Что сначала выполняется сложение или вычитание
Порядок действий
Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.
Порядок действий без скобок
Установленный порядок арифметических действий без скобок:
Порядок действий со скобками
Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.
В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.
Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.
Дробная черта
Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:
Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:
нельзя заменить на
потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.
| 20 : 4(2 + 3) ≠ | 20 | ; |
| 4(2 + 3) |
| 20 | = 20 : (4(2 + 3)). |
| 4(2 + 3) |
Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.
Порядок действий в математике
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!
С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.
Сложение и вычитание
Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.
Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.
Вам будет интересно: Остеоны или система Гаверсова
Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.
Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.
Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.
Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.
Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.
Сложение столбиком − это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.
Умножение
Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.
Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».
Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:
Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.
Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:
Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:
500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;
Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.
Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.
И одна кучка 70 помидоров.
5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?
2500 + 100 + 70 = 2 670
При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.
Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.
Деление
Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.
Скобки
Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).
Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.
Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.
(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2
Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.
«Вишенка на торте»
И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:
Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».
«Совсем вишня»
От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.
6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9
Правила выполнения математических действий
Основные операции в математике
Основными действиями являются:
Наряду с этими операциями предусмотрены отношения:
Сложение является операцией для объединения пары слагаемых.
Сложение записывают таким образом:
5, 1 — слагаемые, 6 — сумма.
Вычитание — операция, которая является обратным действием сложению.
Записывать вычитание следует таким образом:
10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.
При сложении разности в виде 9 и вычитаемого в виде 1 можно получить 10, которое является уменьшаемым. Сложение можно проверить вычитанием:
Умножение является действием в арифметике и имеет вид сокращенной записи сложения идентичных слагаемых.
В данном случае 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
Множимое и множитель можно поменять местами. При этом произведение не поменяется:
В связи с этим, множитель и множимое являются сомножителями.
Деление — арифметическая операция, которая является обратным действием умножению.
Деление, в том числе для многочленов, записывают таким образом:
При умножении делителя на частное получаем делимое, то есть:
В некоторых уравнениях можно встретить на месте частного не целое число. В таком случае его допустимо записать в виде дроби.
Возведение в степень является действием умножения числа на самого себя несколько раз.
Основанием степени является число, повторяющееся сомножителем конкретное количество раз. Роль показателя степени играет число, указывающее на то количество раз, которое берется одинаковый множитель. Степень — число, являющееся результатом взаимодействия основания и показателя степени.
Здесь 3 является основанием степени, 4 определяется, как показатель степени, 81 называют степенью.
Вторая степень — квадрат, а третья степень — куб. Первая степень числа является самим числом.
В данном случае 81 является подкоренным числом, 4 — показатель корня, 3 — корень.
С целью проверки операции по извлечению корня можно возвести 3 в степень 4, что в результате дает 81:
Квадратный корень — это корень второй степени:
Если предполагается запись квадратного корня, то показатель корня допускается не записывать:
Кубический корень — это корень третьей степени:
Сложение является обратным действием вычитанию, умножение — делению, возведение в степень — извлечению корня, и наоборот.
Порядок вычисления простых выражений
Перед решением простых уравнений полезно ознакомиться с последовательностью действий:
Рассмотреть это правило можно на практике.
Нужно решить письменное уравнение:
В первую очередь следует проверить, есть ли скобки для группировки элементов выражения. Здесь они отсутствуют, как и операции умножения и деления. Тогда можно выполнять действия, руководствуясь стандартным алгоритмом, описанным выше: витаем 2 из 11, складываем остаток с 5, в результате получим 14.
11 – 2 + 5 = 9 + 5 = 14
Скобки в данном примере отсутствуют, но имеются операции деления и умножения. При их обнаружении нужно с помощью правила последовательно выполнять действия, двигаясь слева направо: 10 делим на 2, полученное число умножаем на 7, результат делим на 5.
10 ÷ 2 × 7 ÷ 5 = 5 × 7 ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7
В процессе изучения данной темы, пока опыта еще не достаточно, полезно расставлять над знаками арифметических операций цифры в порядке их выполнения. Такая работа значительно упрощает вычисления и исключает ошибки.
Что такое действия первой и второй ступени
В учебной литературе по математике можно встретить такие понятия, как действие первой и второй ступени:
В том случае, когда в выражении отсутствуют скобки, операции выполняются в следующем порядке:
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Наличие в выражении скобок изменяет стандартный алгоритм арифметических операций. Это своеобразный индикатор для действий, которые должны быть выполнены в первую очередь.
