Что такое базовая структура
Базовые структуры алгоритмов
Логическая структура любого алгоритма может быть представлена комбинацией трех базовых структур: следование, ветвление и цикл.
Характерной особенностью базовых структур является наличие в них одного входа и одного выхода.
Базовая структура «следование»
Образуется последовательностью действий, следующих одно за другим:
В линейном вычислительном процессе все операции выполняются последовательно в порядке их записи. Типовым примером такого процесса является стандартная вычислительная схема, состоящая из трех этапов:
q ввод исходных данных;
q вычисление по формулам;
q вывод результата.
Базовая структура «ветвление»
Обеспечивает в зависимости от результата проверки условия (да или нет) выбор одного из альтернативных путей работы алгоритма. Каждый из путей ведет к общему выходу, так что работа алгоритма будет продолжаться независимо от того, какой путь будет выбран. Структура ветвление существует в четырех основных вариантах:
| Запись псевдокодом | Графическое изображение |
| 1. Если-то | |
| если условието действия все |  |
| 2. Если-то-иначе | |
| если условие то действия 1 иначе действия 2 все |  |
| 3. Выбор | |
| выбор при условие 1: действия 1 при условие 2: действия 2. при условие N: действия N все |  |
| 4. Выбор-иначе | |
| выбор при условие 1: действия 1 при условие 2: действия 2. при условие N: действия N иначедействия N+1 все |  |
Базовая структура «цикл»
Обеспечивает многократное выполнение некоторой совокупности действий, называемых телом цикла. Управление повторением цикла осуществляется с помощью переменной, называемой параметром цикла. Сначала этому параметру присваивается некоторое начальное значение, затем цикл выполняется с изменением параметра при каждом повторении от начального к конечному значению на величину, называемую шагом цикла.
Шаг цикла может быть положительным или отрицательным. В зависимости от этого параметр цикла возрастает или уменьшается. Цикл прекращается, если параметр цикла принимает значение, которое лежит вне границ диапазона между начальным и конечным значениями.
Различают три вида циклов:
Циклы с предусловием и постусловием используются тогда, когда предварительно неизвестное количество повторений.
В цикле с предусловием сначала проверяется условие и, если оно выполняется, то осуществляются действия, указанные в теле цикла. Выполнение цикла прекращается, когда условие не выполняется. Для этого необходимо, чтоб действия в теле цикла влияли на изменение условия. В противном случае наступит «зацикливание» — бесконечное выполнение цикла. Оно является типовой ошибкой в случае использования циклов.
| Запись псевдокодом | Графическое изображение |
| 1. Цикл с предусловием (Цикл-Пока). Предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока выполняется условие, записанное после слова «пока». | |
| нц пока условие тело цикла (последовательность действий) кц |  |
| 2. Цикл с постусловием (Цикл-До). Предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока не выполняется условие, записанное после слова «до». | |
| нц повторять тело цикла (последовательность действий) до условие Кц |  |
| 3. Цикл с параметром (Цикл-Для). Предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной (параметра цикла) в заданном диапазоне | |
| нц для i от i1до i2 шаг i3 тело цикла (последовательность действий) кц |  |
Цикл с постусловием выполняется аналогично, но условие проверяется после выполнения действий в теле цикла. Повторение действий тела цикла происходит тогда, когда условие не выполняется.
Действия в теле цикла с постусловием выполняются всегда хотя бы один раз, а с предусловием могут не выполняться ни одного раза, если в самом начале условие не выполняется.
В цикле с параметром последовательно выполняются следующие типовые операции:
1. Задание начального значения используемого параметра цикла (например, если переменной цикла является i, то ей присваивается значение i1, т.е. i:=i1).
2. Выполнение действий, предусмотренных в теле цикла.
3. Изменение параметра цикла, который обеспечивает вычисление результата с новыми начальными данными (например, если параметр цикла i изменяется с шагом i3, i:=i+ i3) и переход к следующему шагу.
4. Проверка текущего значения параметра цикла с заданным конечным значением (i
7.9. Что такое базовые алгоритмические структуры?
