Что такое десятичная дробь пример
Десятичные дроби
теория по математике 📈 числа и вычисления
Десятичная дробь — дробь, которая представляет собой способ представление числа в виде записи числа с запятой, где цифры перед запятой называются целой частью, а цифры после запятой – дробной частью (десятичной частью).
Десятичные дроби получают из записи обыкновенных дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, десятичные дроби:
4,56 – четыре целых пятьдесят шесть сотых 18,234 – восемнадцать целых двести тридцать четыре тысячных 78,6 – семьдесят восемь целых шесть десятых
Чтение десятичных дробей
Чтение десятичной части (десятых, сотых и так далее) зависит от количества цифр после запятой. Если цифра одна, то читают – десятых (в числе десять — один нуль, это соответствует одной цифре). Если две цифры после запятой, то читают – сотых (в сотне два нуля).
Десятичные дроби получаются из обыкновенных дробей: 
Сложение (вычитание) десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) в столбик две десятичные дроби нужно:
Если складывают (вычитают) целое число и десятичную дробь, то нужно поставить запятую после целого числа и приписать необходимое количество нулей после запятой.
Пример №1. Запись, где запятая под запятой и соответствующий разряд под соответствующим.
34,145 + 5,678 = 39,823
Пример №2. Запись, где также запятая под запятой, а во втором числе дописан нуль, чтобы уравнять количество знаков после запятой.
Пример №3. В первом слагаемом нет десятичной части, поэтому, после числа 56 поставили запятую и добавили нужное количество нулей.
Умножение десятичных дробей
При умножении двух десятичных дробей в столбик необходимо:
Пример №4. Запись выполнена так, что цифры по правому краю записаны ровно одна под одной, то есть как при обычном умножении чисел в столбик. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе справа отделены 4 цифры запятой, так как в первом множителе их 3 после запятой, а во втором – одна, в двух множителях вместе – четыре.
0,125 × 2,3 00375 0250 0,2875
Пример №5. Здесь показано умножение десятичной дроби и целого числа. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе отделена справа запятой только одна цифра, так как только в первом множителе есть десятичная часть с одной цифрой после запятой.
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000…
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей у множителя. Умножение в данном случае выполняется в строчку.
Пример №6. 2,456 × 10 = 24,56 Запятую в десятичной дроби перенесли вправо на 1 цифру, так как у 10 один нуль.
Пример №7. 0,45678 × 100 = 45,678 Запятую перенесли вправо на 2 цифры, так как у 100 два нуля. Нуль, стоящий в начале десятичной дроби, убрали, так как впереди целой части, отличной от нуля он не пишется.
Пример №8. 9,46 × 1000 = 9460 в данном случае при переносе запятой на три цифра не хватило одной, поэтому в конце числа приписали нуль, и в ответе получилось целое число.
Умножение десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001…
При умножении десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001 (и так далее) нужно перенести запятую на столько цифр влево, сколько цифр в данной разрядной единице после запятой. Умножение обычно выполняется в строчку устно.
Пример №9. 983,7821 × 0,01= 9,837821 Переносим запятые влево на 2 цифры, так как в числе 0,01 две цифры после запятой.
Пример №10. 8,7654 × 0,1 = 0,87654 Перенесли на 1 цифру влево, так как в числе 0,1 одна цифра после запятой. В данном случае перед 8 появился нуль, так как при переносе запятой слева цифр не оказалось.
Пример №11. 7,98 × 0,0001 = 0,000798 При переносе влево на 4 цифры не хватило трех, поэтому впереди поставили нули, а также нуль образуется и в целой части.
Деление десятичных дробей
Пример №12. Деление десятичной дроби на целое число. 46,8 : 2 = 23,4 
Пример №13. Деление десятичной дроби на десятичную дробь. 12,096 : 2,24 = 5,4 Из данного примера видно, что деление десятичных дробей обязательно сводится к делению на целое число.
Пример №14. 276,3 : 0,003 = 276300 : 3 = 92100. Здесь видно, что не хватает двух цифр в числе 276,3 и поэтому при переносе запятой к нему приписали два нуля. Затем выполнили деление двух целых чисел.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000…
При делении десятичной дроби на 10,100, 1000 и так далее нужно перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей в данном числе. Деление выполняется в строчку устно.
Пример №16. 134,987 : 1000 = 0,134987 Перенесли запятую на три цифры влево, так как у 1000 три нуля. В целой части поставили нуль, так как цифр не хватило.
Пример №17. 7,234 : 100 = 0,07234 Перенесли запятую влево на две цифры. Так как цифр не хватало, то недостающие заменили нулями.
Деление десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001…
При делении десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001 и так далее нужно перенести запятую на столько цифр вправо, сколько цифр в данной разрядной единице после запятой. Деление обычно выполняется в строчку устно.
Пример №19. 41,234 : 0,01 = 4123,4 Перенос запятой на 2 цифры вправо, так как в числе 0,01 две цифры после запятой.
Пример №20. 56,91 : 0,001 = 56910 При переносе запятой на три цифры вправо приписали один нуль, так как одной цифры не хватило.
