Что такое десятичная система вычисления

Десятичная система счисления

Система счисления — это способ записи (представление) чисел с помощью определённого набора письменных знаков.

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Знаки, употребляемые для записи чисел, называются цифрами.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от её позиции в записи числа. Для примера возьмём число 777, которое состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает семь сотен, вторая — семь десятков, а третья — семь единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции в записи числа, десятичную систему счисления также называют позиционной.

Позиционной называют такую систему счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными, записанные с помощью двух — двузначными, так же по количеству цифр в числе дают названия и другим числам:

Однозначные числа: 1, 2, 4.

Двузначные числа: 14, 77, 92.

Трёхзначные числа: 122, 345.

Шестизначные числа: 537633, 987345.

Двузначные, трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными.

Следует помнить, что цифра и число не одно и то же.

Цифра – это только письменный знак, используемый для записи числа. Число может быть обозначено не одной, а несколькими цифрами (например, 75) или может быть выражено словами (семьдесят пять).

Источник

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Источник

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
200₁₀ = 11001000₂ = 310₈ = C8₁₆

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Перевод в десятичную систему счисления

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 375₁₀ в восьмеричную систему:

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Используем таблицу триад:

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Используем таблицу тетрад:

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Источник

Десятичная система счисления

Всего получено оценок: 202.

Всего получено оценок: 202.

Все вычисления в математике выполняются в позиционной десятичной системе счисления. Кратко об особенностях десятичной системы можно прочитать в данной статье.

Что такое десятичная система счисления

В десятичной системе для представления чисел использует десять арабских цифр от 0 до 9, соответственно основанием десятичной системы счисления является число 10.

Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.

Развернутая форма представления десятичного числа

Важным понятием в позиционном подходе представления чисел является понятие разряда. Различают разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Любое десятичное число можно представить, в так называемом развернутом виде, когда число записывается в виде суммы разрядных слагаемых, представленных в виде произведения значащей цифры разряда и числа десять в степени соответствующего разряда.

Например, десятичное число 46758 в развернутом виде будет выглядеть следующим образом:

46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0

46758 = 4 * 10000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1

Прямой перевод числа из десятичной системы

Перевод целого десятичного числа в какую-либо систему счисления выполняется путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится перевод.

Например, для перевода десятичного числа в двоичную систему выполняют деление на два, в восьмеричную – на восемь, в шестнадцатеричную – на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно перевести и в пятеричную и семеричную системы, выполнив деление на пять или семь.

Выполнив первый шаг деления на, например, два, остаток запоминают, а полученное частное снова делят на основание. Эту операцию выполняют до тех пор, пока последнее частное не будет меньше или равно делителю.

Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.

Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняют так:

27 / 2 = 13 и остаток 1

13 / 2 = 6 и остаток 1

6 / 2 = 3 и остаток 0

3 / 2 = 1 и остаток 1

Таким образом, 27 в двоичном формате это число 11011.

Для перевода чисел в пределах можно пользоваться таблицей соответствия десятичных и двоичных чисел

Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.

Обратный перевод числа в десятичную систему

Для перевода чисел в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой. При этом числовые значения записываются в виде суммы произведений цифр разрядов на основание текущей системы счисления в степени разряда.

Например, двоичное число 11011 можно представить так:

1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 =27

Для упрощения вычислений удобно пользоваться таблицей степени двойки

Рис. 3. Степени двойки.

Что мы узнали?

В десятичной позиционной системе для представления числовых значений используются десять арабских цифр. Числа в такой системе можно представлять в развернутом виде. Перевод десятичных чисел в другую систему выполняется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять с использованием развернутой формы записи числа.

Источник

Основные сведения о десятичной системе счисления

Системы счисления. Основные понятия

Система счисления — это набор правил записи чисел посредством конечного набора цифр.

Системы счисления разделяются на:

Основание системы счисления — это количество цифр, используемых в данной системе.

Вес разряда — это отношение количественного эквивалента цифры в данном разряде к количественному эквиваленту такой же цифры в нулевом разряде:

Разряды числа нумеруются справа налево. Младший разряд имеет номер ноль. Разряды дробной части нумеруются отрицательными числами:

Что такое десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это система счисления по целочисленному основанию 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 арабские цифры). Она является позиционной системой счисления и наиболее распространенной.

Ученые утверждают, что использование такой распространенной системы связана с количеством пальцев на руках у человека.

Десятичные цифры используют в двоично-десятичном кодировании в двоичных компьютерах.

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевести целое число с основанием q в десятичное можно с помощью следующего алгоритма:

Также можно переводить дроби с основанием q в десятичную систему счисления. Воспользуемся следующей формулой:

Примеры решения задач

Дано число в двоичной система 10011. Перевести число в десятичную систему счисления.

10011 2 = 1 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 10

Перевести в десятичную систему счисления число 17 из восьмеричной системы.

17 8 = 1 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 = 1 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 8 + 7 = 15 10

Перевести из пятеричной системы счисления число 20341 в десятичную систему.

20341 5 = 2 ∙ 5 4 + 0 ∙ 5 3 + 3 ∙ 5 2 + 4 ∙ 5 1 + 1 ∙ 5 0 = 2 ∙ 625 + 0 ∙ 125 + 3 ∙ 25 + 4 ∙ 5 + 1 ∙ 1 = 1250 + 0 + 75 + 20 + 1 = 1346 10

Число 0,F3D0 из шестнадцатеричной системы счисления перевести в десятичную систему.

Перевести в десятичную систему счисления двоичное число 101,11.

Источник