Алгоритмы можно представлять как некоторые структуры, состоящие из отдельных базовых (т.е. основных) элементов. Естественно, что при таком подходе к алгоритмам изучение основных принципов их конструирования должно начинаться с изучения этих базовых элементов. Для их описания будем использовать язык схем алгоритмов и школьный алгоритмический язык.
| Логическая структура любого алгоритма может быть представлена комбинацией трех базовых структур: следование, ветвление, цикл. |
Характерной особенностью базовых структур является наличие в них одного входа и одного выхода.
Структура ветвление существует в четырех основных вариантах:
Примеры команды если
| Школьный алгоритмический язык | Язык блок-схем |
| если x > 0 то y := sin(x) все |  |
| если a > b то a := 2*a; b := 1 иначе b := 2*b все | |
| выбор при n = 1: y := sin(x) при n = 2: y := cos(x) при n = 3: y := 0 все | |
| выбор при a > 5: i := i+1 при a = 0: j := j+1 иначе i := 10; j:=0 все | |
3. Базовая структура цикл . Обеспечивает многократное выполнение некоторой совокупности действий, которая называется телом цикла. Основные разновидности циклов представлены в таблице:
| Школьный алгоритмический язык | Язык блок-схем |
| Цикл типа пока. Предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока выполняется условие, записанное после слова пока. | |
| нц пока условие тело цикла (последовательность действий) кц | |
| Цикл типа для. Предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной (параметра цикла) в заданном диапазоне. | |
| нц для i от i1 до i2 тело цикла (последовательность действий) кц | |
Примеры команд пока и для
Важнейшие структуры данных, которые вам следует знать к своему собеседованию по программированию
Никлаус Вирт, швейцарский ученый-информатик, в 1976 году написал книгу под названием «Алгоритмы + Структуры данных = Программы».
Через 40 с лишним лет это тождество остается в силе. Вот почему соискатели, желающие стать программистами, должны продемонстрировать, что знают структуры данных и умеют их применять.
Практически во всех задачах от кандидата требуется глубокое понимание структур данных. При этом не столь важно, выпускник ли вы (закончили университет или курсы программирования), либо у вас за плечами десятки лет опыта.
Иногда в вопросах на интервью прямо упоминается та или иная структура данных, например, «дано двоичное дерево». В других случаях задача формулируется более завуалированно, например, «нужно отследить, сколько у нас книг от каждого автора».
Изучение структур данных — незаменимое дело, даже если вы просто стараетесь профессионально совершенствоваться на нынешней работе. Начнем с основ.
Переведено в Alconost
Что такое структура данных?
Если коротко, структура данных — это контейнер, информация в котором скомпонована характерным образом. Благодаря такой «компоновке», структура данных будет эффективна в одних операциях и неэффективна — в других. Наша цель — разобраться в структурах данных таким образом, чтобы вы могли выбрать из них наиболее подходящую для решения конкретной стоящей перед вами задачи.
Зачем нужны структуры данных?
Поскольку структуры данных используются для хранения информации в упорядоченном виде, а данные — самый важный феномен в информатике, истинная ценность структур данных очевидна.
Не важно, какую именно задачу вы решаете, так или иначе вам придется иметь дело с данными, будь то зарплата сотрудника, биржевые котировки, список продуктов для похода в магазин или обычный телефонный справочник.
В зависимости от конкретного сценария, данные нужно хранить в подходящем формате. У нас в распоряжении — ряд структур данных, обеспечивающих нас такими различными форматами.
Наиболее распространенные структуры данных
Сначала давайте перечислим наиболее распространенные структуры данных, а затем разберем каждую по очереди:
Массивы
Массив — это простейшая и наиболее распространенная структура данных. Другие структуры данных, например, стеки и очереди, производны от массивов.
Здесь показан простой массив размером 4, содержащий элементы (1, 2, 3 и 4).
Каждому элементу данных присваивается положительное числовое значение, именуемое индексом и соответствующее положению этого элемента в массиве. В большинстве языков программирования элементы в массиве нумеруются с 0.
