Что такое десятичная дробь определение

Десятичные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

Обучение на курсах по математике — отличный способ закрепить полученные знания на практике и подтянуть сложные темы.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:

Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

Источник

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Десятичная запись дробного числа

Дробное число можно представить в виде десятичной записи дробного числа.

Определение десятичной дроби

Чтение десятичных дробей

Готовые работы на аналогичную тему

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции. Т.е. в десятичных дробях также имеет место понятие разряда.

Разряды в десятичных дробях до десятичной запятой называются так же, как и разряды в натуральных числах. Разряды в десятичных дробях после запятой вынесены в таблицу:

Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.

Конечные десятичные дроби

Конечными десятичными дробями называют десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь

Перед переводом некоторых правильных обыкновенных дробей в десятичные их нужно предварительно «подготовить». Результатом такой подготовки должно быть одинаковое количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе.

после него поставить десятичную запятую;

записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).

Решение.

Решение.

записать число из числителя;

отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Решение.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 02 06 2021

Источник

Понятие десятичной дроби

В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляет десятичная дробь, как она пишется и читается, какой обыкновенной дроби соответствует и в чем заключается ее основное свойство. К теоретическому материалу прилагаются примеры для лучшего понимания.

Определение десятичной дроби

Десятичная дробь – это особый вид записи обыкновенной дроби, знаменатель которой равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Такие дроби вместо привычного варианта написания ( с числителем, знаменателем и черточкой-разделителем), принято записывать так: 0,3 ; 2,6 ; 5,62 ; 7,238 и т.д.

Десятичные дроби бывают двух типов:

Запись десятичной дроби

Десятичная дробь состоит из целой и дробной частей, между которыми находится десятичный разделитель – в виде запятой или точки.

Соответствие десятичной дроби обыкновенной:

Примеры:

, т.к. после запятой одна цифра.

, т.к. после запятой одна цифра.

, т.к. после запятой две цифры.

, т.к. после запятой три цифры.

Примечание: Если в десятичной дроби сразу после запятой идут нули и затем только цифры, то в виде обыкновенной дроби это выглядит так: числитель – только цифры без нулей, знаменатель – единица и количество нулей, соответствующее количеству цифр после запятой.

Например:

Чтение десятичной дроби

Читается десятичная дробь следующим образом: сначала произносится целая часть с добавление слова “целых”, затем дробная – с указанием разряда, который зависит от количества цифр после запятой:

Например:

Основное свойство десятичной дроби

Величина десятичной дроби не изменится, если справа к ней добавить любое количество нулей. Т.е. если такие нули встречаются, их можно просто отбросить (только те нули, которые расположены справа от цифр в дробной части).

Например:

Источник

Десятичные дроби

Из множества дробей, встречающихся в арифметике, отдельного внимания заслуживают такие, у которых в знаменателе стоит 10, 100, 1000 — в общем, любая степень десятки. У этих дробей есть специальное название и форма записи.

— это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Примеры десятичных дробей:

Зачем вообще потребовалось выделять такие дроби? Почему для них нужна собственная форма записи? На то есть как минимум три причины:

Большинство калькуляторов также дают ответы именно в десятичных дробях. В некоторых случаях другой формат записи может привести к проблемам. Например, что, если потребовать в магазине сдачу в размере

Правила записи десятичных дробей

Основное преимущество десятичных дробей — удобная и наглядная запись. А именно:

Например, 0,3 (читается: «ноль целых, 3 десятых»); 7,25 (7 целых, 25 сотых); 3,049 (3 целых, 49 тысячных). Все примеры взяты из предыдущего определения.

На письме в качестве десятичной точки обычно используется запятая. Здесь и далее на всем сайте тоже будет использоваться именно запятая.

Чтобы записать произвольную десятичную дробь в указанной форме, надо выполнить три простых шага:

Бывает, что на втором шаге у числителя не хватает цифр для завершения сдвига. В этом случае недостающие позиции заполняются нулями. Да и вообще, слева от любого числа можно без ущерба для здоровья приписывать любое количество нулей. Это некрасиво, но иногда полезно.

На первый взгляд, данный алгоритм может показаться довольно сложным. На самом деле все очень и очень просто — надо лишь немного потренироваться. Взгляните на примеры:

Задача. Для каждой дроби укажите ее десятичную запись:

Числитель первой дроби: 73. Сдвигаем десятичную точку на один знак (т.к. в знаменателе стоит 10) — получаем 7,3.

Числитель второй дроби: 9. Сдвигаем десятичную точку на два знака (т.к. в знаменателе стоит 100) — получаем 0,09. Пришлось дописать один ноль после десятичной точки и еще один — перед ней, чтобы не оставлять странную запись вида «,09».

Числитель третьей дроби: 10029. Сдвигаем десятичную точку на три знака (т.к. в знаменателе стоит 1000) — получим 10,029.

Числитель последней дроби: 10500. Снова сдвигаем точку на три знака — получим 10,500. В конце числа образовались лишние нули. Зачеркиваем их — получаем 10,5.

Обратите внимание на два последних примера: числа 10,029 и 10,5. Согласно правилам, нули справа надо зачеркнуть, как это сделано в последнем примере. Однако ни в коем случае нельзя поступать так с нулями, стоящими внутри числа (которые окружены другими цифрами). Именно поэтому мы получили 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.