Сформируем из чисел ряд от наименьшего из них до наибольшего. Для этого сначала разделим их на положительные и отрицательные. И сразу получим наибольшее в ряду (поскольку оно единственное больше нуля): 0,021.
Три оставшихся отрицательных распределим по их модулям. Известно, что из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Тогда получаем, что –0,304
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.
Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:
Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:
Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:
Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Это задание требует простого умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями.
Сначала выполняем умножение. Умножаем –13 и –9,3 в столбик без учета знаков «–» перед сомножителями. В полученном произведении отделяем одну – последнюю – цифру десятичной запятой:
Знак произведения будет положительным, поскольку умножаются два отрицательных числа. Получаем:
Эту разность можно вычислить в столбик, но можно и устно. Выполним это действие в уме: вычитаем отдельно целые части и десятичные. Получаем:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий, но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично. Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.
Вычислим значение знаменателя:
Можно произвести вычисления в столбик, тогда получим:
Либо перевести дробь к простому виду:
4,5 • 2,5 = 4½ • 2 ½ = 9 / 2 • 5 / 2 = 45 / 4
Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:
9 / ( 45 / 4 ) = ( 9 / 1 ) • ( 4 / 45 ) = ( 9 • 4 ) / (1 • 45 )
9 и 45 можно сократить на 9:
( 9 • 4 ) / (1 • 45 ) = ( 1 • 4 )/ (1 • 5 ) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями
Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.
Что такое десятичная запись дробных чисел
Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.
Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.
Определение десятичных дробей
Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:
Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.
О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.
Как правильно читать десятичные дроби
Что такое разряды в десятичных дробях
Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:
Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.
Что такое конечные десятичные дроби
Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:
Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.
Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби
Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.
Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.
В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.
Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.
Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.
Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.
Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.
К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.
Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.
Основные действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.
Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.
Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.
Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.
Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.
Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.
Положение десятичных дробей на оси координат
Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.
Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.
Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.
Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.
Десятичная дробь
Десятичные дроби: определение, сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение
Десятичная дробь является частным случаем обыкновенных дробей (у которой знаменатель кратен 10).
Определение
Десятичными называют дроби, знаменатели которых представляют собой числа, состоящие из единицы и некоторого количества следующих за нею нулей. То есть это дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. Иначе десятичную дробь можно охарактеризовать как дробь со знаменателем 10 или одной из степеней десятки.
, ,
, 
, 
Десятичная дробь записывается иначе, чем обыкновенная. Операции с этими дробями также отличны от операций с обыкновенными. Правила действий над ними в значительной мере приближены к правилами действий над целыми числами. Этим, в частности, обусловлена их востребованность при решении практических задач.
Представление дроби в десятичной записи
В записи десятичной дроби нет знаменателя, в ней отображено число числителя. В общем виде запись десятичной дроби осуществляется по такой схеме:
где Х – целая часть дроби, Y – ее дробная часть, «,» – десятичная запятая.
Для правильного представления обыкновенной дроби в виде десятичной требуется, чтобы она была правильной, то есть с выделенной целой частью (если это возможно) и числителем, который меньше знаменателя. Тогда в десятичной записи целая часть записывается до десятичной запятой (Х), а числитель обыкновенной дроби – после десятичной запятой (Y).
Если в числителе представлено число с количеством знаков, меньшим, чем количество нулей в знаменателе, то в части Y недостающее количество знаков в десятичной записи заполняется нулями впереди цифр числителя.
Пример:
Если обыкновенная дробь меньше 1, т.е. не имеет целой части, то для Х в десятичном виде записывают 0.
В дробной части (Y), после последнего значимого (отличного от нуля) разряда, может быть вписано произвольное количество нулей. На значение дроби это не влияет. И наоборот: все нули в конце дробной части десятичной дроби можно опустить.
Прочтение десятичных дробей
Часть Х читается в общем случае так: «Х целых».
Часть Y прочитывается в соответствии с числом в знаменателе. Для знаменателя 10 следует читать: «Y десятых», для знаменателя 100: «Y сотых», для знаменателя 1000: «Y тысячных» и так далее… 😉
Более корректным считается другой подход к прочтению, основанный на подсчете количества разрядов дробной части. Для этого нужно понимать, что дробные разряды расположены в зеркальном отражении по отношению к разрядам целой части дроби.
Наименования для правильного прочтения приведены в таблице:
Исходя из этого, прочтение должно опираться на соответствие наименованию разряда последней цифры дробной части.
Перевод произвольной обыкновенной дроби в десятичную
Если в знаменателе обыкновенной дроби стоит 10 или какая-нибудь степень десятки, то перевод дроби выполняется как описано выше. В остальных ситуациях необходимы дополнительные преобразования.
Существует 2 способа перевода.
Первый способ перевода
Числитель и знаменатель необходимо домножить на такое целое число, чтобы в знаменателе было получено число 10 или одна из степеней десятки. А далее дробь представляется в десятичной записи.
Этот способ применим для дробей, знаменатель которых раскладывается только на 2 и 5. Так, в предыдущем примере 
. Если же в разложении присутствуют другие простые множители (например, 
), то придется прибегнуть ко 2-му способу.