Существуют массивы двух типов:
Простейшие операции с массивами
Вопросы по массивам, часто задаваемые на собеседованиях
Стеки
Всем известна знаменитая опция «Отмена», предусмотренная почти во всех приложениях. Задумывались когда-нибудь, как она работает? Смысл такой: в программе сохраняются предшествующие состояния вашей работы (количество сохраняемых состояний ограничено), причем, они располагаются в памяти в таком порядке: последний сохраненный элемент идет первым. Одними массивами такую задачу не решить. Именно здесь нам пригодится стек.
Стек можно сравнить с высокой стопкой книг. Если вам нужна какая-то книга, лежащая около центра стопки, вам сначала придется снять все книги, лежащие выше. Именно так работает принцип LIFO (Последним пришел — первым вышел).
Так выглядит стек, содержащий три элемента данных (1, 2 и 3), где 3 находится сверху — поэтому будет убран первым:
Простейшие операции со стеком:
Вопросы о стеке, часто задаваемые на собеседованиях
Очереди
Очередь, как и стек — это линейная структура данных, элементы в которой хранятся в последовательном порядке. Единственное существенное отличие между стеком и очередью заключается в том, что в очереди вместо LIFO действует принцип FIFO (Первым пришел — первым вышел).
Идеальный реалистичный пример очереди — это и есть очередь покупателей в билетную кассу. Новый покупатель становится в самый хвост очереди, а не в начало. Тот же, кто стоит в очереди первым, первым приобретет билет и первым ее покинет.
Вот изображение очереди с четырьмя элементами данных (1, 2, 3 и 4), где 1 идет первым и первым же покинет очередь:
Простейшие операции с очередью
Вопросы об очередях, часто задаваемые на собеседованиях
Связный список
Связный список — еще одна важная линейная структура данных, на первый взгляд напоминающая массив. Однако, связный список отличается от массива по выделению памяти, внутренней структуре и по тому, как в нем выполняются базовые операции вставки и удаления.
Связный список напоминает цепочку узлов, в каждом из которых содержится информация: например, данные и указатель на следующий узел в цепочке. Есть головной указатель, соответствующий первому элементу в связном списке, и, если список пуст, то он направлен просто на null (ничто).
При помощи связных списков реализуются файловые системы, хеш-таблицы и списки смежности.
Вот так можно наглядно изобразить внутреннюю структуру связного списка:
Существуют такие типы связных списков:
Простейшие операции со связными списками:
Вопросы о связных списках, часто задаваемые на собеседованиях:
Графы
Граф — это множество узлов, соединенных друг с другом в виде сети. Узлы также называются вершинами. Пара (x,y) называется ребром, это означает, что вершина x соединена с вершиной y. Ребро может иметь вес/стоимость — показатель, характеризующий, насколько затратен переход от вершины x к вершине y.
Вопросы о графах, часто задаваемые на собеседованиях:
Деревья
Дерево — это иерархическая структура данных, состоящая из вершин (узлов) и ребер, которые их соединяют. Деревья подобны графам, однако, ключевое отличие дерева от графа таково: в дереве не бывает циклов.
Деревья широко используются в области искусственного интеллекта и в сложных алгоритмах, выступая в качестве эффективного хранилища информации при решении задач.
Вот схема простого дерева и базовая терминология, связанная с этой структурой данных:
Существуют деревья следующих типов:
Вопросы о деревьях, часто задаваемые на собеседованиях:
Найдите высоту двоичного дерева
Найдите k-ное максимальное значение в двоичном дереве поиска
Найдите узлы, расположенные на расстоянии “k” от корня
Найдите предков заданного узла в двоичном дереве
Бор, также именуемый «префиксное дерево» — это древовидная структура данных, которая особенно эффективна при решении задач на строки. Она обеспечивает быстрое извлечение данных и чаще всего применяется для поиска слов в словаре, автозавершений в поисковике и даже для IP-маршрутизации.
