Названия больших чисел

Единица четвертого класса называется миллиардом, или, иначе, биллионом ( 1 миллиард = 1000 миллионов).

Единица пятого класса называется триллионом ( 1 триллион = 1000 биллионов или 1000 миллиардов).

Единицы шестого, седьмого, восьмого и т.д. классов (каждая из которых в 1000 раз больше предшествующей) называются квадриллионом, квинтиллионом, секстиллионом, септиллионом и т.д.

Пример: 12 021 306 200 000 читается: двенадцать триллионов двадцать один миллиард триста шесть миллионов двести тысяч.

В европейской традиции исторически сложились два варианта построения системы наименования чисел.

Содержание

Краткая история [ править | править код ]

Термин «миллион» итальянского происхождения и встречается уже в первой печатной арифметике (анонимной), вышедшей в итальянском городе Тревизо в 1478 году, и ещё ранее в нематематической книге путешественника Марко Поло (умер в 1324 году), а в форме «миллио» — уже в рукописи 1250 года.

Для чтения многозначных чисел анонимная рукопись 1200 года впервые рекомендует разбить цифры на группы по 3 или отмечать группы точками вверху или дугами; это же затем рекомендует Леонардо Пизанский (1228). К этой системе приходят и последующие авторы.

Использование систем наименования чисел в мире:

В России первоначально была введена система наименования чисел с длинной шкалой, и, по-видимому, в печатном виде впервые в 1703 году в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Однако в конце XVIII века, в царствование императора Павла I, вслед за Францией произошёл переход на короткую шкалу. Так, в опубликованном в 1798 году переводе части первой — «Арифметика» — «Курса математики» Этьенна Безу введена система наименования чисел с короткой шкалой, при том, что ещё в опубликованной в 1791 году книге «Арифметика или числовник» Н. Г. Курганова (1725 или 1726—1796) используется длинная шкала.

Короткая шкала [ править | править код ]

Длинная шкала [ править | править код ]

В настоящее время применяется в большинстве франкоязычных, скандинавских, испаноязычных [4] и португалоязычных стран, кроме Бразилии.

Источник

Такое число существует и единственно. В решении нужно найти это число и доказать, что оно всего одно. Все необходимые рассуждения должны присутствовать в решении; перебора слишком большого числа случаев следует избегать.

задан 28 Дек ’13 10:37

falcao
270k ● 8 ● 37 ● 51
93&#037 принятых

3 ответа

отвечен 17 Янв ’14 11:28

@aid78: теперь всё верно; ответ я принимаю. Маленькое замечание по поводу делимости на 7: там можно использовать признак делимости, хотя он и не очень удобный. Но выгода в том, что для тех цифр, положение которых зафиксировано, мы можем один раз подсчитать остаток, а для оставшихся цифр в количестве 2-3 штук проверять, подходят ли их положения.

@falcao: спасибо за ссылку и за решение. Почти со всем согласен. Я потратил на эту задачу некоторое время. Постараюсь опубликовать здесь вылизанное до блеска своё решение. Коллекционирую задачи такого уровня для занятий со школьниками. Эта задача хороша тем, что решать можно с 5-ым классом.

@falcao: вот я опубликовал свой вариант решения, прошу сравнить и отрецензировать, если можно.

Качество решения предлагаю измерять количеством вариантов перебора руками «больших» чисел и отсутствием «лишних» слов.

Решение. Искомое число обозначим abcdefghkl. Для уменьшения количества вариантов перебора при поиске решения используем признаки делимости на 2, 3, 4, 5 и 8. Признак делимости на 7 не используем ввиду его экзотичности. Начинаем с тривиальных утверждений, которых немало:

Чётные цифры стоят на чётных местах;

Нечётные цифры, соответственно, на нечётных местах.

Суммы всех «троек» делятся на три;

Число cd делится на 4;

Число fgh делится на 8 (!);

Делимость на 9 присутствует «на автомате».