Второй способ перевода
2-й способ заключается в делении числителя на знаменатель в
Правило деления в столбик, приводящее в результате к десятичной дроби, описано ниже (см. Деление десятичных дробей).
Перевод десятичной дроби в обыкновенную
Для этого следует ее дробную часть (справа от запятой) записать в виде числителя, а результат прочтения дробной части – в виде соответствующего числа в знаменателе. Далее, если это возможно, нужно сократить полученную дробь.
Конечная и бесконечная десятичная дробь
Конечной называют десятичная дробь, дробная часть которой состоит из конечного количества цифр.
Выше все приведенные примеры содержат именно конечные десятичные дроби. Однако не всякую обыкновенную дробь возможно представить в виде конечной десятичной. Если 1-й способ перевода для данной дроби не применим, а 2-й способ демонстрирует, что деление невозможно завершить, значит, получена может быть только бесконечная десятичная дробь.
В полном виде бесконечную дробь записать невозможно. В неполном же виде такие дроби можно представить:
Периодической называется дробь, у которой после запятой можно выделить повторяющуюся бесконечно последовательность цифр.
Остальные дроби называются непериодическими. Для непериодических дробей допустим только 1-й способ представления (округление).
Пример периодической дроби: 0,8888888… Здесь налицо повторяющаяся цифра 8, которая, очевидно, будет повторяться до бесконечности, поскольку нет оснований предполагать иное. Эта цифра называется периодом дроби.
Периодические дроби бывают чистыми и смешанными. Чистой является десятичная дробь, у которой период начинается непосредственно после запятой. У смешанной дроби до периода после запятой имеется 1 или больше цифр.
54,33333… – периодическая чистая десят.дробь
2,5621212121… – периодическая смешанная дробь
Примеры записи бесконечных десятичных дробей:
Во 2-м примере показано, как правильно оформлять период в записи периодической дроби.
Перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные
Для перевода чистой периодической дроби в обыкновенную ее период записывают в числитель, а в знаменатель пишут число, состоящее из девяток в количестве, равном количеству цифр в периоде.
Смешанная периодическая десятичная дробь переводится следующим образом:
Сравнение десятичных дробей
Десятичные дроби сравнивают первоначально по их целым частям. Больше та дробь, у которой больше ее целая часть.
Если целые части одинаковы, то сравнивают цифры соответствующих разрядов дробной части, начиная с первого (с десятых). Здесь действует тот же принцип: больше та из дробей, у которой больше разряд десятых; при равенстве цифр разряда десятых сравнивают разряды сотых и так далее.
, поскольку 
, поскольку при равных целых частях и равных десятых в дробной части у 2-й дроби больше цифра сотых.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Десятичные дроби складывают и вычитают так же, как и целые числа, записав соответствующие цифры друг под другом. Для этого нужно, чтобы друг под другом находились десятичные запятые. Тогда единицы (десятки и т.д.) целой части, а также десятые (сотые и т.д.) дробной окажутся в соответствии. Недостающие разряды дробной части заполняют нулями. Непосредственно процесс сложения и вычитания осуществляется так же, как и для целых чисел.
Примеры: 
Умножение десятичных дробей
Для умножения десятичных дробей нужно записать их друг под другом, выровняв по последней цифре и не обращая внимания на местоположение десятичных запятых. Затем нужно перемножить числа так же, как и при умножении целых чисел. После получения результата следует пересчитать количество цифр после запятой в обоих дробях и отделить запятой в результирующем числе суммарное количество дробных разрядов. Если разрядов не хватает, то они заменяются нулями.
Умножение и деление десятичных дробей на 10 n
Примеры: 
Деление десятичной дроби и целого числа на целое число и на десятичную дробь
Деление в столбик десятичной дроби на целое число выполняется аналогично делению двух целых чисел. Дополнительно требуется только учет положения десятичной запятой: при сносе цифры разряда, за которым следует запятая, необходимо поставить запятую после текущей цифры формируемого ответа. Далее нужно продолжать делить до получения нуля. Если знаков в делимом для полного деления недостает, в их качестве следует использовать нули.
Аналогично делятся в столбик 2 целых числа, если снесены все цифры делимого, а полное деление еще не завершено. В этом случае после сноса последней цифры делимого ставится десят.запятая в формирующемся ответе, а в качестве сносимых цифр используют нули. Т.е. делимое здесь, по сути, представляют как десятичную дробь с нулевой дробной частью.
Пример: 
Графическое представление десятичных дробей
Графически десятичные дроби изображаются посредством координатной прямой. Для этого единичные отрезки делят дополнительно на 10 равных долей подобно тому, как на линейке откладываются одновременно сантиметры и миллиметры. Это обеспечивает точное отображение десятичных дробей и возможность объективного их сравнения.
Чтобы дольные деления на единичных отрезках были одинаковыми, следует тщательно продумывать длину самого единичного отрезка. Она должна быть такой, чтобы можно было обеспечить удобство дополнительного деления.