Вот как три слова «top» (верх), «thus» (следовательно), and «their» (их) хранятся в бору:
Слова располагаются в направлении сверху вниз, и зеленые узлы «p», «s» и «r» завершают, соответственно, слова «top», «thus» и «their».
Вопросы о борах, часто задаваемые на собеседованиях:
Хеш-таблица
Хеширование — это процесс, применяемый для уникальной идентификации объектов и сохранения каждого объекта по заранее вычисленному индексу, именуемому его «ключом». Таким образом, объект хранится в виде «ключ-значение», а коллекция таких объектов называется «словарь». Каждый объект можно искать по его ключу. Существуют разные структуры данных, построенные по принципу хеширования, но чаще всего из таких структур применяется хеш-таблица.
Как правило, хеш-таблицы реализуются при помощи массивов.
Производительность хеширующей структуры данных зависит от следующих трех факторов:
Вопросы о хешировании, часто задаваемые на собеседованиях:
Удачи и интересного обучения! 🙂
Перевод статьи выполнен в Alconost.
Alconost занимается локализацией игр, приложений и сайтов на 68 языков. Переводчики-носители языка, лингвистическое тестирование, облачная платформа с API, непрерывная локализация, менеджеры проектов 24/7, любые форматы строковых ресурсов.
Мы также делаем рекламные и обучающие видеоролики — для сайтов, продающие, имиджевые, рекламные, обучающие, тизеры, эксплейнеры, трейлеры для Google Play и App Store.
Глава 7. Алгоритмы. Алгоритмизация. Алгоритмические языки
7.1. Что такое алгоритм?
| Алгоpитм точное и понятное пpедписание исполнителю совеpшить последовательность действий, направленных на решение поставленной задачи. |
Название «алгоритм» произошло от латинской формы имени среднеазиатского математика аль-Хорезми Algorithmi. Алгоритм одно из основных понятий информатики и математики.
7.2. Что такое «Исполнитель алгоритма»?
| Исполнитель алгоритма это некоторая абстрактная или реальная (техническая, биологическая или биотехническая) система, способная выполнить действия, предписываемые алгоритмом. |
Отказы исполнителя возникают, если команда вызывается пpи недопустимом для нее состоянии сpеды.
| Обычно исполнитель ничего не знает о цели алгоpитма. Он выполняет все полученные команды, не задавая вопросов «почему» и «зачем». |
7.3. Какими свойствами обладают алгоpитмы?
Основные свойства алгоритмов следующие:
Понятность для исполнителя т.е. исполнитель алгоритма должен знать, как его выполнять.
Дискpетность (прерывность, раздельность) т.е. алгоpитм должен пpедставлять пpоцесс pешения задачи как последовательное выполнение пpостых (или pанее опpеделенных) шагов (этапов).
Опpеделенность т.е. каждое пpавило алгоpитма должно быть четким, однозначным и не оставлять места для пpоизвола. Благодаpя этому свойству выполнение алгоpитма носит механический хаpактеp и не тpебует никаких дополнительных указаний или сведений о pешаемой задаче.
Pезультативность (или конечность). Это свойство состоит в том, что алгоpитм должен пpиводить к pешению задачи за конечное число шагов.
7.4. В какой форме записываются алгоритмы?
7.5. Что такое словесный способ записи алгоритмов?
| Словесный способ записи алгоритмов представляет собой описание последовательных этапов обработки данных. Алгоритм задается в произвольном изложении на естественном языке. |
Например. Записать алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.
Описанный алгоритм применим к любым натуральным числам и должен приводить к решению поставленной задачи. Убедитесь в этом самостоятельно, определив с помощью этого алгоритма наибольший общий делитель чисел 125 и 75.
7.6. Что такое графический способ записи алгоритмов?
