Что такое десятичное разложение
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Десятичное разложение рациональных чисел
Перечень рассматриваемых вопросов:
Натуральные, целые отрицательные числа и число ноль образуют множество целых чисел.
Сумма, разность и произведение целых чисел всегда целое, а частное двух целых чисел не всегда целое число.
Положительные дроби, отрицательные дроби и число ноль образуют множество рациональных чисел.
Сумма, разность, произведение, частное рациональных чисел будет являться рациональным числом. На ноль делить нельзя!
Поставим перед периодической дробью знак минус, получим отрицательную периодическую дробь.
Ноль тоже может быть записан в виде нулевой периодической дроби.
Каждое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби, а каждая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого рационального числа.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На уроке, мы рассмотрим множества натуральных, целых, рациональных чисел.
Поставим перед натуральным числом знак
« + » (плюс), получим равное ему число.
Поэтому пишут, например:
Если поставим перед натуральным числом знак « – » (минус), получится противоположное ему число, называемое целым отрицательным числом. Например:
Натуральные, целые отрицательные числа и число ноль образуют множество целых чисел.
Сумма, разность и произведение целых чисел всегда целое, а частное двух целых чисел не всегда целое число.
Поставим перед обыкновенной дробью (положительным рациональным числом) знак «+» (плюс), получим равную ей дробь. Значит, можем записать:
Если поставим перед обыкновенной положительной дробью знак « –» (минус), то получится противоположная ей – отрицательная дробь, называемая отрицательным рациональным числом. Например,
Знак « –» (минус), стоящий перед отрицательной дробью, можно записать или в числитель, или в знаменатель дроби.
Значит, можем записать:
Сумма, разность, произведение, частное рациональных чисел будет являться рациональным числом. На ноль делить нельзя!
На прошлом уроке мы рассмотрели, что любое положительное рациональное число преобразуется в периодическую дробь.
Поставим перед ней знак «+» (плюс), получим равную ей дробь. Тогда запишем:
Поставим перед ней знак «–» (минус), получим отрицательную периодическую дробь.
Периодическую дробь в левой части данного равенства называют десятичным разложением числа, записанного в правой части.
Число ноль тоже может быть записано в виде нулевой периодической дроби:
Каждое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби, а каждая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого рационального числа.
Итак, на этом уроке мы:
рассмотрели множества натуральных, целых, рациональных чисел;
узнали понятие десятичного разложения рациональных чисел.
Запись периодической дроби в виде рационального числа.
Рассмотрим, как записать периодическую дробь в виде рационального числа.
Представить периодическую дробь –6,(17) в виде рационального числа.
Нам нужно периодическую дробь, представить обыкновенной отрицательной дробью.
Пусть искомая дробь равна х.
Тогда запишем равенство.
Рассмотрим, ещё пример, как записать периодическую дробь в виде обыкновенной несократимой дроби
Представить периодическую дробь 0, 23(45) в виде обыкновенной несократимой дроби
Нам нужно периодическую дробь, представить обыкновенной отрицательной дробью.
Пусть искомая дробь равна х.
Тогда запишем равенство.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Представьте периодическую десятичную дробь –5,67(0) в виде обыкновенной несократимой дроби.
За три дня было вспахано 153 га земли. В первый день было вспахано 0,(3), а во второй день – 0,(4) этой площади. Сколько гектаров земли было вспахано в третий день. Варианты ответа:
Запишем периодические дроби в виде обыкновенных несократимых дробей.
Периодическое десятичное разложение
Резюме
Вводный пример
Чтобы оценить частное 4/3, калькулятор обычно отображает число 1, десятичный разделитель (точка или запятая) и несколько цифр 3. Однако 1,3333333333333 является лишь приблизительным значением (в пределах 10–12 ) этого частного, как показано расчет обратной операции:
Следовательно, чтобы точно записать частное 4/3 в десятичной системе счисления, необходимо повторять число 3 до бесконечности. Для других рациональных чисел необходимо повторять другие цифры, даже блок из нескольких цифр. Этим блокам также может предшествовать блок из одного или нескольких десятичных знаков, который не повторяется.