Рассмотрим вариант I: Используя п. 6), получаем 2 случая:

Ia. _ 8 _ 654 32 _ ; остались цифры 1, 7, 9; используя для Ia п. 4), получаем 4 случая:

Проверяем руками, что делимость на 7 отсутствует.

Ib. _ 8 _ 654 72 _ ; остались цифры 1, 3, 9; используя для Ib п. 4), получаем 4 случая:

Проверяем руками, что делимость на 7 присутствует только в 3-м случае.

Рассмотрим вариант II: Используя п. 6), получаем 2 случая:

IIa. _ 4 _ 258 16 _ ; остались цифры 3, 7, 9; используя для IIa п. 4), получаем, что первая тройка никогда не делится на 3.

IIb. _ 4 _ 258 96 _ ; остались цифры 1, 3, 7; используя для IIb п. 4), получаем только 2 случая:

Проверяем руками, что делимость на 7 отсутствует.

Итак, задача имеет единственное решение. Для решения задачи нам потребовалось проверить руками делимость на 7 в 10 случаях.

Источник

Разряды и классы чисел

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Названия классов многозначных чисел справа налево:

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Источник

math4school.ru

Цифры и десятичная система счисления

Немного теории

В задачах, где речь идет о цифрах в десятичной записи натурального числа

(эта запись иногда обозначается через ) используются разнообразные соображения: делимость целых чисел, алгебраические преобразования, оценки. В частности, полезен признак делимости на 3 и на 9, а также следующее его уточнение: число А дает при делении на 9 (и на 3) тот же остаток, что и сумма его цифр. Разность

очевидно, делится на 9 (и на 3).

Иногда оказывается полезной запись натурального числа А в системе счисления с основанием q:

где целые положительные a_i Задачи с решениями

1. Сколько существует целых положительных:

а) двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;

б) двузначных чисел, цифры которых расположены в невозрастающем порядке;

в) восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;

г) чисел, меньших 1000, которые записываются различными цифрами;

д) трёхзначных чисел, цифры которых расположены в возрастающем порядке?

б) К таким числам относятся числа, цифры которых записаны в убывающем порядке, и числа, обе цифры которых одинаковые. Первых, как мы установили выше, 45, вторых – 9. Количество искомых чисел: 45+9=54.

в) Выпишем в ряд все 10 цифр в убывающем порядке. Если в этом ряде вычеркнуть какие-либо две цифры, то получим восьмизначное число, цифры которого идут в убывающем порядке. Этому числу соответствует двузначное число, образованное вычеркнутыми цифрами. Таким образом, между элементами множества двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, и элементами множества восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому и тех и других равное количество, по 45.

г) I способ. Положительных целых однозначных чисел 9, двузначных, записанных разными цифрами, как установлено ранее, – 81. Определим количество трёхзначных положительных целых чисел записанных различными цифрами. Если к двузначному числу приписать в конце цифру, ранее не использованную в его записи, то получим трёхзначное число с разными цифрами. Одно двузначное может дать, таким образом, восемь трёхзначных. Всего же таких двузначных чисел – 81. Значит, искомое количество трёхзначных чисел, записанных разными цифрами, равно 81·8=648. Количество искомых чисел: 9+81+648=738.

приписать перед kk любую цифру, кроме 0 и k – 8 способов;

приписать между k и k любую цифру, кроме k – 9 способов;

приписать после kk любую цифру, кроме k – 9 способов.

Так как k принимает девять значений, то из kk получим 9·(8+9+9)=234 чисел. Таким образом, чисел меньших 1000, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется: 9+9+9+234=261. Количество искомых чисел: 999–261=738.

д) Отметим сразу очевидное, в таких числах отсутствует цифра 0. Вычтем из 648 трёхзначных чисел, которые записываются различными цифрами те, которые имеют 0. Выше отмечалось, что существует 72 числа, которые записываются различными, отличными от 0 цифрами. Каждое из этих чисел даст трёхзначное число с цифрой 0 после записи 0 между его цифрами или в конце числа. Таким образом, существует 648–72·2=504 трёхзначных числа, в записи каждого из которых используются три различных числа, отличных от 0.

