Что такое десятичная запись числа примеры

Десятичная система записи. Классы и разряды

Содержание

Систему записи чисел называют десятичной и позиционной. Десятичной она называется, потому что используется десять цифр. Позиционная, потому что каждая цифра в числе имеет разное значение. Это зависит от того, в какой позиции находится цифра.

Классы и разряды

Для того чтобы прочесть число, его разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называются классами. Первый класс справа называют классом единиц, второй – классом тысяч, третий – классом миллионов, четвертый – классом миллиардов и т. д.

В каждом классе три разряда – единицы, десятки и сотни.

Каждое натуральное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Например, число 673 содержит 6 сотен, 7 десятков и 3 единицы.

Значит, число 673 можно представить в таком виде:

$673 = 6 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 3$, что означает

На примере числа 5019. В нем 9 единиц, 1 десяток, 0 сотен, 5 тысяч.

$5019 = 5 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 9 \cdot 1$

$5019 = 5000 + 0 + 10 + 9$

Если прибавить к числу нуль, то ничего не изменится, поэтому лучше записать сумму в следующем виде:

Источник

Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

Урок 2. Математика 5 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Цифры. Десятичная запись натуральных чисел»

Давайте представим себе такую историю…

– 2, 0, 1, 7, 2, 0, 1, 7, 2, 0, 1, – бурчал себе под нос Саша.

– Чем это ты тут занимаешься? – спросил Паша.

– Хочу научиться красиво писать цифры, – ответил Саша.

– Саша, смотри, какое интересное число у тебя получилось, – провозгласил Паша. – А ты можешь его прочитать? – спросил он у Саши.

– Прочитать! Конечно! – взбодрился Саша. – Что тут сложного? 2, 0, 1, 7, 2, 0…

– Нет, Саша! – перебил Паша. – Ты просто перечисляешь записанные цифры, а назвать число – это совсем по-другому. Вот как ты думаешь, что общего между буквами и цифрами?

– Не знаю, – прозвучал ответ Саши. – Может, только если одни и другие мы учим в школе?

– Ну почти! – сказал Паша. – Буквы и цифры – это знаки, которые придумали для записи. Так, например, из букв можно записать слово, а вот из цифр – число. У тебя из цифр тоже получилось число, которое имеет своё имя.

– Правда? – удивился Саша. – И как же его зовут?

– Ты знаешь, я немного забыл, как правильно его назвать, – стушевался Паша. – Но я точно знаю, кто нам может помочь!

– Ребята, прежде, чем я вам поведаю свой рассказ о цифрах, числах и ещё кое о чём интересном, хочу, чтобы вы немного размялись и выполнили устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! – сказал Электроша. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь давайте поговорим о числах, – предложил Электроша. – Вы уже знаете, что в алфавите русского языка существует 33 буквы и из них можно составить огромное множество слов.

Цифры в математике выполняют такую же роль, как и буквы в русском языке. Только из цифр составляют различные числа.

Правда, цифр гораздо меньше, чем букв. Их всего лишь 10:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

– Так мало? –удивился Саша.

– Цифр-то мало, а вот составить из них чисел можно сколько угодно! – продолжил Электроша.

– А вы знаете, что цифры изобрели давным-давно? – спросил у мальчиков Электроша. Это произошло в Индии ещё в VI веке. Правда, сами цифры принято называть арабскими.

– Арабскими? – удивился Паша. – Но ведь ты же сказал, что цифры придумали в Индии? А значит, их нужно называть индийскими!

– Всё правильно Паша! – улыбнулся Электроша, – придумали то их в Индии, но к нам цифры пришли от арабов, которые подсмотрели их у индийцев, поэтому-то их и стали называть арабскими.

– А теперь поговорим о том, как называют числа! – продолжил Электроша. От количества цифр (знаков) в числе зависит его название. Так, например, если число состоит из одной цифры, то его называют однозначным.

– Такое смешное название! – ухмыльнулся Саша.