Итак, с определением и формой записи десятичных дробей разобрались. Теперь выясним, как переводить обычные дроби в десятичные — и наоборот.

Переход от обычных дробей к десятичным

Существуют знаменатели, которые не приводятся к степени десятки. Учитесь распознавать такие дроби, потому что с ними нельзя работать по алгоритму, описанному ниже.

Вот такие дела. Ну и как понять, приводится знаменатель к степени десятки или нет?

Ответ прост: разложите знаменатель на простые множители. Если в разложении присутствуют только множители 2 и 5, это число можно привести к степени десятки. Если найдутся другие числа (3, 7, 11 — что угодно), о степени десятки можно забыть.

Задача. Проверить, можно ли представить указанные дроби в виде десятичных:

Выпишем и разложим на множители знаменатели этих дробей:

Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.

Дробь не представима в виде десятичной.

Все в порядке: кроме чисел 2 и 5 ничего нет. Дробь представима в виде десятичной.

Снова «всплыл» множитель 3. Представить в виде десятичной дроби нельзя.

Итак, со знаменателем разобрались — теперь рассмотрим весь алгоритм перехода к десятичным дробям:

Разумеется, дополнительный множитель тоже будет разлагаться только на двойки и пятерки. При этом, чтобы не усложнять себе жизнь, следует выбирать наименьший такой множитель из всех возможных.

И еще: если в исходной дроби присутствует целая часть, обязательно переведите эту дробь в неправильную — и только затем применяйте описанный алгоритм.

Задача. Перевести данные числовые дроби в десятичные:

Разложим на множители знаменатель первой дроби: Следовательно, дробь представима в виде десятичной. В разложении присутствуют две двойки и ни одной пятерки, поэтому дополнительный множитель равен С ним количество двоек и пятерок сравняется. Имеем:

Теперь разберемся со второй дробью. Для этого заметим, что в разложении присутствует тройка, поэтому дробь не представима в виде десятичной.

Две последних дроби имеют знаменатели 5 (простое число) соответственно — везде присутствуют только двойки и пятерки. При этом в первом случае «для полного счастья» не хватает множителя 2, а во втором — 5. Получаем:

Переход от десятичных дробей к обычным

Обратное преобразование — от десятичной формы записи к обычной — выполняется намного проще. Здесь нет ограничений и специальных проверок, поэтому перевести десятичную дробь в классическую «двухэтажную» можно всегда.

Алгоритм перевода следующий:

Задача. Перевести десятичные дроби в обычные:

Зачеркнем нули слева и запятые — получим следующие числа (это будут числители):

В первой и во второй дробях после запятой стоит по 3 знака, во второй — 2, а в третьей — целых 4 знака. Получим знаменатели:

Наконец, объединим числители и знаменатели в обычные дроби:

Как видно из примеров, полученную дробь очень часто можно сократить. Еще раз отмечу, что любая десятичная дробь представима в виде обычной. Обратное преобразование можно выполнить не всегда.

Источник

Десятичные дроби — для чайников

Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.

Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.

Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.

Десятичные дроби — коротко о главном

1. Определение

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени.

2. Конечная и бесконечная десятичная дробь

Десятичная дробь может быть:

3. Свойства десятичных дробей

4. Сложение десятичных дробей

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.

5. Вычитание десятичных дробей

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:

6. Умножение десятичных дробей

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

7. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число

Деление десятичных дробей друг на друга

Десятичные дроби — подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, \( \displaystyle \frac<1><3>,\ \frac<1><4>,\frac<5><112>\).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби \( \displaystyle \frac<8><10>,\ \frac<13><100>,\frac<49><1000>\) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

А теперь прочитаем все вместе – «\( 46\) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат \( 10\) на \( 10\) и закрась какую-нибудь его часть равную:

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат \( 10\) на \( 10\) состоит из \( 100\) клеточек. Соответственно, \( 0.05\) – \( 5\) клеточек из \( 100\); \( 0,4\) – \( 40\) клеточек из \( 100\) и так далее.

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

Виды десятичных дробей

Десятичная дробь может быть:

Поговорим сначала о конечных дробях.

Конечная десятичная дробь

Само собой понятно, что дроби \( \displaystyle \frac<8><10>,\ \frac<13><100>,\frac<49><1000>\) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: \( \displaystyle \frac<1><4>\)? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:

То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и так далее.

Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

Сравним наши ответы:

Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.

Бесконечная десятичная дробь

Итак, бери калькулятор и дели \( 1\) на \( 17\). Поделил? Ты получил \( 0,05882352941\) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).

Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к \( <<10>^>\), с учетом, что \( n\) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – \( n\to +\infty \)

Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.

Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как \( \displaystyle \frac<1><17>\).

Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число \( \pi \) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что \( \pi =3,14\), но это далеко не так. Число \( \pi \) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа \( \pi \). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа \( \pi \) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:

Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.

Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь \( \displaystyle \frac<1><3>\). Что у тебя получилось?

Чтобы не повторять число \( 3\) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:

Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.

Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:

\( \displaystyle \frac<1><3>=0,\underbrace<3>_<период>33333333….=0,\left( 3 \right)\)

\( \displaystyle \frac<1><7>=0,\underbrace<142857>_<<период>>\underbrace<142857>_<период>142…=0,\left( 142857 \right)\)

Важно, что период не может начинаться слева от запятой:

\( \displaystyle \frac<100><7>=\underbrace<14,2857>_<не период>1428571428571…=14,\left( 285714 \right)\).

Источник