Так как из трёх различных, не равных 0 цифр можно записать шесть различных трёхзначных чисел, только в одном из которых цифры расположены по возрастанию, то количество искомых чисел равно шестой части от 504, а именно: 84

2. Какова сумма всех цифр, используемых при записи всех чисел, первое из которых единица, а последнее миллиард?

Добавляя ноль, мы можем образовать полмиллиарда пар чисел:

Сумма цифр в каждой паре равна 9 · 9 = 81. Если добавить 1 в сумму цифр для неучтённого при этом числа 1 000 000 000, то мы получаем сумму совсем просто:

500 000 000 · 81 + 1 = 40 500 000 001.

Ответ: 40 500 000 001.

Число, состоящее из 2013 единиц, можно записать следующим образом:

Так как 111 кратно 37, то и всё число кратно 37.

Верны следующие два равенства:

а) число 11. 1211. 1, состоящее из 100 единиц слева и 100 единиц справа от единственной двойки, является составным;

б) число 11. 1122…22, состоящее из 100 единиц и 100 двоек есть произведение двух последовательных целых чисел.

Откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

что и требовалось доказать.

6. Можно ли все десятизначные числа, записываемые при помощи 1 и 2, разбить на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел из одной группы содержала в своей десятичной записи не менее двух троек?

Поместим в одну группу числа, в записи которых чётное число единиц, в другую – числа с нечётным числом единиц. Если А и В – два числа из одной группы, то, поскольку это разные числа, в некотором разряде у них стоят разные цифры – 1 и 2, сумма которых даёт одну тройку. Но количество единиц в обоих числах имеет одинаковую чётность, поэтому не могут совпадать цифры в остальных, то есть найдется еще разряд с разными цифрами, сумма которых даст вторую тройку.

7. В некотором натуральном числе произвольно переставлены цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не равна 99…9 (число содержит 2013 девяток).

Так как сумма цифр исходного и изменённого числа одна и та же, то

чего не может быть, так как в правой и левой частях равенства стоят числа разной четности.

8. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанные в произвольном порядке. Доказать, что ни одно из этих чисел не делится ни на какое другое.

Пусть число m₁, составленное из данных чисел, делится на число m₂ (m₁ > m₂). Тогда и m₁ – m₂ делится на m₂. Так как разность двух чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9, числа 9 и m₂ взаимно просты, то m₁ – m₂ делится на 9m₂. Но 9m₂ – число восьмизначное. Полученное противоречие, опровергает сделанное предположение о том, что m₁ делится на m₂. Доказательство окончено.

Заметим, что 7 4 = 2401. Поэтому

7 4n = 2401 n = (1 + 2400) n = 1 + n·2400 + А,

где все члены этого биномиального разложения после второго, объединённые нами в одном слагаемом А, оканчиваются по крайней мере на четыре нуля и не влияют на последние три цифры результата. Эти последние определяются из равенства

1 + n·2400 = 24n·100 + 1.

Если m – последняя цифра числа 24n, то имеем

то есть 7 4n оканчивается на m01.

При n = 2499 число 24n оканчивается на 6 и мы видим, что 7 4n = 7 9996 оканчивается на 601. Так как 7 3 = 343, то мы получаем

143 и есть искомые последние три цифры, которые мы получаем непосредственным умножением.

10. Докажите, что существует число, делящееся на 5 1000 и не содержащее в своей записи ни одного нуля.

Задачи без решений

1. Сколько существует целых положительных:

а) трёхзначных чисел, первая цифра которых больше двух остальных, а вторая – меньше третьей;

б) четырёхзначных чисел, которые делятся на 4, и в записи которых нет цифр 3, 0, 8?

3. Найдите все значения n при которых (n+1)-значное число 144. 4 является квадратом натурального числа.

4. У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитывается сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитывается сумма цифр и так далее до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел получится больше: 1 или 2?.

5. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444445-значное число не может быть степенью двойки.

Источник