– Да, да, одна цифра – один знак, поэтому и однозначное, – продолжил Электроша. –Самое маленькое однозначное натуральное число – 1, а самое большое – 9.

Кроме однозначных чисел, есть и многозначные. Если число состоит из двух цифр, то его называют двузначным числом.

– Вот вы, мальчики, можете назвать самое маленькое и самое большое двузначное натуральное число? – спросил Электроша.

– Конечно! – обрадовались мальчишки. – Это же легче лёгкого!

– Самое маленькое двузначное число – это 10, – сказал Паша.

– Верно! ­– подтвердил Электроша.

– А вот самое большое двузначное число – это 90! – воскликнул Саша.

– Нет, нет, – исправил Сашу Электроша. Самое большое двузначное число – 99. А вот следом за ним уже идёт наименьшее трёхзначное натуральное число – 100. Число сто записано тремя цифрами, поэтому его называют трёхзначным.

Запомните! Многозначное число может начинаться с любой цифры, кроме цифры ноль.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место – позицию.

– Что это значит – определённое место? – решил спросить Саша.

– Перед вами три трёхзначных числа, – продолжил Электроша. – Посмотрите: в их записи участвуют одни и те же цифры.

– Но ведь сами числа же различны, – возразил Паша. – В них цифры стоят на разных местах.

– Ты правильно заметил, Паша, – сказал Электроша. – В записи числа важно то, какую позицию занимает цифра, то есть на каком месте она стоит.

Место, на котором стоит цифра в записи числа, по-другому называют разрядом числа. Одна и та же цифра в записи числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она стоит.

– Да, да, я вспомнил, – радостно сказал Паша, – нам в школе рассказывали. Вот если взять, например, число 358, то у него цифра 8 относится к разряду единиц, цифра 5 – к разряду десятков, а вот цифра 3 – к разряду сотен.

– Всё правильно, Паша! – подбодрил мальчика Электроша. Самый младший разряд – разряд единиц. Им заканчивается любое число. С него же начинают отсчитывать разряды.

Обратите внимание: числа читают слева направо, а разряды отсчитывают наоборот – справа налево. Итак, первый – это разряд единиц. Следующий за ним разряд – разряд десятков. Сделав ещё шаг влево от десятков, получаем разряд сотен.

Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его месте будет стоять цифра 0 и при чтении числа данный разряд не называют.

– Мы с Сашей хотели прочитать число, которое у него получилось, – перебил Паша. – Посмотри, какое большущее число у него вышло.

– Ребята, прочитать это число совсем не сложно, – сказал Электроша. – Сейчас я вам покажу, как это сделать.

Итак, чтобы прочитать многозначное число, цифры его записи нужно мысленно разбить справа налево на группы по три цифры в каждой, при этом крайняя слева группа цифр может состоять необязательно только из трёх цифр, в ней могут быть две, как в нашем числе, или даже одна цифра. Эти группы называют классами.

– Классами? – уточнил Саша. Ты ничего не путаешь, Электроша? В классах учатся в школе. Числа же не учатся в школе.

– Именно классами! – улыбнулся Электроша. – Многозначные числа разбивают на классы для удобства их чтения и записи. Единицы, десятки, сотни образуют первый класс – класс единиц. Следующие три цифры числа образуют соответственно разряды: единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч образуют второй класс – класс тысяч. Если мы продвинемся ещё дальше влево, то обнаружим ещё три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов. Единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов образуют третий класс – класс миллионов. Следующие три цифры числа образуют соответственно разряды: единицы миллиардов, десятки миллиардов и сотни миллиардов, а вместе они составляют четвёртый класс – класс миллиардов.

– Я понял, как назвать моё число! – вскрикнул Саша. – Это число два десятка миллиардов, одна сотня миллионов…

– Нет, Саша! – перебил мальчика Электроша. – Ты не до конца понял.

При чтении многозначного числа число, записанное в каждом классе, читают как трёхзначное, двузначное или однозначное, добавляя при этом название класса. Только вот название класса единиц, как правило, не произносят.

– А, понятно, – обрадовался Саша. – Значит, в моём числе 20 миллиардов?