Обозначения
Можно заметить бесконечное повторение цифр, поставив многоточие после нескольких вхождений десятичных знаков. Это написание может показаться ясным, когда одно десятичное число повторяется десять раз, но другие обозначения более явны, поскольку рациональное число разбивается на три части:
Цифры целой части обычно помещаются слева от десятичной точки, за которой следуют цифры непериодической десятичной части. За ними следуют цифры (более короткого) периода периодической десятичной части, отмеченные полосой выше или ниже, или даже скобками, окружающими их.
Периодическое развитие и рациональное число
Десятичное письмо рационального
Этот пример позволяет предсказать следующее свойство:
Прежде чем продемонстрировать более точную версию, давайте исключим некоторые случаи:
Дробное написание периодического разложения
Если точка не начинается сразу после десятичной точки, мы должны начать с умножения числа на правильную степень 10, чтобы начать периодическое десятичное расширение сразу после десятичной точки, тогда мы используем предыдущий метод для десятичной части.
Этот алгоритм является обобщенным и приводит к следующему результату:
Случай десятичных знаков
Период 1 / n
Продолжительность периода
Он также может быть меньше, как для
Эмиль Артин предположил, что эта последовательность бесконечна и что ее плотность среди простых чисел является постоянной (такой же, когда мы заменяем 10 некоторыми другими целыми числами), стоимостью около 0,374 (см. Статью о гипотезе Артина о первообразных корнях ).
Практическая характеристика длинных простых чисел
Поэтому полезно знать разложение на простые множители чисел, обычно называемых » ответами «: р d <\ displaystyle R_ 
Цикл и перестановка
а дробное письмо дает
Наблюдая за числителями, мы можем видеть, что умножение периода 1 / n на r k эквивалентно выполнению круговой перестановки цифр этого числа.
(7 × 142857 = 999999, период неправильного десятичного ввода 1 ).
Строительство
С другой стороны, если мы заметим
Последовательные цифры периода находятся путем постепенного заполнения умножения с пробелами.
Состав
Фрагменты истории
Мы можем проиллюстрировать его подход на примере: речь идет о поиске десятичного разложения
Первый шаг состоит в разбиении 351 на произведение простых множителей :
Затем эту фракцию необходимо разбить на простые элементы. Мы должны найти два целых числа x и y такие, что
Решение диофантова уравнения 13 x + 27 y = 251 дает для разложения:
Сумма этих двух чисел имеет период длины, кратный двум длинам, здесь длина равна 6.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
Понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Примеры бесконечной периодической десятичной дроби.
Представление рационального числа в видебесконечной периодической десятичной дроби.
Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Любое положительное рациональное число
преобразуется в положительную дробь.
Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».
Если в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На прошлом уроке мы рассмотрели условия, при которых обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.
А как поступать, когда невозможно представить её в таком виде?
Введём понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.
Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью.
Знаменатель 9 = 3 3
5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком.
Разделим числитель 5 на знаменатель 9.
Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…,
точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз.
Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Читают: « ноль целых и пять в периоде».
Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5).
Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде.
Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5).
Рассмотрим ещё пример.
Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим.
Делим уголком 4 на 15.
читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде».
В примерах мы увидели разные периодические дроби.
Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные».
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».
Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».
Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q
Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь.
Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.
45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0)
0,673 = 0,673000 = 0,673(0).
Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь.
Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q.
Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q
Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование.
Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5
В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13.
Будем делить уголком 15 на 13.
Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:
Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью.
Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной.
Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство
Умножим это равенство на 10, получим
Вычтем из равенства (2) равенство (1).
Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.)
Разбор заданий тренировочного модуля.
Подберите обыкновенную дробь, равную периодической десятичной 0,(14).
Варианты ответов: 14/99, 14/98 14/90
Обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство:
Умножим это равенство на 100, получим
Вычтем из равенства (2) равенство (1).
Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби 769/4950
Решение: Для решения задачи нужно выполнить деление уголком:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Десятичное разложение рациональных чисел
Перечень рассматриваемых вопросов:
Натуральные, целые отрицательные числа и число ноль образуют множество целых чисел.
Сумма, разность и произведение целых чисел всегда целое, а частное двух целых чисел не всегда целое число.
Положительные дроби, отрицательные дроби и число ноль образуют множество рациональных чисел.
Сумма, разность, произведение, частное рациональных чисел будет являться рациональным числом. На ноль делить нельзя!
Поставим перед периодической дробью знак минус, получим отрицательную периодическую дробь.