Графический способ представления алгоритмов является более компактным и наглядным по сравнению со словесным.
| При графическом представлении алгоритм изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков, каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий. |
В таблице 7.1 приведены наиболее часто употребляемые символы.
| Название символа | Обозначение и пример заполнения | Пояснение |
| Процесс | Вычислительное действие или последовательность действий | |
| Решение | Проверка условий | |
| Модификация | Начало цикла | |
| Предопределенный процесс | Вычисления по подпрограмме, стандартной подпрограмме | |
| Ввод-вывод | Ввод-вывод в общем виде | |
| Пуск-останов | Начало, конец алгоритма, вход и выход в подпрограмму | |
| Документ | Вывод результатов на печать |
Блок «процесс» применяется для обозначения действия или последовательности действий, изменяющих значение, форму представления или размещения данных. Для улучшения наглядности схемы несколько отдельных блоков обработки можно объединять в один блок. Представление отдельных операций достаточно свободно.
Блок «решение» используется для обозначения переходов управления по условию. В каждом блоке «решение» должны быть указаны вопрос, условие или сравнение, которые он определяет.
Блок «модификация» используется для организации циклических конструкций. (Слово модификация означает видоизменение, преобразование). Внутри блока записывается параметр цикла, для которого указываются его начальное значение, граничное условие и шаг изменения значения параметра для каждого повторения.
Блок «предопределенный процесс» используется для указания обращений к вспомогательным алгоритмам, существующим автономно в виде некоторых самостоятельных модулей, и для обращений к библиотечным подпрограммам.
7.7. Что такое псевдокод?
| Псевдокод представляет собой систему обозначений и правил, предназначенную для единообразной записи алгоритмов. |
Он занимает промежуточное место между естественным и формальным языками.
С одной стороны, он близок к обычному естественному языку, поэтому алгоритмы могут на нем записываться и читаться как обычный текст. С другой строны, в псевдокоде используются некоторые формальные конструкции и математическая символика, что приближает запись алгоритма к общепринятой математической записи.
Примером псевдокода является школьный алгоритмический язык в русской нотации (школьный АЯ), описанный в учебнике А.Г. Кушниренко и др. «Основы информатики и вычислительной техники», 1991. Этот язык в дальнейшем мы будем называть просто «алгоритмический язык».
7.8. Как записываются алгоритмы на школьном алгоритмическом языке?
Основные служебные слова
| алг (алгоритм) | сим (символьный) | дано | для | да |
| арг (аргумент) | лит (литерный) | надо | от | нет |
| рез (результат) | лог (логический) | если | до | при |
| нач (начало) | таб (таблица) | то | знач | выбор |
| кон (конец) | нц (начало цикла) | иначе | и | ввод |
| цел (целый) | кц (конец цикла) | все | или | вывод |
| вещ (вещественный) | длин (длина) | пока | не | утв |
| Общий вид алгоритма: |
Команды школьного АЯ
Пример записи алгоритма на школьном АЯ
7.9. Что такое базовые алгоритмические структуры?
| Логическая структура любого алгоритма может быть представлена комбинацией трех базовых структур: следование, ветвление, цикл. |
Характерной особенностью базовых структур является наличие в них одного входа и одного выхода.
Предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной (параметра цикла) в заданном диапазоне.
Примеры команд пока и для
| Школьный алгоритмический язык | Язык блок-схем |
7.10. Какие циклы называют итерационными?
На каждом шаге вычислений происходит последовательное приближение и проверка условия достижения искомого результата.
Пример. Составить алгоритм вычисления суммы ряда
с заданной точностью (для данного знакочередующегося степенного ряда требуемая точность будет достигнута, когда очередное слагаемое станет по абсолютной величине меньше ).
Вычисление сумм типичная циклическая задача. Особенностью же нашей конкретной задачи является то, что число слагаемых (а, следовательно, и число повторений тела цикла) заранее неизвестно. Поэтому выполнение цикла должно завершиться в момент достижения требуемой точности.
При составлении алгоритма нужно учесть, что знаки слагаемых чередуются и степень числа х в числителях слагаемых возрастает.
Сравните эти два подхода по числу операций.
| Алгоритм на школьном АЯ | Блок-схема алгоритма |
Пример вложенных циклов пока
Вычислить произведение тех элементов заданной матрицы A(10,10), которые расположены на пересечении четных строк и четных столбцов.
7.12. Чем отличается программный способ записи алгоритмов от других?