– Правильно! – сказал Электроша. – Может, ты сможешь назвать всё число?

– Я попробую, – ответил Саша. – Моё число, – продолжил он, – можно прочитать так: 20 миллиардов 172 миллиона 17 тысяч 201.

– Всё правильно, Саша! ­– сказал Электроша. – С чтением многозначного числа ты справился на отлично. Ещё вам с Пашей полезно будет узнать, как правильно записывать многозначные числа.

Чтобы записать многозначное число, вам пригодятся следующие правила:

1. Многозначные числа записывают слева направо и начинают со старшего разряда.

2. Во всех классах, кроме старшего, должно быть по три цифры.

3. Для удобства чтения между классами можно оставить небольшой промежуток.

4. Если отсутствуют единицы какого-либо разряда, вместо них пишут нули.

5. Если отсутствует целый класс, то вместо него пишут три нуля.

– Ребята, давайте вы попробуете сами записать многозначное число! – предложил Электроша. – Слушайте внимательно число: двадцать три миллиона пять тысяч двадцать три.

– Какие вы молодцы! – обрадовался за ребят Электроша. – Всё правильно написали!

А ещё вот что вам нужно знать, – продолжил он. – Запись натуральных чисел, которой мы пользуемся, называют десятичной. Такое название связано с тем, что 10 – это основа десятичной нумерации. Самое главное для вас сейчас – это понять, что десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего за ним разряда. Например, 10 единиц составляют 1 десяток, в свою очередь, 10 десятков – 1 сотню и так далее.

Числа 10, 100, 1000 и так далее называют разрядными единицами.

Зная это, вы сможете любое натуральное число представить в виде суммы разрядных слагаемых. К примеру, возьмём число 8 543. Его можно записать суммой разрядных слагаемых так:

8 543 = 8 000 + 500 + 40 + 3.

Или вот так: 8 543 = 8 · 1 000 + 5 · 100 + 4 · 10 + 3.

Последнее равенство называют записью числа 8 543 в виде суммы разрядных слагаемых.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли и выполним несколько заданий.

Задание первое: прочитайте число .

Решение: мысленно делим наше число на группы по три цифры начиная справа. Три первых цифры составляют класс единиц, три следующих – класс тысяч, ещё три следом – класс миллионов и последние – класс миллиардов. Видим, что в классе миллионов и классе тысяч стоят нули, значит, в этих классах отсутствуют единицы в разрядах. Тогда указанное число – пятьдесят миллиардов триста.

Следующее задание: запишите цифрами число пять миллионов одиннадцать тысяч шестьсот один.

Решение: число пишем слева направо. Старший класс в нашем числе – миллионы, и их пять, значит, записываем цифру 5. Следующий класс – тысячи. Сказано, что в числе их одиннадцать, значит, отсутствует разряд сотен и вместо него мы запишем цифру 0. За ней ставим 11. И последний класс в этом числе – класс единиц, их 601, разряд десятков отсутствует, на его месте ставим цифру 0.

И последнее задание: запишите число 7 506 в виде суммы разрядных слагаемых.

Решение: у нас в числе семь тысяч, значит, пишем … дальше идёт класс единиц… пишем … видим в числе отсутствует разряд десятков, там стоит 0… значит, дальше пишем .

Источник

Десятичные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

Обучение на курсах по математике — отличный способ закрепить полученные знания на практике и подтянуть сложные темы.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:

Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

Источник

Основы систем счисления

Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Позиционные системы счисления

Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503₁₀.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀.

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100₂. В восьмеричной — это 101 100 = 54₈, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С₁₆. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

Смешанные системы счисления

К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Преобразование в десятичную систему счисления

Пример: 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15₁₀ = 17₈.

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

В качестве примера возьмем число 1001₂: 1001₂ = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1) = 11₈

Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

Для примера рассмотрим число 45₈: 45 = (100) (101) = 100101₂

Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,01₂ = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2₈

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,625₁₀ в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625₁₀ = (1010), (101) = 1010,101₂

Источник