Ноль тоже может быть записан в виде нулевой периодической дроби.
Каждое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби, а каждая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого рационального числа.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На уроке, мы рассмотрим множества натуральных, целых, рациональных чисел.
Поставим перед натуральным числом знак
« + » (плюс), получим равное ему число.
Поэтому пишут, например:
Если поставим перед натуральным числом знак « – » (минус), получится противоположное ему число, называемое целым отрицательным числом. Например:
Натуральные, целые отрицательные числа и число ноль образуют множество целых чисел.
Сумма, разность и произведение целых чисел всегда целое, а частное двух целых чисел не всегда целое число.
Поставим перед обыкновенной дробью (положительным рациональным числом) знак «+» (плюс), получим равную ей дробь. Значит, можем записать:
Если поставим перед обыкновенной положительной дробью знак « –» (минус), то получится противоположная ей – отрицательная дробь, называемая отрицательным рациональным числом. Например,
Знак « –» (минус), стоящий перед отрицательной дробью, можно записать или в числитель, или в знаменатель дроби.
Значит, можем записать:
Сумма, разность, произведение, частное рациональных чисел будет являться рациональным числом. На ноль делить нельзя!
На прошлом уроке мы рассмотрели, что любое положительное рациональное число преобразуется в периодическую дробь.
Поставим перед ней знак «+» (плюс), получим равную ей дробь. Тогда запишем:
Поставим перед ней знак «–» (минус), получим отрицательную периодическую дробь.
Периодическую дробь в левой части данного равенства называют десятичным разложением числа, записанного в правой части.
Число ноль тоже может быть записано в виде нулевой периодической дроби:
Каждое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби, а каждая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого рационального числа.
Итак, на этом уроке мы:
рассмотрели множества натуральных, целых, рациональных чисел;
узнали понятие десятичного разложения рациональных чисел.
Запись периодической дроби в виде рационального числа.
Рассмотрим, как записать периодическую дробь в виде рационального числа.
Представить периодическую дробь –6,(17) в виде рационального числа.
Нам нужно периодическую дробь, представить обыкновенной отрицательной дробью.
Пусть искомая дробь равна х.
Тогда запишем равенство.
Рассмотрим, ещё пример, как записать периодическую дробь в виде обыкновенной несократимой дроби
Представить периодическую дробь 0, 23(45) в виде обыкновенной несократимой дроби
Нам нужно периодическую дробь, представить обыкновенной отрицательной дробью.
Пусть искомая дробь равна х.
Тогда запишем равенство.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Представьте периодическую десятичную дробь –5,67(0) в виде обыкновенной несократимой дроби.
За три дня было вспахано 153 га земли. В первый день было вспахано 0,(3), а во второй день – 0,(4) этой площади. Сколько гектаров земли было вспахано в третий день. Варианты ответа:
Запишем периодические дроби в виде обыкновенных несократимых дробей.
Десятичное разложение
Резюме
Случай целых чисел
Пример: 123827 = 1 × 10 5 + 2 × 10 4 + 3 × 10 3 + 8 × 10 2 + 2 × 10 1 + 7 × 10 0.
Случай десятичных чисел
И наоборот: любое число с ограниченным десятичным расширением является десятичным числом, потому что достаточно умножить его на соответствующую степень десяти, чтобы вернуться к целому числу.
Случай рациональных чисел
Приближение к десятичной записи большинства рациональных чисел переносит нас в мир бесконечности, потому что письмо никогда не прекращается. Речь идет о неограниченной десятичной развертке.
Десятичное число также имеет неограниченное десятичное расширение периода 0.
И наоборот, любое периодическое неограниченное десятичное разложение соответствует написанию рационального.
Случай реальных чисел
Эта конструкция неограниченного развития позволяет найти правильное развитие десятичного числа 3,5670000… или рационального 3,25743743743….
Регулярность в неограниченных десятичных разложениях
За исключением десятичных знаков и рациональных чисел, неограниченное расширение которых является периодическим, обычно невозможно «предсказать» десятичные дроби вещественного числа. Только расширенные вычисления позволяют обнаружить первые десятичные разряды (до сих пор мы знаем первые 1 241 100 000 000 десятичных знаков числа π).
Проведены исследования частоты появления целых чисел в десятичных разложениях числа π. 2 <\ displaystyle <\ sqrt <2>>>