Что такое биссектриса равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Содержание:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
Признаки равнобедренного треугольника
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
Формулы длины стороны (основания — b):
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):
Биссектриса равнобедренного треугольника
Всего получено оценок: 151.
Всего получено оценок: 151.
Биссектриса равнобедренного треугольника обладает особенным свойством, которое определяет стиль решения задач на нахождение элементов равнобедренного треугольника. Чтобы лучше понять смысл решения подобных задач, поговорим о биссектрисе равнобедренного треугольника.
Определения
Равнобедренный треугольник – это треугольник, две стороны которого равны между собой. Третья сторона зовется основанием, углы при основании равны.
Биссектриса треугольника – это отрезок, который делить угол треугольника на две равные части. Каждая точка биссектрисы равноудалена от каждой из сторон треугольника, т.е. если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла, то эти перпендикуляры окажутся равны между собой. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и зовется инцентром треугольника.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник уникален равенством двух сторон и двух углов. Именно этим обеспечивается основное свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой.
В равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой. Две другие биссектрисы будут отличатся от соответствующих медиан и высот, проведенным к этим же сторонам. Это стоит запомнить раз и навсегда, чтобы не допускать нелепых ошибок.
При решении задач, нужно понимать, что это свойство можно применять не только в равнобедренном, но и в равностороннем треугольнике.
Ведь, если выбрать любую из сторон равностороннего треугольника и принять ее за основание, то две другие стороны будут равны, а, значит, равносторонний треугольник может считаться равнобедренным треугольником, у которого любая сторона может выступать в роли основания.
А раз любую сторону можно принимать за основание, то и каждая биссектриса будет совпадать с каждой соответствующей медианой и высотой. Ведь каждая биссектриса будет проведена к стороне, которую можно считать основанием.
Именно на этом свойстве основано равенство двух треугольников, которые получаются в равнобедренном треугольнике в результате проведения биссектрисы. Ведь в таких треугольниках одна сторона, та самая биссектриса, будет общей.
Рис. 3. Равнобедренный тупоугольный треугольник
Биссектриса совпадает с высотой, а, значит, два малых треугольника будут прямоугольными, а биссектриса дает два равных угла. То есть, два треугольника будут равны по катету и прилежащему острому углу, что соответствует одному из признаков равенства прямоугольных треугольников.
Использование двух малых треугольников часто встречается на практике. Например, если известны основание треугольника и его боковая сторона, а нужно найти биссектрису, сделать это можно гораздо проще, нежели в других треугольниках.
Биссектриса совпадает с медианой и высотой, а, значит, станет катетом малого прямоугольного треугольника, тогда значение биссектрисы можно найти как значение катета через теорему Пифагора.
Что мы узнали?
Мы вспомнили, что такое равнобедренный треугольник. Поговорили о свойствах биссектрисы равнобедренного треугольника, отдельно выделили свойства биссектрис равностороннего треугольника. Отметили наиболее применяемый и простой способ нахождения биссектрисы равнобедренного треугольника.
Биссектриса угла
Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы угла треугольников и других фигур.
Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек…
Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ЕГЭ!
Биссектриса угла — коротко о главном
Биссектриса угла — это линия, делящая угол пополам.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Теорема 1. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
Теорема 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
Теорема 4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
Теорема 5. Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.
Теорема 6. Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.
А теперь подробнее…
Определение биссектрисы угла
Помнишь шутку: «Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»?
Так вот, настоящее определение биссектрисы угла очень похоже на эту шутку — биссектриса действительно делит пополам угол (а не отрезок, например):
Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам.
Или еще вот такое определение биссектрисы:
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.
А вот определение биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.
Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:
Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Мы скоро докажем обе этих теоремы, а пока твердо запомни:
Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!
Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?
А вот представь, что у тебя задача:
Дано: \( AB=5,
Найти: \( \displaystyle BC. \)
Ты тут же соображаешь, \(\displaystyle BD \) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону \( \displaystyle AC \) пополам! (по условию…).
Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.
Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!
Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике
Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?
Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)
И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.
Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).
\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.
А вот что такое \( \angle 3=\angle 4 \)?
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Будет немного сложнее, но пока мы отвлечемся на термины — повторим что такое биссектриса, медиана и высота, чем они похожи и чем они отличаются.
Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия
Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Чем они отличаются друг от друга?
Если нет, не страшно. Сейчас разберемся.
Чем биссектриса, медиана и высота похожи между собой?
Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.
Чем биссектриса, медиана и высота отличаются между собой?
Вернемся к нашим баранам — к свойствам биссектрисы…
Угол между биссектрисами любого треугольника
B \( \triangle ABC \)проведем две биссектрисы \( AO \)и \( OC \).
Они пересеклись. Какой же угол получился у точки \( O \)?
Применим этот потрясающий факт. С одной стороны, из \( \triangle ABC \):
\( \angle A+\angle B+\angle C=180<>^\circ \), то есть \( \angle B=180<>^\circ \text< >-\text< >\left( \angle A+\angle C \right) \).
Теперь посмотрим на \( \triangle AOC \):
\( \angle 2+\angle 6+\angle 3=180<>^\circ \)
Но биссектрисы, биссектрисы же!
Значит \( \left( \triangle AOC \right) \)
Теперь через буквы
Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!
Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?
Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.
Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.
Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
Свойство 1
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.
Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.
Свойство 3
Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:
Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора ( l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).
Свойство 4
Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.
Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.
Пример задачи
Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.
Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).
Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.
Биссектрисы равнобедренного треугольника
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.
AN и BM — биссектрисы.
Рассмотрим треугольники ACN и BCM
(не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).
1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))
3) ∠ CAN= ∠ CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного треугольника)
Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.
Что и требовалось доказать.
Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).
Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).
Отсюда вытекает, что
Биссектрисы, проведенные из равных углов треугольника, равны.
Биссектрисы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.
(Вместо пары треугольников ACN и BCM можно было рассмотреть треугольники ABM и BAN.
1) AB — общая сторона
2) ∠ MAB= ∠ NBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)
3) ∠ ABM= ∠ BAN (как углы, образованные биссектрисами равных углов).
Следовательно, треугольники ACN и BCM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам).
II. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, пропорциональные боковой стороне и основанию.