При записи алгоритма в словесной форме, в виде блок-схемы или на псевдокоде допускается определенный произвол при изображении команд. Вместе с тем такая запись точна настолько, что позволяет человеку понять суть дела и исполнить алгоритм.
Однако на практике в качестве исполнителей алгоритмов используются специальные автоматы компьютеры. Поэтому алгоритм, предназначенный для исполнения на компьютере, должен быть записан на «понятном» ему языке. И здесь на первый план выдвигается необходимость точной записи команд, не оставляющей места для произвольного толкования их исполнителем.
7.13.Что такое уровень языка программирования?
В настоящее время в мире существует несколько сотен реально используемых языков программирования. Для каждого есть своя область применения.
Любой алгоритм, как мы знаем, есть последовательность предписаний, выполнив которые можно за конечное число шагов перейти от исходных данных к результату. В зависимости от степени детализации предписаний обычно определяется уровень языка программирования чем меньше детализация, тем выше уровень языка.
Языки же высокого уровня имитируют естественные языки, используя некоторые слова разговорного языка и общепринятые математические символы. Эти языки более удобны для человека.
7.14. Какие у машинных языков достоинства и недостатки?
Каждый компьютер имеет свой машинный язык, то есть свою совокупность машинных команд, которая отличается количеством адресов в команде, назначением информации, задаваемой в адресах, набором операций, которые может выполнить машина и др.
При программировании на машинном языке программист может держать под своим контролем каждую команду и каждую ячейку памяти, использовать все возможности имеющихся машинных операций.
Поэтому в случае, когда нужно иметь эффективную программу, в максимальной степени учитывающую специфику конкретного компьютера, вместо машинных языков используют близкие к ним машинно-ориентированные языки (ассемблеры).
7.15. Что такое язык ассемблера?
| Язык ассемблера это система обозначений, используемая для представления в удобочитаемой форме программ, записанных в машинном коде. |
Перевод программы с языка ассемблера на машинный язык осуществляется специальной программой, которая также называется ассемблером и является, по сути, простейшим транслятором.
7.16. В чем преимущества алгоритмических языков перед машинными?
7.17. Какие компоненты образуют алгоритмический язык?
| Алгоритмический язык (как и любой другой язык) образуют три его составляющие: алфавит, синтаксис и семантика. |
Алфавит это фиксированный для данного языка набор основных символов, т.е. «букв алфавита», из которых должен состоять любой текст на этом языке никакие другие символы в тексте не допускаются.
Семантика определяет смысловое значение предложений языка. Являясь системой правил истолкования отдельных языковых конструкций, семантика устанавливает, какие последовательности действий описываются теми или иными фразами языка и, в конечном итоге, какой алгоритм определен данным текстом на алгоритмическом языке.
7.18. Какие понятия используют алгоритмические языки?
Каждое понятие алгоритмического языка подразумевает некоторую синтаксическую единицу (конструкцию) и определяемые ею свойства программных объектов или процесса обработки данных.
| Понятие языка определяется во взаимодействии синтаксических и семантических правил. Синтаксические правила показывают, как образуется данное понятие из других понятий и букв алфавита, а семантические правила определяют свойства данного понятия |
Основными понятиями в алгоритмических языках обычно являются следующие.
Имена (идентификаторы) употpебляются для обозначения объектов пpогpаммы (пеpеменных, массивов, функций и дp.).
Выражения записываются в виде линейных последовательностей символов (без подстрочных и надстрочных символов, «многоэтажных» дробей и т.д.), что позволяет вводить их в компьютер, последовательно нажимая на соответствующие клавиши клавиатуры.
Операторы подpазделяются на исполняемые и неисполняемые. Неисполняемые опеpатоpы пpедназначены для описания данных и стpуктуpы пpогpаммы, а исполняемые для выполнения pазличных действий (напpимеp, опеpатоp пpисваивания, опеpатоpы ввода и вывода, условный оператор, операторы цикла, оператор процедуры и дp.).
7.19. Что такое стандартная функция?