В первую очередь следует выполнить операции, заключенные в скобках. При этом важно соблюдать стандартный порядок действий, то есть слева направо умножать и делить, а далее — складывать и вычитать.
Выражения, заключенные в скобках, являются составными компонентами начального выражения. Для таких выражений стандартный алгоритм действий остается без изменений. Рассмотреть вычисления можно на практических примерах.
Так как в выражении есть скобки, в первую очередь нужно выполнить действия в этих скобках:
Руководствуясь стандартным алгоритмом, сначала умножаем, затем — вычитаем:
Перейдем ко второму выражению, заключенному в скобках:
Так как в данном случае имеется лишь вычитание, выполняем действие:
Результаты, которые получили при решении выражений в скобках, следует подставить в начальное выражение:
Сначала нужно умножить, затем поделить, а далее выполнить сложение:
10 + 2 × 8 ÷ 2 = 10 + 16 ÷ 2 = 10 + 8 = 18
Порядок действий в выражениях без скобок
В данном случае присутствуют действия сложения и вычитания, которые следует выполнять по порядку, двигаясь слева направо.
Здесь умножение и деление. Данные арифметические операции также выполняем по порядку, начиная с левой стороны, двигаясь в правую сторону.
Когда выражения содержат операции сложение и вычитание, либо деление и умножение, то вычисления нужно выполнять по порядку слева направо.
Нередко встречаются примеры, где есть сложение и вычитание, а также умножение и деление. Тогда в первую очередь делят и умножают по порядку, а на втором этапе складывают и вычитают также в определенном порядке.
Решение примеров
Согласно стандартному алгоритму, проверяем наличие скобок. Так как скобки имеются, начинаем с них:
Полученный результат следует подставить в исходное выражение:
Скобки отсутствуют, но есть умножение, которое необходимо выполнить в первую очередь:
Подставим результат в начальное выражение:
Решим полученное выражение:
Если сразу обозначить порядок действий, то запись примет вид:
Математика. 3 класс
Конспект урока
Математика, 3 класс
Урок №10. Порядок выполнения действий в числовых выражениях
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— В какой последовательности выполняются действия в выражениях без скобок?
— В какой последовательности выполняются действия в выражениях со скобками?
Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку: слева направо.
Если в выражение без скобок входят не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то сначала выполняются по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание также по порядку.
Если в выражение есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а затем в установленном порядке сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание
Основная и дополнительная литература по теме урока:
1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 24.
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 15.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Выполним вычисления устно и расставим значения выражений в порядке возрастания.
Подсказка: Он должен быть в доме, в шкафу, на столе и даже в портфеле ученика.
В результате вычислений получилось:
Действительно во всём должен быть порядок и в математике тоже.
Выполняя задания, мы пользуемся законами и правилами математики. Эти правила и законы и поддерживают математический порядок.
Выполняя устные вычисления, мы выполняли действия по порядку. В выражениях использовали действия умножения и деления.
Это числовые выражения. Для их составления использовали числа и знаки действий.
Использовали не только умножение и деление, но и сложение, вычитание. В каком порядке будем выполнять действия?
В выражении 76 – 27 + 9 – 10 использовали знаки сложения и вычитания. Выполнять действия нужно по порядку: слева направо.
В выражении 80 : 8 ∙ 2 использовали знаки умножения и деления. Выполнять действия нужно также по порядку: слева направо.
Вывод: Если в выражениях только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.
Выражения могут содержать сложение и вычитание, и умножение, и деление. В этом случае сначала выполняются деление и умножение по порядку. В математике эти действия считаются сильными. А затем сложение и вычитание тоже по порядку.
В математике есть способ, который позволяет выделить какое-то действие. Это постановка скобок. Скобки показывают, что действие внутри них, выполняется в первую очередь.
Действия в числовых выражениях выполняются в следующем порядке:
Знания этих математических правил позволит правильно находить значения выражений и не нарушать порядок.
Порядок действий в выражениях особый.
И в каждом случае, помните, он свой.
В порядке все действия выполняйте.
Сначала в скобках все посчитайте.
Потом чередом, умножайте или делите.
И, наконец, вычитайте или сложите.
1. Выберите действие, которое будет в выражение первым.
Правильный ответ: умножение.
2. Выберите действие, которое в выражение будет последним.