При решении различных задач с помощью компьютера бывает необходимо вычислить логарифм или модуль числа, синус угла и т.д.
Таблица стандартных функций школьного алгоритмического языка
| Название и математическое обозначение функции | Указатель функции | |
| Абсолютная величина (модуль) | | х | | abs(x) |
| Корень квадратный | sqrt(x) | |
| Натуральный логарифм | ln x | ln(x) |
| Десятичный логарифм | lg x | lg(x) |
| Экспонента (степень числа е » 2.72) | e x | exp(x) |
| Знак числа x (-1,если х 0) | sign x | sign(x) |
| Целая часть х (т.е. максимальное целое число,не превосходящее х) | int(x) | |
| Минимум из чисел х и y | min(x,y) | |
| Максимум из чисел х и y | max(x,y) | |
| Частное от деления целого х на целое y | div(x,y) | |
| Остаток от деления целого х на целое y | mod(x,y) | |
| Случайное число в диапазоне от 0 до х-1 | rnd(x) | |
| Синус (угол в радианах) | sin x | sin(x) |
| Косинус (угол в радианах) | cos x | cos(x) |
| Тангенс (угол в радианах) | tg x | tg(x) |
| Котангенс (угол в радианах) | ctg x | ctg(x) |
| Арксинус (главное значение в радианах) | arcsin x | arcsin(x) |
| Арккосинус (главное значение в радианах) | arccos x | arccos(x) |
| Арктангенс (главное значение в радианах) | arctg x | arctg(x) |
| Арккотангенс (главное значение в радианах) | arcctg x | arcctg(x) |
В качестве аргументов функций можно использовать константы, переменные и выражения. Например:
| sin(3.05) min(a, 5) | sin(x) min(a, b) | sin(2*y+t/2) min(a+b, a*b) | sin((exp(x)+1)**2) min(min(a,b),min(c,d)) |
Каждый язык программирования имеет свой набор стандартных функций.
7.20. Как записываются арифметические выражения?
Примеры записи арифметических выражений
| Математическая запись | Запись на школьном алгоритмическом языке |
| x*y/z | |
| x/(y*z) или x/y/z | |
| (a**3+b**3)/(b*c) | |
| (a[i+1]+b[i-1])/(2*x*y) | |
| (-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a) | |
| (x | 0.49*exp(a*a-b*b)+ln(cos(a*a))**3 |
| x/(1+x*x/(3+(2*x)**3)) |
Типичные ошибки в записи выражений:
| 5x+1 a+sin x ((a+b)/c**3 | Пропущен знак умножения между 5 и х Аргумент x функции sin x не заключен в скобки Не хватает закрывающей скобки |
7.21. Как записываются логические выражения?
В записи логических выражений помимо арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень используются операции отношения (больше), >= (больше или равно), = (равно), <> (не равно), а также логические операции и, или, не.
Примеры записи логических выражений, истинных при выполнении указанных условий.
7.22. Упражнения
7.1. Запишите по правилам алгоритмического языка выражения:
| a) | e) |
| б) | ж) |
| в) | з) |
| г) | и) |
| д) | к) |
[ Ответ ]
7.2. Запишите в обычной математической форме арифметические выражения:
| а) a/b**2; б) a+b/c+1; в) 1/a*b/c; г) a**b**c/2; д) (a**b)**c/2; е) a/b/c/d*p*q; ж) x**y**z/a/b; з) 4/3*3.14*r**3; и) b/sqrt(a*a+b); к) d*c/2/R+a**3; | л) 5*arctg(x)-arctg(y)/4; м) lg(u*(1/3)+sqrt(v)+z); н) ln(y*(-sqrt(abs(x)))); о) abs(x**(y/x)-(y/x)**(1/3)); п) sqrt((x1-x2)**2+(y1-y2)**2); р) exp(abs(x-y))*(tg(z)**2+1)**x; c) lg(sqrt(exp(x-y))+x**abs(y)+z); т) sqrt(exp(a*x)*sin(x)**n)/cos(x)**2; у) sqrt(sin(arctg(u))**2+abs(cos(v))); ф) abs(cos(x)+cos(y))**(1+sin(y)**2); |
[ Ответ ]
7.3. Вычислите значения арифметических выражений при x=1:
а) abs(x-3)/ln(exp(3))*2/lg(10000);
Решение: abs(1-3)=2; ln(exp(3))=3; lg(10000)=4; 2/3*2/4=0.33;
7.4. Запишите арифметические выражения, значениями которых являются:
а) площадь треугольника со сторонами a, b, c (a, b, c>0) и полупериметром p;
Ответ: sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
б) среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел a, b, c, d;
в) расстояние от точки с координатами (x,y) до точки (0,0);
г) синус от x градусов;
д) площадь поверхности куба (длина ребра равна а);
е) радиус описанной сферы куба (длина ребра равна а);
ж) координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями
a 1 x+b 1 y+c 1 =0 и a 2 x+b 2 y+c 2 =0 (прямые не параллельны).
[ Ответ ]
7.7. Начертите на плоскости (x,y) область, в которой и только в которой истинно указанное выражение. Границу, не принадлежащую этой области, изобразите пунктиром.
| а) (x =0) Ответ: | е) ((x-2)**2+y*y x/2) Ответ: |
| б) (x>=0) или (y =0 г) (x+y>0) и (y =1 | ж) (x*x+y*y x*x); з) (y>=x) и (y+x>=0) и (y 1); |
[ Ответ ]
7.8. Запишите логическое выражение, которое принимает значение «истина» тогда и только тогда, когда точка с координатами (x, y) принадлежит заштрихованной области.
[ Ответ ]
в противном случае
[ Ответ ]
7.12. Постройте графики функций y(x), заданных командами если:
| а) | в) |
| Решение | г) |
| б) | д) |
[ Ответ ]
7.13. Определите значение целочисленной переменной S после выполнения операторов:
| а) | Решение
| г) | Решение
| |||||||||||||||||||||||||
| б) | д) | |||||||||||||||||||||||||||
| в) | е) | |||||||||||||||||||||||||||
[ Ответ ]
7.14. Определите значение переменной S после выполнения операторов:
| а) | г) | ||||||||||||||||||||||||||||||
Решение
| Решение
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| б) | д) | ||||||||||||||||||||||||||||||
| в) | е) |
[ Ответ ]
7.15. Составте алгоритмы решения задач линейной структуры (условия этих задач заимствены из учебного пособия В.М. Заварыкина, В.Г. Житомирского и М.П. Лапчика «Основы информатики и вычислительной техники», 1989):
в) в треугольнике известны три стороны a, b и c; найти радиус описанной окружности и угол A (в градусах), используя формулы: где
г) в правильной треугольной пирамиде известны сторона основания a и угол A (в градусах) наклона боковой грани к плоскости основания; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды, используя формулы:
| V=S ocн · H/2; | |
| где | |
д) в усеченном конусе известны радиус оснований R и r и угол A (в радианах) наклона образующей к поверхности большого основания; найти объем и площадь боковой поверхности конуса, используя формулы:
| где |
e) в правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом A; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды и площадь сечения, проходящего через вершину пирамиды и диагональ основания d; использовать формулы:
[ Ответ ]
7.16. Составте алгоритм решения задач развлетвляющейся структуры:
а) определить, является ли треугольник с заданными сторонами a, b, c равнобедренным;
Решение:
б) определить количество положительных чисел среди заданных чисел a, b и c;
в) меньшее из двух заданных неравных чисел увеличить вдвое, а большее оставить без изменения;
г) числа a и b катеты одного прямоугольного треугольника, а c и d другого; определить, являются ли эти треугольники подобными;
д) данны три точки на плоскости; определить, какая из них ближе к началу координат;
е) определить, принадлежит ли заданная точка (x,y) плоской фигуре, являющейся кольцом с центром в начале координат, с внутренним радиусом r1 и внешним радиусом r2;
ж) упорядочить по возрастанию последовательность трех чисел a, b и c.
[ Ответ ]